专题04 圆的相关概念及其性质（专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题04 圆的相关概念及其性质（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、理解圆的相关概念（易错） 1 题型二、利用圆的性质来判断结论正误 1 题型三、利用垂径定理求解（常考点） 2 题型四、利用垂径定理解决实际问题（常考点） 3 题型五、利用弧、弦、圆心角关系求解（重点） 4 题型六、利用弧、弦、圆心角关系求证（难点） 5 题型七、利用圆周角定理求解（常考点） 6 题型八、利用圆周角定理推论求解（难点） 7 题型九、利用圆内接四边形的性质求解（常考点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、理解圆的相关概念（易错） 1．（24-25六年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 3．（22-23九年级下·上海·阶段练习）下列说法正确的个数有（   ） ① 两条弧的长度相等，那么它们是等弧：② 若两个圆心角相同，则它们所对应的弧相等；③在同圆或等圆中，若两弦相等，则所对的弧相等：④ 若两弧相等，则所对的圆心角相等；⑤过三点可以画一个圆；⑥三角形的外心在三角形外． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·湖南娄底·三模）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（    ） A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径 C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径 题型二、利用圆的性质来判断结论正误 5．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上结论都不对 8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知是的直径，弦，分别过M，N作的垂线，垂足为C，D．有以下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若M为的中点，则D为中点．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 题型三、利用垂径定理求解（常考点） 9．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，在中，直径弦，垂足为E，已知，，则直径 10．（2025·安徽淮南·一模）如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为 ． 11．（21-22九年级下·海南海口·阶段练习）如图，的半径垂直于弦于点，连接并延长交于点，若，则 ， ． 12．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型四、利用垂径定理解决实际问题（常考点） 13．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上点有一障碍壶，米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为 ． 14．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 15．（2024·江西宜春·模拟预测）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为 ． 16．（24-25九年级下·河南许昌·开学考试）如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？ 17．（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 题型五、利用弧、弦、圆心角关系求解（重点） 18．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知，都是的直径，D是上一点，若，且，请写出与相等的角． 19．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 20．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径长． 题型六、利用弧、弦、圆心角关系求证（难点） 21．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，于点D，于点E，求证：． 22．（2025·四川成都·二模）如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 23．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 24．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 题型七、利用圆周角定理求解（常考点） 25．（2025·安徽·中考真题）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为 ． 26．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 27．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，长为半径作圆与相切于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型八、利用圆周角定理推论求解（难点） 28．（24-25九年级下·湖南·期末）如图，四边形内接于，点O在上，，过点C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：为的切线； (2)若G为位于上下方的一点，且，，求的长． 29．（2025·江西赣州·一模）如图，在中，以为直径的与相交于点，点在上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，直接写出图中阴影部分的周长和面积． 30．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，是圆O的弦，点A在圆O上，且，过A作分别交、圆O于D、E，延长至点F且， (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 题型九、利用圆内接四边形的性质求解（常考点） 31．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形内接于⊙平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 32．（24-25九年级下·山东日照·开学考试）如图，在圆内接四边形中，、是对角线，，，在的延长线上取点E，使，在的延长线上取点F，连接，使． (1)若，是圆的直径，求的度数； (2)求证：． 33．（2025·辽宁鞍山·三模）如图，在中，四边形是圆内接四边形，是的直径，，过D作交延长线于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径长． 34．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 35．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 36．（2025·四川眉山·中考真题）如图，为的直径，点C为圆上一点，过点C作的切线，交延长线于点D，过点B作，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求的长． 37．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 38．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若，，求的长． 39．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 40．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的相关概念及其性质（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、理解圆的相关概念（易错） 1 题型二、利用圆的性质来判断结论正误 1 题型三、利用垂径定理求解（常考点） 3 题型四、利用垂径定理解决实际问题（常考点） 7 题型五、利用弧、弦、圆心角关系求解（重点） 10 题型六、利用弧、弦、圆心角关系求证（难点） 15 题型七、利用圆周角定理求解（常考点） 17 题型八、利用圆周角定理推论求解（难点） 23 题型九、利用圆内接四边形的性质求解（常考点） 25 B综合攻坚・能力跃升 题型一、理解圆的相关概念（易错） 1．（24-25六年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个说法进行判断，然后作出选择． 【详解】解：①直径是弦，故原说法正确； ②弦不一定是直径，故原说法错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误； ⑤直径是圆中最长的弦，故原说法正确． 综上所述，正确的说法有①③⑤． 故选：B． 3．（22-23九年级下·上海·阶段练习）下列说法正确的个数有（   ） ① 两条弧的长度相等，那么它们是等弧：② 若两个圆心角相同，则它们所对应的弧相等；③在同圆或等圆中，若两弦相等，则所对的弧相等：④ 若两弧相等，则所对的圆心角相等；⑤过三点可以画一个圆；⑥三角形的外心在三角形外． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了等弧的概念，在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条优弧（或劣弧），两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余 各组量都分别相等，过不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形的外心等，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 根据等弧的概念，可判定①；在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条优弧（或劣弧），两条弦中有一组量相等，那么它们所对的 其余各组量都分别相等，可判定②③④；根据过不在同一直线上的三点确定一个圆可判定⑤；根据三角形的外心知识可判定⑥． 