专题04 圆【知识梳理+解题方法+专题过关】-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题04 圆 一．圆的概念及表示方法 1．概念 （1）描述性定义：如图，在一个平面内，线段绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段叫做半径． （2）集合性定义：将圆心为O，半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 2．圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“”，读作“圆O”． 3．圆具有的特性： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 注意： ①根据圆的概念可知“圆”指的是“圆周”（一条封闭的曲线），而不是圆面； ②确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ③利用圆具有的特性，我们可以来判断一个多边形的各个顶点是否在同一个圆上． 二．圆的有关概念 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫做直径，如右图中“直径” 弧、半圆、劣弧、优弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如右图中的 半圆是弧，但弧不一定是半圆； 弧包括优弧、劣弧和半圆 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆．容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 长度相等的弧不一定是等弧 注意：等弧是全等的，而不仅仅是弧长相等． 三．圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． 四．垂径定理及其推论 名称 文字语言 符号语言 图示 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ∵是直径， ∴，， 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ∵是直径，，不是直径 ∴，， 拓展 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ∵，是直径 ∴，， 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ∵， ∴是直径，， 归纳 对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧． 五．圆心角、弧、弦的关系 1．圆心角：我们把顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角． 2．圆的旋转对称性：圆具有旋转不变性，它绕圆心旋转任意一个角度都能与它本身重合，因此圆也是中心对称图形，圆心是对称中心． 3．弧、弦、圆心角之间的关系： 名称 文字语言 符号语言 图示 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 ∵ ∴， 重要 结论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 ∵ ∴， 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧相等、劣弧相等 ∵， ∴ ， 注意 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等．如右图所示，两个圆的圆心相同，与对应同一个圆心角，但， 规律 总结 在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等 六．圆周角 1．定义：我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． （1）圆周角必须具备两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交． （2）同一条弧所对的圆周角有无数个． （3）圆心角与圆周角的区别与联系： 名称 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个 联系 两边都和圆相交 2．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 拓展：同弧所对的圆周角大于圆外角而小于圆内角．如图，． 3．推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等． 注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了．如图，弦所对的圆周角和互补． （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．如图，为的直径，则． 拓展： ①在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等； ②如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 七．圆内接多边形 1．圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 2．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补． 拓展：对角互补的四边形，其四个顶点在同一个圆上． 八．点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 点到圆心的距离（d）与半径（r）的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径；到圆心的距离小于半径的点都在圆内 ∵点P在圆内 ∴ 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆上 ∵点P在圆上 ∴ 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径；到圆心的距离大于半径的点都在圆外 ∵点P在圆外 ∴ 九．圆的确定 条件 依据及作法 图示 结论 过一点作圆 经过一个点A作圆，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆就可以作出，这样的圆有无数多个 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 过两点作圆 经过两个点A，B作圆，只要以与点A，B距离相等的点为圆心，即以线段的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径作圆就可以，这样的圆有无数多个 过不在同一条直线上的三点作圆 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此，圆心在线段，的垂直平分线的交点O处，以O为圆心，以（或，）为半径可作出经过A，B，C三点的圆，这样的圆有且只有一个 过不在同一条直线上的任意四点作圆 要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上 十．三角形的外接圆 1．三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形． 2．三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．如图，是的外接圆，点O是的外心． 3．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径． 注意： ①一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆却有无数个内接三角形； ②三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部． 十一．反证法 1．假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种方法叫做反证法．反证法是一种间接证明命题的方法． 2．用反证法证明命题一般有下面三个步骤： （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 十二．直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切 直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离 图形 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的距离d与半径r的关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 总结 直线l与相交 直线l与相切 直线l与相离 注意： ①直线和圆的位置关系，可以用直线和圆的公共点的个数来判定，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定； ②直线和圆的位置关系与点和圆的位置关系既有联系，又有区别，两者都是根据d与r的数量关系来判定图形的位置关系的，但前者中的d为圆心到直线的距离，后者中的d为点与圆心的距离． 十三．切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理和性质定理 定理 文字语言 符号语言 图示 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ∵是的半径， 于点A， ∴l是的切线 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 ∵l切于点A， 2．切线的识别和性质 类别 切线的识别方法 切线的性质 公共点个数 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 切线和圆只有一个公共点 d与r的关系 圆心到直线的距离d等于圆的半径r的直线是圆的切线 圆心到切线的距离d等于圆的半径r 切线与半径的位置关系 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 圆的切线垂直于过切点的半径 拓展： 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 综上所述：如果圆中的一条直线满足以下三个条件中的任意两条，那么就一定满足第三条，它们是：①垂直于切线；②过切点；③过圆心． 十四．切线长及切线长定理 1．切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 十五．三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2．三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 3．三角形内心的性质： （1）三角形的内心是三条角平分线的交点； （2）内心到三角形三边的距离相等． 拓展： ①三角形的内切圆的作法：先作出三角形的两条角平分线，以两条角平分线的交点为圆心，交点到一边的距离为半径作圆，即可得到三角形的内切圆． ②一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形． ③钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部． 4． 三角形的外心、内心有关知识比较： 图形 名称 性质 位置 角度关系 外心 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 外心不一定在三角形内 内心 三角形的内心到三角形的三边的距离相等 内心一定在三角形内 十六．圆和圆的位置关系 两圆的位置关系（两圆的半径分别为，，，圆心距） 图形 公共点个数 数量关系 相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离 外离 无 内含 无 相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 外切 1 内切 1 相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交 2 注意： ①两等圆之间的位置关系有：外离、外切、相交、重合． ②解决两圆的有关问题时，连心线（两圆心的连线）是很有用的辅助线． ③由两圆组成的图形都是轴对称图形，对称轴是过这两个圆的圆心的直线．两圆相切时，这条对称轴经过切点．两圆相交时，这条对称轴垂直平分公共弦（两个交点的连线）． ④在解决两圆相离（切）的有关问题时，要分两种情况考虑，注意不要漏解． 十七．正多边形及有关概念 1．正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2．正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 3．正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． 4．正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 5．正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 拓展： ①把圆分成n（）等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． ②任意三角形都具有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆． ③任意多边形不一定具有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，则一定有外接圆和内切圆，并且是同心圆． 十八．正多边形的有关计算 1．正n边形的每个内角都等于． 2．正n边形的每个中心角都等于． 3．正n边形的每个外角都等于． 4．正n边形的其他计算都转化到半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行． 十九．正多边形的画法 要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可． 二十．弧长公式 二十一．扇形面积公式 1．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2．． 3．，其中l为扇形的弧长，R为半径． 二十二．圆锥的侧面积和全面积 1．圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的． 2．圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 3．圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高． 4．圆锥的基本特征： （1）圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面； （2）圆锥的母线长都相等； （3）圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，故圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r恰好构成一个直角三角形，满足． 5．圆锥的侧面积和全面积： ，． 【专题过关】 一．圆的相关概念（共3小题） 1．下列说法正确的是（    ） A．弧是半圆 B．直径是弦 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 【答案】B． 【解答】解：A．圆上任意两点间的部分是弧，所以弧不一定都是半圆，故此选项错误，不符合题意； B．圆上任意两点间的线段是弦，所以直径是弦，故此选项正确，符合题意； C．只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，故此选项错误，不符合题意； D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（    ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B． 【解答】解：弦为、、． 故选：B． 3．下列命题中正确的是（    ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】A． 【解答】解：直径是圆中最长的弦，故①正确； 弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误； 半圆是弧，故④错误； 直径是弦，故⑤错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误； ⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧， ∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确． ∴正确的命题是①⑧． 故选：A． 二．圆的周长与面积（共3小题） 4．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B． 【解答】解：∵四边形内角和为， ∴四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：B． 5．如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（     ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 【答案】C． 【解答】解：设大圆的直径是d，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是， 则甲、乙两只蚂蚁爬行的路程分别为：，， 观察图形可知， ∴， ∵两只蚂蚁爬行的速度相同， ∴同时到达． 故选：C． 6．如图，M、N是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【答案】． 【解答】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为x，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴． 三．垂径定理的应用（共5小题） 7．下列说法不正确的是（    ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 【答案】C． 【解答】解：∵当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦， ①错误； ∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不平分弦所对的弧， ②错误； ∵ 垂直平分弦的直线必过圆心（垂径定理推论），③正确； ∵ 平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦（垂径定理逆定理）， ④正确． ∴ 不正确的是①②， 故选C． 8．小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点A，B均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm 【答案】D． 【解答】如图，设交于点F， ∵，， ∴， 设铁球的半径为rcm，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是5cm， 故选：D． 9．如图，是的直径，是的弦，，垂足为点E，，，则= ． 【答案】2cm． 【解答】解：由题意可知，垂直平分，， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2cm． 10．已知的半径为10cm，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 cm． 【答案】14或2． 【解答】解：作于E，延长交于F，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：14或2． 11．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为60m，拱高为18m． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】（1）34m；（2）不需要采取紧急措施，理由见解析． 【解答】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结，，如图所示， ， 设，则半径， 已知，， 则半径，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 则半径， 故半径为34m． （2）解：由（1）得圆弧半径， 当时，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则， ∵， ∴不需要采取紧急措施． 四．弧、弦、圆心角（共4小题） 12．下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等 B．优弧一定比劣弧长 C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等 D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等 【答案】D． 【解答】解：A．在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误． B．优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； C．弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D． 13．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【答案】． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 14．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述为 ． 【答案】． 【解答】解：如图，取弧的中点E，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．已知：如图，A、B、C、D是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵， ∴， 即． ∴． （2）解：∵，， ∴． 五．圆周角及圆周角定理（共5小题） 16．下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（    ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【答案】B． 【解答】解：A．圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意； B．圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意； C．同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意； D．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 17．如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B． 【解答】解：∵在中，， ∴，故①正确； ∵为公共弧， ∴， ∴，，故①②③④正确． 故选：B． 18．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：∵四边形是的内接四边形， 且， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 19．如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则= ．    【答案】． 【解答】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 20．如图，已知中，为半圆O的直径，、分别交半圆O于点E、D，且． （1）求证：点D是的中点； （2）若点E是的中点，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）是等边三角形，理由见解析． 【解答】（1）证明：连接， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点D是的中点； （2）解：∵， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 六．点与圆的位置关系（共4小题） 21．已知的半径为6，与圆同一平面内一点P到圆心O的距离为7，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 【答案】A． 【解答】解：∵的半径为6，点P到圆心O的距离为7，， ∴点P在圆外． 故选：A． 22．已知点A是外一点，且，则的半径可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A． 【解答】解：∵点A是外一点，且， ∴的半径大于0且小于2， 故选：A． 23．如图，已知矩形的边，．若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：连接，如图． ∵，， ∴，， ∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 故选：C． 24．在平面直角坐标系内，点A的坐标是．如果与两坐标轴有且只有3个公共点，那么的半径长是 ． 【答案】4或5． 【解答】解：圆心到x轴距离为4，到y轴距离为3，到原点距离为5． 当圆与x轴相切时，半径，此时圆与y轴相交于两点，公共点共3个； 当圆经过原点时，半径，此时圆与x轴、y轴各有一个除原点外的交点，公共点共3个． 其他情况：当时，无公共点； 当时，与y轴相切，有1个交点，与x轴无交点，公共点数为1； 当时，与y轴有两个交点，与x轴无交点，公共点数为2； 当或时，与x轴和y轴各有两个交点，公共点数为4； 故半径为4或5时，圆与坐标轴有且只有3个公共点． 故答案为：4或5． 七．点与圆上一点的最值问题（共2小题） 25．如图，C、D是以为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P，若，，则最大值是 ． 【答案】． 【解答】解：延长交于点N，连接， ∵， ∴， ∵点M是弦的中点， ∴， ∴， ∴当为的直径时，的值最大， ∵直径， ∴， ∴， 故答案为：． 26．如图，在中，，D是边的中点，以D为圆心，长为半径作，E是上一点，若，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】8；18． 【解答】解：当A，E，D三点在一条直线上时，线段的长取得最值． ∵，D是边的中点， ∴． ∵， ∴． 当点A，E在的同侧时，有最小值，最小值为； 当点A，E在的异侧时，有最大值，最大值为． 故答案为：8；18． 八．三角形外接圆（共3小题） 27．三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（    ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 【答案】D． 【解答】解：因为锐角三角形的外接圆的圆心在三角形的内部；直角三角形外接圆的圆心在三角形的边上；钝角三角形的外接圆的圆心在三角形的外部， 所以A、B、C均错误． 故选：D． 28．三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 【答案】5． 【解答】解：， 因式分解得， 解得，． 当第三边为2时，，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去； 当第三边为10时，满足，，，且 ， 所以三角形为直角三角形，斜边为10， 因此外接圆半径为斜边的一半，即5． 故答案为：5． 29．如图，在平面直角坐标系中 ，每个小正方形网格的边长为1 ，点A ，B，C都在格点上． （1）的外接圆的圆心坐标为__________，该外接圆的面积为__________； （2）点D在格点上，画出，使得． 【答案】（1），；（2）作图见解析． 【解答】（1）解：如图所示，作线段，的垂直平分线，二者交于点，则点即为的外接圆的圆心，由图可知点的坐标为， ∵， ∴， ∴该外接圆的面积为； （2）解：如图所示，和即为所求． 九．圆的相关作图问题（共3小题） 30．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D． 【解答】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 31．如图，在中，，的平分线交边于点D．过B，D两点，且圆心O在边上． （1）用直尺和圆规作出；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，则的半径为________． 【答案】（1）作图见解析；（2）4． 【解答】（1）解：如图所示： （2）解：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为x， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴的半径为4， 故答案为：4． 32．（1）尺规作图，作出的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （2）若，，求外接圆的直径长． 【答案】（1）作图见解析；（2）． 【解答】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图，连接并延长交于点D，连接， 则， ∵是的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴外接圆的直径长为． 十．反证法（共4小题） 33．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（     ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 【答案】D． 【解答】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定． ∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角． 故选：D． 34．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为a= ，b= ． 【答案】，1． 【解答】解：当，时，， 但， 故答案为：，1． 35．用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”． 【答案】证明见解析． 【解答】解：已知：，， 求证：． 证明：假设a与b相交于点M， 则过M点有两条直线平行于直线c， 这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾， 所以， 所以平行于同一条直线的两直线平行． 36．用反证法证明：已知中，，求证：． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：假设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵在一个三角形中，三个内角和为180度， ∴不可能有两个内角和大于或等于180度 ∴假设矛盾 ∴假设不成立 ∴． 十一．直线和圆的位置关系（共5小题） 37．若直线l与半径为6的相离，则圆心O到直线l的距离d满足（     ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：∵直线l与相离，的半径为6， ∴圆心O到直线l的距离， 故选：B． 38．已知的半径为5，直线与相切，圆心O到直线距离等于 ． 【答案】5． 【解答】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心O到直线距离等于5； 故答案为：5． 39．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是 ． 【答案】相交． 【解答】解：∵方程无实数根， ∴，即． ∵圆心到直线的距离d小于半径r， ∴直线l与相交． 故答案为：相交． 40．如图，直线，相交于点O，，半径为1cm的的圆心在直线上，开始时，．如果以1cm/s的速度向右运动，那么当的运动时间t（s）满足条件 时，与直线相交． 【答案】． 【解答】解：当点P在射线时，与相切，如图，过P作于E， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）； 当点P在射线时，与相切，如图，过P作与F， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）． ∴当的运动时间满足条件时，与直线相交． 故答案为：． 41．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，且，点B的坐标为，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，称点为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图． （1）已知点， ①当点B的坐标分别为，时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为_________，_______； ②点是点A关于点B的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由； （2）如图2，点C的坐标为，以C为圆心，1为半径作圆，直接写出在上点A关于点B的“伴随点”的个数以及A的纵坐标m对应的取值范围． 【答案】（1）①，；②点的运动路径所对应的函数表达式为；（2）见解析． 【解答】（1）解：①作轴于点M，则， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； 当，时， ，， ∴， ∴； 当，时， ，， ∴， ∴； 故答案为：，； ②，理由如下： 由①得，，， 又∵，，， ∴， ∴，即， ∴点的运动路径所对应的函数表达式为； （2）解：设点是点A关于点B的“伴随点”， ∵点A的坐标为，且， ∴同理（1）可得，点的运动路径所对应的函数表达式为， 设直线与x轴、y轴分别交于点D、G， 令，则；令，则，解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 当直线与相切时，“伴随点”的个数为1个， 设切点为F，过点C作轴交直线于点E，则，， ∴是等腰直角三角形，， ∵的半径为1， ∴， ∴， 令，则，解得， ∴， 又∵点C的坐标为， ∴， 解得或， ∴当“伴随点”的个数为1个时，或； 由图象得，当“伴随点”的个数为0个时，或；当“伴随点”的个数为2个时，时； ∴综上所述，当“伴随点”的个数为0个时，或；当“伴随点”的个数为1个时，或；当“伴随点”的个数为2个时，． 十二．切线的判定（共4小题） 42．如图，点B在上，点C在外，以下条件不能判定是切线的是（     ） A．， B． C． D．与的交点是中点 【答案】D． 【解答】解：A．∵，， ∴， ∴， ∵点B在上， ∴是的半径， ∴是切线； B．∵， ∴， ， ∴， ∵点B在上， ∴是的半径， ∴是切线； C．∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∵点B在上， ∴是的半径， ∴是切线； D．与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 43．下列命题中，是真命题的为（     ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C． 【解答】解：．不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意； ．经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 44．如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，与，分别交于点E，F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）的半径为5． 【解答】（1）证明：连接 ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点O作，垂足为点G， ∵，， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ ∴的半径为5． 45．如图1，在中，点P在边上，，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）当是的直径时，如图2，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：连接，并延长交于点Q，则为的直径， 连接，如图所示， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的外接圆， ∴点C在上， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴． 十三．切线性质及应用（共5小题） 46．如图，以边为直径作交于点D，恰好是的切线，C为切点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】． 【解答】解：∵为直径，是的切线，C为切点， ∴， 在中，，， ∴， ∵对应的圆心角为，圆周角为， ∴． 47．如图，与相切于点A，连接并延长交于点C，连接．若，则的度数为 ．    【答案】． 【解答】解：连接，    ∵与相切于点A， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 48．如图，是的直径，E是延长线上的一点，是的切线，C是切点，D是上的一个点，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，则的长为______． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：连接，如图． ∵是的切线，则， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 由（1）可知，，则， ∴． 在中，，则， ∴． 49．如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点E，交于点D，交于点C，求证：． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：连接交于H，连接，如图， ∵和为的切线， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 50．将一张边长为4的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把正方形纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点P在边上，过点P作的垂线交的延长线于点H． 【知识技能】 （1）如图1，若点H落在边上，求证：是等边三角形． 【数学理解】 （2）如图2，设，，试求y关于x的函数解析式． 【拓展探索】 （3）如图3，为的外接圆，若与边相切，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解答】（1）证明：∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图，过点 H 作于点M，则四边形是矩形， 由折叠的性质得：，． 同理， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴ 整理，得：， ∴y关于x的函数解析式为． （3）解：如图，设与边相切于点M，连接并延长，交边于点N． 设，， 由（2）可知， ∵， ∴是的直径． ∵与边相切于点M，， ∴，即， ∴是的中位线． ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理，得 解得： ∴． 十四．三角形内切圆（共4小题） 51．如图，是一张周长为24cm的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（    ） A．12cm B．11cm C．10cm D．随直线的变化而变化 【答案】C． 【解答】解：设与、、、直线分别相切于点D、E、F、H， ∵的周长为24cm，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴剪下的三角形的周长为10cm， 故选：C． 52．如图，内切于正方形，边、分别与切于点E、F，点M、N分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：如图所示，设与相切于点K，    由题意得，， 由切线长定理可知，，   设正方形边长为，，，则， ∴，，， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的半径为， 故选：D． 53．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是 ． 【答案】24． 【解答】解：如解图，连接，， 由题意得，，，，， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形， 设，则． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴． 故答案为：24． 54．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． （1）求的长． （2）已知，求的长． 【答案】（1）的长为2cm；（2）的长为． 【解答】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： 则的长为2cm； （2）解：∵，，， ∴半周长， 又∵， ∴， ∴， 则的长为． 十五．圆的外切四边形（共3小题） 55．如图，是四边形的内切圆．若，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A． 56．已知、分别是、的半径，d是两圆的圆心距，当时，两圆（    ） A．外切 B．内切 C．外离或内含 D．相交 【答案】A． 【解答】解：∵， ∴、相切，即两圆外切． 故选：A． 57．如图，四边形是的外切四边形，，，则四边形的周长为 ． 【答案】48． 【解答】解：如图，令与边，，，的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴，，，， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 十六．圆与圆的位置关系（共4小题） 58．若两圆的半径分别为和，圆心距为2，那么这两圆的位置关系是（     ） A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】A． 【解答】解：根据题意，圆心距， ∴两圆内切． 故选：A． 59．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④，其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D． 【解答】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接，， ∵E是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 但，故④错误． 故选：D． 60．如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则= ． 【答案】8． 【解答】解：如图， ∵的外切四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴ ． 故答案为：8． 61．已知半径为1，半径为r， 圆心距，如果与相切，则 ． 【答案】． 【解答】解：由题意知，与相切， 此时分内切和外切两种情况： ①当与外切时，如图： ∴ ， ∴， ②当与内切时，如图： 延长至内切点A， ∴，即， ∴， 综上所述，． 故答案为：． 十七．圆的综合问题（共4小题） 62．如图，正六边形中，点M，N分别为边，上的动点，若正六边形的面积为a，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：如图，连接，，，交点为O， 由正六边形可得，即，， 设与的距离为h， 则， ∵， ∴， 同理可得， ∴空白部分的面积为， 故选：B． 63．已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D． 【解答】解：连接，过点B作于H，如图所示： ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或（此时不合题意，舍去）． 故选：D． 64．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D．求的最大值． 【答案】． 【解答】解：如图，连接． 设的半径为r， ∵， ∴， ∴． 当的值最小时，的值最大， 而时，最小，此时D，B两点重合， ∴，即的最大值为． 65．【问题提出】 （1）如图①，在中，点O为边的中点，画出关于点O的对称图形（点A的对应点记为C），此时四边形为形状为__________；      【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求四边形周长的最大值； 【问题解决】 （3）如图②，某风景区有一段笔直的河流，有一处自然喷泉（点M）在这条河流上，风景区在现有资金条件下准备修建一条长100米的直通道路，在道路的尽头C处安装一个张角为的高清摄像头以观测游客的活动，要求喷泉M恰好在摄像头观测到河流的边界点A、B的正中间，求摄像头能观测区域的最大面积．    【答案】（1）平行四边形；（2）四边形的周长最大值为；（3）摄像头能观测区域的最大面积为平方米． 【解答】（1）图①即为所求：平行四边形．      （2）如图②，延长至点E，使，则为等腰三角形． ∵ ∴ 设B，D，E三点共圆．连接并延长与圆交于点，连接，，， ∵ ∴． ∴ ． ∴四边形的周长最大值为．    （3）如图③，延长到点D，使米，连接，， 则四边形为平行四边形． ∴ ∵ ∴ 设A、C、D三点共圆O． 连接， ∵米， ∴，米． 连接，则，延长交于点，当点A与点重合时，面积最大，此时． 最大值为平方米 ∴摄像头能观测区域的最大面积为平方米．    十八．正多边形和圆（共4小题） 66．如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则度数为（ 　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 67．圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接，，，交于点J， 由题意得，， ∵， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得， 解得：（舍负）， ∴， ∴圆的内接正八边形的面积为， 故答案为：． 68．如图，在正n边形中，，则n的值是 ． 【答案】12． 【解答】解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 69．一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 【答案】（1）该多边形的边数为7；（2）中心角的度数． 【解答】（1）解：设该多边形的边数为n， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7. （2）解：由（1）可得该多边形是正七边形， ∴中心角的度数． 十九．弧长和扇形面积（共5小题） 70．如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】∵弧长，其中，， ∴， 两边除以：， 即， 简化得， ∴． 故此扇形的圆心角为． 故选：C． 71．如图，B，C，D是半径为6的上的三点，已知的长，且，则的长为（    ）    A． B．6 C． D．12 【答案】C． 【解答】解：如图，连接交于点E， 设，则， 解得：， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 72．如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长， ∵， ∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈， ∵图形每旋转一圈圆心横坐标增加， ∴当图形旋转506圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加， ∴当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是， 故选：A． 73．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计）．若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：设圆锥的母线长为R． 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的侧面积为． 故选：B． 74．圆锥的母线长为12cm，底面圆的半径为5cm． （1）侧面展开图的圆心角度数是 ． （2）如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为． 【解答】（1）解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵底面圆的半径为5cm， ∴侧面展开图的弧长， ∵， ∴，解得：， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，，，则线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， ∵的长为，，令， ∴，解得， ∴， ∵， ∴为等边三角形，即， ∵， ∴， 在中，，，， ∴ 即蚂蚁爬行的最短距离为． 69 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 一．圆的概念及表示方法 1．概念 （1）描述性定义：如图，在一个平面内，线段绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段叫做半径． （2）集合性定义：将圆心为O，半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 2．圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“”，读作“圆O”． 3．圆具有的特性： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 注意： ①根据圆的概念可知“圆”指的是“圆周”（一条封闭的曲线），而不是圆面； ②确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ③利用圆具有的特性，我们可以来判断一个多边形的各个顶点是否在同一个圆上． 二．圆的有关概念 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫做直径，如右图中“直径” 弧、半圆、劣弧、优弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如右图中的 半圆是弧，但弧不一定是半圆； 弧包括优弧、劣弧和半圆 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆．容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 长度相等的弧不一定是等弧 注意：等弧是全等的，而不仅仅是弧长相等． 三．圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． 四．垂径定理及其推论 名称 文字语言 符号语言 图示 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ∵是直径， ∴，， 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ∵是直径，，不是直径 ∴，， 拓展 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ∵，是直径 ∴，， 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ∵， ∴是直径，， 归纳 对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧． 五．圆心角、弧、弦的关系 1．圆心角：我们把顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角． 2．圆的旋转对称性：圆具有旋转不变性，它绕圆心旋转任意一个角度都能与它本身重合，因此圆也是中心对称图形，圆心是对称中心． 3．弧、弦、圆心角之间的关系： 名称 文字语言 符号语言 图示 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 ∵ ∴， 重要 结论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 ∵ ∴， 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧相等、劣弧相等 ∵， ∴ ， 注意 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等．如右图所示，两个圆的圆心相同，与对应同一个圆心角，但， 规律 总结 在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等 六．圆周角 1．定义：我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． （1）圆周角必须具备两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交． （2）同一条弧所对的圆周角有无数个． （3）圆心角与圆周角的区别与联系： 名称 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个 联系 两边都和圆相交 2．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 拓展：同弧所对的圆周角大于圆外角而小于圆内角．如图，． 3．推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等． 注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了．如图，弦所对的圆周角和互补． （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．如图，为的直径，则． 拓展： ①在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等； ②如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 七．圆内接多边形 1．圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 2．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补． 拓展：对角互补的四边形，其四个顶点在同一个圆上． 八．点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 点到圆心的距离（d）与半径（r）的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径；到圆心的距离小于半径的点都在圆内 ∵点P在圆内 ∴ 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆上 ∵点P在圆上 ∴ 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径；到圆心的距离大于半径的点都在圆外 ∵点P在圆外 ∴ 九．圆的确定 条件 依据及作法 图示 结论 过一点作圆 经过一个点A作圆，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆就可以作出，这样的圆有无数多个 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 过两点作圆 经过两个点A，B作圆，只要以与点A，B距离相等的点为圆心，即以线段的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径作圆就可以，这样的圆有无数多个 过不在同一条直线上的三点作圆 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此，圆心在线段，的垂直平分线的交点O处，以O为圆心，以（或，）为半径可作出经过A，B，C三点的圆，这样的圆有且只有一个 过不在同一条直线上的任意四点作圆 要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上 十．三角形的外接圆 1．三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形． 2．三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．如图，是的外接圆，点O是的外心． 3．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径． 注意： ①一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆却有无数个内接三角形； ②三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部． 十一．反证法 1．假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种方法叫做反证法．反证法是一种间接证明命题的方法． 2．用反证法证明命题一般有下面三个步骤： （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 十二．直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切 直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离 图形 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的距离d与半径r的关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 总结 直线l与相交 直线l与相切 直线l与相离 注意： ①直线和圆的位置关系，可以用直线和圆的公共点的个数来判定，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定； ②直线和圆的位置关系与点和圆的位置关系既有联系，又有区别，两者都是根据d与r的数量关系来判定图形的位置关系的，但前者中的d为圆心到直线的距离，后者中的d为点与圆心的距离． 十三．切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理和性质定理 定理 文字语言 符号语言 图示 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ∵是的半径， 于点A， ∴l是的切线 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 ∵l切于点A， 2．切线的识别和性质 类别 切线的识别方法 切线的性质 公共点个数 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 切线和圆只有一个公共点 d与r的关系 圆心到直线的距离d等于圆的半径r的直线是圆的切线 圆心到切线的距离d等于圆的半径r 切线与半径的位置关系 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 圆的切线垂直于过切点的半径 拓展： 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 综上所述：如果圆中的一条直线满足以下三个条件中的任意两条，那么就一定满足第三条，它们是：①垂直于切线；②过切点；③过圆心． 十四．切线长及切线长定理 1．切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 十五．三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2．三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 3．三角形内心的性质： （1）三角形的内心是三条角平分线的交点； （2）内心到三角形三边的距离相等． 拓展： ①三角形的内切圆的作法：先作出三角形的两条角平分线，以两条角平分线的交点为圆心，交点到一边的距离为半径作圆，即可得到三角形的内切圆． ②一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形． ③钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部． 4． 三角形的外心、内心有关知识比较： 图形 名称 性质 位置 角度关系 外心 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 外心不一定在三角形内 内心 三角形的内心到三角形的三边的距离相等 内心一定在三角形内 十六．圆和圆的位置关系 两圆的位置关系（两圆的半径分别为，，，圆心距） 图形 公共点个数 数量关系 相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离 外离 无 内含 无 相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 外切 1 内切 1 相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交 2 注意： ①两等圆之间的位置关系有：外离、外切、相交、重合． ②解决两圆的有关问题时，连心线（两圆心的连线）是很有用的辅助线． ③由两圆组成的图形都是轴对称图形，对称轴是过这两个圆的圆心的直线．两圆相切时，这条对称轴经过切点．两圆相交时，这条对称轴垂直平分公共弦（两个交点的连线）． ④在解决两圆相离（切）的有关问题时，要分两种情况考虑，注意不要漏解． 十七．正多边形及有关概念 1．正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2．正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 3．正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． 4．正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 5．正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 拓展： ①把圆分成n（）等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． ②任意三角形都具有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆． ③任意多边形不一定具有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，则一定有外接圆和内切圆，并且是同心圆． 十八．正多边形的有关计算 1．正n边形的每个内角都等于． 2．正n边形的每个中心角都等于． 3．正n边形的每个外角都等于． 4．正n边形的其他计算都转化到半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行． 十九．正多边形的画法 要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可． 二十．弧长公式 二十一．扇形面积公式 1．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2．． 3．，其中l为扇形的弧长，R为半径． 二十二．圆锥的侧面积和全面积 1．圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的． 2．圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 3．圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高． 4．圆锥的基本特征： （1）圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面； （2）圆锥的母线长都相等； （3）圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，故圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r恰好构成一个直角三角形，满足． 5．圆锥的侧面积和全面积： ，． 【专题过关】 一．圆的相关概念（共3小题） 1．下列说法正确的是（    ） A．弧是半圆 B．直径是弦 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 2．如图，在中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（    ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．下列命题中正确的是（    ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 二．圆的周长与面积（共3小题） 4．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（     ） A． B． C． D．不能确定 5．如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（     ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 6．如图，M、N是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 三．垂径定理的应用（共5小题） 7．下列说法不正确的是（    ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 8．小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点A，B均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm 9．如图，是的直径，是的弦，，垂足为点E，，，则= ． 10．已知的半径为10cm，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 cm． 11．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为60m，拱高为18m． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 四．弧、弦、圆心角（共4小题） 12．下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等 B．优弧一定比劣弧长 C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等 D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等 13．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 14．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述为 ． 15．已知：如图，A、B、C、D是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 五．圆周角及圆周角定理（共5小题） 16．下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（    ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 17．如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③ 18．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则= ．    20．如图，已知中，为半圆O的直径，、分别交半圆O于点E、D，且． （1）求证：点D是的中点； （2）若点E是的中点，判断的形状，并说明理由． 六．点与圆的位置关系（共4小题） 21．已知的半径为6，与圆同一平面内一点P到圆心O的距离为7，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 22．已知点A是外一点，且，则的半径可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．如图，已知矩形的边，．若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．在平面直角坐标系内，点A的坐标是．如果与两坐标轴有且只有3个公共点，那么的半径长是 ． 七．点与圆上一点的最值问题（共2小题） 25．如图，C、D是以为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P，若，，则最大值是 ． 26．如图，在中，，D是边的中点，以D为圆心，长为半径作，E是上一点，若，，则的最小值为 ，最大值为 ． 八．三角形外接圆（共3小题） 27．三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（    ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 28．三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 29．如图，在平面直角坐标系中 ，每个小正方形网格的边长为1 ，点A ，B，C都在格点上． （1）的外接圆的圆心坐标为__________，该外接圆的面积为__________； （2）点D在格点上，画出，使得． 九．圆的相关作图问题（共3小题） 30．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 31．如图，在中，，的平分线交边于点D．过B，D两点，且圆心O在边上． （1）用直尺和圆规作出；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，则的半径为________． 32．（1）尺规作图，作出的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （2）若，，求外接圆的直径长． 十．反证法（共4小题） 33．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（     ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 34．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为a= ，b= ． 35．用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”． 36．用反证法证明：已知中，，求证：． 十一．直线和圆的位置关系（共5小题） 37．若直线l与半径为6的相离，则圆心O到直线l的距离d满足（     ） A． B． C． D． 38．已知的半径为5，直线与相切，圆心O到直线距离等于 ． 39．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是 ． 40．如图，直线，相交于点O，，半径为1cm的的圆心在直线上，开始时，．如果以1cm/s的速度向右运动，那么当的运动时间t（s）满足条件 时，与直线相交． 41．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，且，点B的坐标为，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，称点为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图． （1）已知点， ①当点B的坐标分别为，时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为_________，_______； ②点是点A关于点B的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由； （2）如图2，点C的坐标为，以C为圆心，1为半径作圆，直接写出在上点A关于点B的“伴随点”的个数以及A的纵坐标m对应的取值范围． 试卷第2页，共2页 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 十二．切线的判定（共4小题） 42．如图，点B在上，点C在外，以下条件不能判定是切线的是（     ） A．， B． C． D．与的交点是中点 43．下列命题中，是真命题的为（     ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 44．如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，与，分别交于点E，F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 45．如图1，在中，点P在边上，，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）当是的直径时，如图2，求的度数． 十三．切线性质及应用（共5小题） 46．如图，以边为直径作交于点D，恰好是的切线，C为切点，连接．若，则的度数为 ． 47．如图，与相切于点A，连接并延长交于点C，连接．若，则的度数为 ．    48．如图，是的直径，E是延长线上的一点，是的切线，C是切点，D是上的一个点，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，则的长为______． 49．如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点E，交于点D，交于点C，求证：． 50．将一张边长为4的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把正方形纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点P在边上，过点P作的垂线交的延长线于点H． 【知识技能】 （1）如图1，若点H落在边上，求证：是等边三角形． 【数学理解】 （2）如图2，设，，试求y关于x的函数解析式． 【拓展探索】 （3）如图3，为的外接圆，若与边相切，求的长． 十四．三角形内切圆（共4小题） 51．如图，是一张周长为24cm的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（    ） A．12cm B．11cm C．10cm D．随直线的变化而变化 52．如图，内切于正方形，边、分别与切于点E、F，点M、N分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为（     ）    A． B． C． D． 53．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是 ． 54．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． （1）求的长． （2）已知，求的长． 十五．圆的外切四边形（共3小题） 55．如图，是四边形的内切圆．若，则（     ）    A． B． C． D． 56．已知、分别是、的半径，d是两圆的圆心距，当时，两圆（    ） A．外切 B．内切 C．外离或内含 D．相交 57．如图，四边形是的外切四边形，，，则四边形的周长为 ． 十六．圆与圆的位置关系（共4小题） 58．若两圆的半径分别为和，圆心距为2，那么这两圆的位置关系是（     ） A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 59．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④，其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 60．如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则= ． 61．已知半径为1，半径为r， 圆心距，如果与相切，则 ． 十七．圆的综合问题（共4小题） 62．如图，正六边形中，点M，N分别为边，上的动点，若正六边形的面积为a，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 63．已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（    ） A．3 B． C．4 D． 64．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D．求的最大值． 65．【问题提出】 （1）如图①，在中，点O为边的中点，画出关于点O的对称图形（点A的对应点记为C），此时四边形为形状为__________；      【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求四边形周长的最大值； 【问题解决】 （3）如图②，某风景区有一段笔直的河流，有一处自然喷泉（点M）在这条河流上，风景区在现有资金条件下准备修建一条长100米的直通道路，在道路的尽头C处安装一个张角为的高清摄像头以观测游客的活动，要求喷泉M恰好在摄像头观测到河流的边界点A、B的正中间，求摄像头能观测区域的最大面积．    十八．正多边形和圆（共4小题） 66．如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则度数为（ 　） A． B． C． D． 67．圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ． 68．如图，在正n边形中，，则n的值是 ． 69．一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 十九．弧长和扇形面积（共5小题） 70．如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（     ） A． B． C． D． 71．如图，B，C，D是半径为6的上的三点，已知的长，且，则的长为（    ）    A． B．6 C． D．12 72．如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（     ） A． B． C． D． 73．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计）．若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 74．圆锥的母线长为12cm，底面圆的半径为5cm． （1）侧面展开图的圆心角度数是 ． （2）如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 30 学科网（北京）股份有限公司 $