【详解】等弧不仅要求长度相等，还要求弯曲程度相同．两条弧的长度相等，并不能说明它们是等弧：故①不正确； 在同圆或等圆中，若两个圆心角相同，则它们所对应的优弧和劣弧分别相等．两个圆心角相同，并不能说明它们所对应的弧相等，故②不正确； 在同圆或等圆中，若两弦相等，则它们所对应的优弧和劣弧分别相等，故③不正确； 若两弧相等，则说明它们是等弧，它们在同圆或等圆中，故所对的圆心角相等，故④正确； 过不在同一直线上的三点可以画一个圆，若三点在同一直线上，过这三点不能画圆，故⑤不正确； 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外，故⑥不正确； 综上可知，说法正确的是④． 故选：B． 4．（2025·湖南娄底·三模）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（    ） A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径 C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径 【答案】D 【分析】本题考查圆的面积的推算，观察图形可知梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径，据此解答． 【详解】解：由图可得梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径， 故选：D． 题型二、利用圆的性质来判断结论正误 5．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理，根据垂径定理可得：，，，，无法得到，，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， 是的直径，为弦，于点E， ，，， ∴，， B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，不符合题意， ∵无法判断， D选项结论不成立，不符合题意， 故选：B． 6．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理等知识，根据弦、弧的关系及圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：∵于E，于F， ∴，， 故A、B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 只有时，， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧和弦的关系、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题关键．取的中点，连接，易得，进而可得，在中，根据三角形三边关系可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，取的中点，连接， ∵弧长等于弧长的2倍， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得， ∴． 故选：C． 8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知是的直径，弦，分别过M，N作的垂线，垂足为C，D．有以下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若M为的中点，则D为中点．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明 ，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案． 【详解】解：如图所示，连接、， 、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ，故②正确， ，， ，故①正确， 当四边形是正方形时， ， ， ，故③错误， 若是的中点，连接，而   ， ， 是等边三角形， ， ，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键． 题型三、利用垂径定理求解（常考点） 9．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，在中，直径弦，垂足为E，已知，，则直径 【答案】10 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，连接，如图所示，由垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵在中，直径弦，垂足为， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， 故答案为：10． 10．（2025·安徽淮南·一模）如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，弧长公式，根据垂径定理和等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， ． 为的弦，， ， ∵， ∴的半径是2， 劣弧的长为． 故答案为：． 11．（21-22九年级下·海南海口·阶段练习）如图，的半径垂直于弦于点，连接并延长交于点，若，则 ， ． 【答案】 5 【分析】连接，由，根据垂径定理得，在中，根据勾股定理求出的长，进而求出直径，再根据勾股定理求出的长，在中利用勾股定理可计算出．本题考查了垂径定理：也考查了勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ， ， 在中，， ， ． 为直径， ． 在中，， 在中，． 故答案为：5，． 12．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 题型四、利用垂径定理解决实际问题（常考点） 13．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上点有一障碍壶，米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为 ． 【答案】米/ 【分析】依题意，三点共圆，设圆弧的半径为，过点作交于点，进而根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：依题意，三点共圆，如图， 设圆弧的半径为，过点作交于点， ∵，， ∴， 在中， ∴ 解得： 故答案为：米． 14．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．连接，连接交于点H，设，根据列方程即可求得长度，进而得到半径． 【详解】 解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H， 设， 最高点E到地面的距离为6mm， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（2024·江西宜春·模拟预测）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为O，的中点为M，的中点为N， 连接，，则，，且过圆心O， ∴，， 由题意，得，设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：． 16．（24-25九年级下·河南许昌·开学考试）如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？ 【答案】不需要采取紧急措施 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接、，由题意可得，，，，，，由垂径定理可得，，再利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、， ， 由题意可得：，，，，，， 由垂径定理可得：，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不需要采取紧急措施． 17．（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 题型五、利用弧、弦、圆心角关系求解（重点） 18．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知，都是的直径，D是上一点，若，且，请写出与相等的角． 【答案】，， 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧间的关系求得，由对顶角的定义知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴与相等的角有：，，． 19．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角可得：，再根据已知易得：，然后证明，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，再根据垂径定理可得：，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，三角函数，直径所对的圆周角为直角，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即可证明是的切线； （2）连接，易得，根据直径所对的圆周角为直角，得到，勾股定理求出的长，再结合三角函数求出的长，即可解题． 【详解】（1）证明： ， ， ，， ， 即， ， 是直径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 解得， 的半径为． 题型六、利用弧、弦、圆心角关系求证（难点） 21．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，于点D，于点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，连接，根据题意得出，进而证明，即可得证． 【详解】证明：连接． ， ， ， ． 又， ， ． 22．（2025·四川成都·二模）如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理推理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）连接，由C是的中点求得根据等边三角形的性质得到，求得，求得得到结论； （2）根据圆周角定理得到根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到于是得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 23．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由四边形是菱形，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论； （2）由E为弧中点，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：为弧中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即 24．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；； (2)补图见解析，为等腰三角形 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 题型七、利用圆周角定理求解（常考点） 25．（2025·安徽·中考真题）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 27．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，长为半径作圆与相切于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得长，证明，根据对应边成比例列方程解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：设的半径为r，则，， 在中， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，即的半径为3． 题型八、利用圆周角定理推论求解（难点） 28．（24-25九年级下·湖南·期末）如图，四边形内接于，点O在上，，过点C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：为的切线； (2)若G为位于上下方的一点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，，由推出，由得到，进而得到，再利用平行线的性质推出，再根据切线的判定定理即可证明； （2）连接，根据平行线的性质以及同弧所对的圆周角相等得到，得到，设的半径为，在中利用余弦的定义列出方程，求出的值，由是的直径，得出，，最后在中利用余弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， 解得：， ∵是的直径， ∴，， ∵在中，， ∴． 29．（2025·江西赣州·一模）如图，在中，以为直径的与相交于点，点在上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，直接写出图中阴影部分的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了圆的切线判定定理、圆周角定理以及扇形面积公式和弧长公式． （1）要证明为的切线，需证明，通过圆周角定理以及进行推导即可； （2）要求阴影部分的周长和面积，需要利用锐角三角函数以及同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出相关线段的长度和角度，再分别计算弧长、线段长以及扇形面积和三角形面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 由同弧所对的圆周角相等，得， 又， ， ， 即， 为的切线； （2）如图，连接， ，又， ， 在中，， ， ， ，， 在中， ， ， ， ，， ，， ， 阴影部分的周长为， ， ， ， ． 30．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，是圆O的弦，点A在圆O上，且，过A作分别交、圆O于D、E，延长至点F且， (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则为的直径，证明即可证明结论； （2）连接，求出，证明可得，设，则，，可得关于x的方程，解出方程即可得出、的长，利用勾股定理可求出长，进而完成解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是圆O的切线． （2）解：如图：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：． ∴，， ∴， ∴， ∴圆O的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质求线段的长成为解题的关键． 题型九、利用圆内接四边形的性质求解（常考点） 31．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形内接于⊙平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的定义以及全等三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用圆周角与弧的对应关系转化角的等量关系，通过构造辅助线（延长线段）创造全等或相似的条件． （1）利用平分得到角相等，结合圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），将角平分线得到的等角转化为与、相关的角，进而证明两角相等． （2）由可得通过圆内接四边形的对角互补性质得到结合第一问结论及角平分线性质证明再通过角的等量转化证明，最终得到比例式． 【详解】（1）证明：∵ 平分， ∴． ∵四边形内接于， ∴（同弧所对的圆周角相等）． ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵四边形内接于， ∴（圆内接四边形对角互补）． 又∵（平角定义）， ∴． 由（1）知 ∴（等角对等边）． 在和中 ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵ ，， ∴即 ∴． ∴， ∴，即． 32．（24-25九年级下·山东日照·开学考试）如图，在圆内接四边形中，、是对角线，，，在的延长线上取点E，使，在的延长线上取点F，连接，使． (1)若，是圆的直径，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要运用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及平行线的判定方法来求解． （1）利用直径所对的圆周角是直角得出，利用直角三角形两锐角互余得出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得出答案． （2）延长至点M，通过圆内接四边形的性质得到，再结合，等量代换可得出，进而利用平行线的判定方法证明两直线平行． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，延长至点M， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴． 33．（2025·辽宁鞍山·三模）如图，在中，四边形是圆内接四边形，是的直径，，过D作交延长线于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）要证明为的切线，需连接，利用圆内接四边形性质和角度关系证明； （2）通过角度关系证明为等边三角形，过E作于H，利用辅助线构造直角三角形，结合特殊角（）的直角三角形的性质计算线段的长度，进而求求出半径． 【详解】（1）解：连接，如图， 四边形是圆内接四边形，， ， 又 ， ， ， ， ， ，即， 是半径， 为的切线。 （2）， ， ，四边形是圆内接四边形， ， 又， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 过E作于H， 在中， ， ， ， 在中，， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查了圆的综合题，切线的判定性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确构造辅助线是解题的关键． 34．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 35．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 36．（2025·四川眉山·中考真题）如图，为的直径，点C为圆上一点，过点C作的切线，交延长线于点D，过点B作，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，，，等边对等角，得到，切线推出，直径得到，进而得到，推出，平行线的性质，结合圆周角定理得到，等角对等弧，即可得证； （2）延长交于点，连接，由（1）可推出是含30度角的直角三角形，利用三角函数进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，，则：， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交于点，连接，则：为的直径， ∴， ∵的半径为2， ∴ ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 37．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由，得到，，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)长为44． 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【详解】（1）证明： ，分别切于A点，B点， 平分， ， 又 ， ， ． （2）延长交于点F，连接，则， ，分别切于A点，B点， C为的中点， ， ， 又 ，， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 39．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：连接， ∵点D是的内心， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴． （3）解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故的长为． 40．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $