专题03 二次函数与几何问题（专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题03 二次函数与几何问题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、将军饮马问题（线段和最小） 1 题型二、将军饮马问题（线段差最大） 2 题型三、周长最值问题 3 题型四、面积最值问题 4 题型五、造桥选址问题 5 题型六、阿氏圆问题 6 题型七、胡不归问题 7 题型八、角度存在性问题 8 题型九、等腰三角形存在性问题 9 题型十、直角三角形存在性问题 10 题型十一、等腰直角三角形存在性问题 11 题型十二、全等/相似三角形存在性问题 12 题型十三、平行四边形存在性问题 13 题型十四、矩形存在性问题 14 题型十五、菱形存在性问题 14 题型十六、其它存在性问题 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、将军饮马问题（线段和最小） 1．（24-25九年级上·新疆哈密·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处． (1)求抛物线的解析式； (2)求点P的坐标； (3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中． (1)若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得最小？若点P存在，求出点P坐标；若点P不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 题型二、将军饮马问题（线段差最大） 4．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上找一点 Q，使三角形面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积； (3)在抛物线的对称轴上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上找一点 N，使最大．写出点 M、点 N 的坐标； 5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知抛物线 与x 轴交于点，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使得的值最大，求点P的坐标． 6．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． (1)求四边形的面积； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 题型三、周长最值问题 7．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象经过、、三点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)结合图象，当时，求出的取值范围； (3)点是该抛物线对称轴上一点，当周长最小时，求点的坐标． 9．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由． 题型四、面积最值问题 10．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积最大时点E的坐标． 11．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为S，求S关于的函数关系式，并求使S最大时的坐标和S的最大值； 题型五、造桥选址问题 12．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A和两点，与y轴交于，直线经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F． (1)求抛物线的解析式和m的值； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． (3)在x轴上有M、N两点（M在N的右侧），且，若将线段在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）． 13．（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 14．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 题型六、阿氏圆问题 15．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 16．（2024·湖北·模拟预测）若抛物线交x轴于交y轴于 (1)请求出抛物线的解析式并直接写出的解集． (2)在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标． (3)以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值． 题型七、胡不归问题 17．（23-24九年级下·山东青岛·自主招生）如图，已知抛物线与x轴交于和两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，，且，如图所示． (1)求该抛物线的解析式 (2)设P是抛物线对称轴上的一个动点． ①过点P作x轴的平行线交线段于点E，过点E作交抛物线于点F，连接、，求面积的最大值． ②连接，求的最小值 18．（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 题型八、角度存在性问题 19．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，交x轴于点A、B(A点在 B 点左侧)，顶点为 D． (1)求该抛物线的解析式及点A、B的坐标； (2)将沿直线对折，点A的对称点为，试求点的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点 P，使，若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 21．（24-25九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点D，直线与抛物线相交于A，C两点． (1)求抛物线的解析式． (2)设点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作平行x轴，交抛物线于点N，垂直于点M，当P在对称轴左方时，求的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由． 22．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，已知抛物线：过点，，. (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线上存在一点T，使得，求T点横坐标； (3)直线与抛物线交于M、N两点，若在x轴上存在唯一的一点P使得，求m的值 题型九、等腰三角形存在性问题 23．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型十、直角三角形存在性问题 25．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标． 26．（2024·山东济南·二模）如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点P的横坐标为t．当t为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形； (3)如图2，过抛物线顶点作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请求出实数的取值范围． 题型十一、等腰直角三角形存在性问题 27．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 28．（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，，抛物线的对称轴与直线交于点M，与x轴交于点N． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是对称轴上的一个动点，当以P、C、M为顶点的三角形与相似时，求出点P的坐标； (3)D为的中点，在x轴上找一点E，在抛物线的对称轴上找一点F，连接，使的值最小． (4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十二、全等/相似三角形存在性问题 29．（2023·陕西咸阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．    (1)求点A、B、C的坐标； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，若，求点的坐标； (3)点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型十三、平行四边形存在性问题 31．（23-24九年级下·甘肃天水·期中）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 题型十四、矩形存在性问题 33．（2024·广东·模拟预测）已知抛物线，且无论取何值，抛物线都会经过一个定点． (1)求定点的坐标． (2)连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在二次函数的图象上，求的值． (3)在（2）的条件下，点为抛物线的对称轴上一点，点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 题型十五、菱形存在性问题 35．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作 轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十六、其它存在性问题 37．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 38．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线． (1)试说明：无论为何值，抛物线必经过某个定点． (2)若抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点， (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，连接，已知抛物线的对称轴交x轴于点M，问对称轴上是否存在点N，使得，若存在，试求出点N坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，P为直线上一动点，求的最小值． 40．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求的面积； (2)若直线与抛物线有两个不同的交点，求m的取值范围； (3)在第（2）小题的条件下，设直线与x轴、抛物线分别交于D、E、F三点（点E在点F左边），当线段、、中，存在相等线段时，请求出m的值． 41．（2024·青海西宁·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 42．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 43．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 44．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 45．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 46．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 48．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与几何问题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、将军饮马问题（线段和最小） 1 题型二、将军饮马问题（线段差最大） 6 题型三、周长最值问题 11 题型四、面积最值问题 15 题型五、造桥选址问题 18 题型六、阿氏圆问题 28 题型七、胡不归问题 31 题型八、角度存在性问题 35 题型九、等腰三角形存在性问题 46 题型十、直角三角形存在性问题 49 题型十一、等腰直角三角形存在性问题 53 题型十二、全等/相似三角形存在性问题 61 题型十三、平行四边形存在性问题 66 题型十四、矩形存在性问题 72 题型十五、菱形存在性问题 77 题型十六、其它存在性问题 80 B综合攻坚・能力跃升 题型一、将军饮马问题（线段和最小） 1．（24-25九年级上·新疆哈密·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处． (1)求抛物线的解析式； (2)求点P的坐标； (3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先求出抛物线的对称轴，再设点的坐标为，则，根据旋转的性质可得，从而可得，将点代入抛物线的解析式求出的值，由此即可得； （3）先根据点坐标的平移规律求出点，作点关于轴的对称点，连接，从而可得与轴的交点即为所求的点，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为， 设点的坐标为，则， 由旋转的性质得：， ，即， 将点代入得：， 解得或（舍去）， 当时，， 所以点的坐标为； （3）解：抛物线的顶点的坐标为， 则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点， 这时点落在点的位置，且， ，即，恰好在对称轴直线上， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则， 由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小， 由轴对称的性质得：， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键． 2．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中． (1)若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得最小？若点P存在，求出点P坐标；若点P不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，得到，进而求出的坐标，两点式设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称性得到，进而得到当点在线段上时，最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵绕原点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设二次函数的解析式为：，把代入解析式，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线， ∵关于对称轴对称，点在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，最小， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入解析式，得：， ∴， ∴当时，， ∴． 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)存在， 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积的计算，点的对称性，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与y轴的交点为点H，求出直线，抛物线与y轴的交点坐标，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为点H， 对于， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 联立得：， 解得：或， ∴点， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在， 由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点为点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为． 题型二、将军饮马问题（线段差最大） 4．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上找一点 Q，使三角形面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积； (3)在抛物线的对称轴上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上找一点 N，使最大．写出点 M、点 N 的坐标； 【答案】(1)，； (2)，最大面积为； (3),． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的应用-面积问题，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法分别求出二次函数与一次函数的解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设点，则， 求出，利用二次函数性质即可求解； （3）连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，把代入中，求得，即可得出的坐标，由,得到当三点共线时，此时最大，求出直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵对称轴为直线，且抛物线经过， ∴点， 设直线的解析式为，把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点, 设点，则， ∴， ∴， 对于二次函数，，对称轴为， ∴当时，， 此时点的纵坐标为， ∴，最大面积为； （3）解：∵抛物线对称轴为，点关于对称轴的对称点为, ∴连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，如图： 把代入中，得， ∴, 根据, ∴当三点共线时，此时最大， 如图，连接并延长，交直线于点， 设直线的解析式为，把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴． 5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知抛物线 与x 轴交于点，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使得的值最大，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用两点式写出函数解析式，再把代入，求解即可； （2）根据，得到当三点共线时，的值最大，求出直线的解析式，进而求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x 轴交于点， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，代入，得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当三点共线时，的值最大， ∴直线与对称轴的交点即为点， 设直线得解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 当时，， ∴． 6．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． (1)求四边形的面积； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求一次函数的解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分别求得抛物线与轴和轴的交点，从而得出的值，进一步得出结果； （2）连接，则，过当三点共线时最大，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， 当时，， ， 由得，， ， 当时，， ， ∴ ； （2）解：如图， 抛物线的对称轴为：直线， 连接， 根据抛物线对称性可得：， 则， 故当三点共线，的值最大，最大值即为的长， 设直线的解析式为：， ， ， ， 当时，， ． 题型三、周长最值问题 7．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值，再求解直线的解析式即可得到的坐标． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上， 解得 抛物线的解析式为； （2）解： 对称轴为 如图，连接， 关于轴对称 的周长等于， 当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为 由抛物线解析式， 令，即， 解得， ， ， ∴，， 的周长的最小值为， ， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理的应用，一次函数的解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象经过、、三点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)结合图象，当时，求出的取值范围； (3)点是该抛物线对称轴上一点，当周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识． （1）利用配方法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，利用图象法判断即可； （3）利用轴对称解决最短问题即可． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为； （2）当时，， 解得或， 抛物线的顶点坐标为， 观察图象可知，当时，； （3）如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接． 抛物线的对称轴是直线 又，关于直线对称， ，此时，此时的值最小，即的周长最小， ，， 设的解析式为， 则 解得： 直线的解析式为， 当时，， ． 9．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，四边形周长的最小值为9 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题． （1）设交点式为，然后把点坐标代入求出，于是得到抛物线解析式为； （2）先确定抛物线的对称轴为直线，连接交直线于点，如图，利用对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到最短，于是可判断此时四边形的周长最小，然后计算出，再计算即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为，即； （2）存在． 因为、， 所以抛物线的对称轴为直线， 连接交直线于点，如图，则，，此时最短， 所以此时四边形的周长最小， 因为， 所以四边形周长的最小值为． 题型四、面积最值问题 10．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积最大时点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，面积最值问题，运用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴公式求出的值，由可得，代入到抛物线的解析式求出的值，即可得出答案； （2）过点E作轴交于点，根据二次函数的性质求出B，C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，利用三角形的面积公式表示出的面积，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴， 代入到抛物线得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点E作轴交于点， 令，则， 解得：，， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，有最大值， 此时， ∴点E的坐标为． 11．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为S，求S关于的函数关系式，并求使S最大时的坐标和S的最大值； 【答案】(1)是直角三角形 (2)，的最大值为8， 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据二次函数解析式求出点A，B，C的坐标，表示出，，的长度，根据勾股定理求出，，，利用勾股定理逆定理可得结论； （2）根据A，C的坐标可得出直线的解析式，由点P的坐标表示出点Q的坐标，根据可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． 当时，， 当时，， 则或， ，，， ，，， ，，， ∴， 是直角三角形，且． （2）解：设直线的解析式的解析式为：， ∵直线过点， ， ， 解得：， 直线的解析式的解析式为：， ∵点是抛物线在第一象限部分上的点， ∴， ∵轴，交直线于点Q， ∴， ， ， ， 即S关于m的函数关系式为， 当时，的最大值为8，此时． 题型五、造桥选址问题 12．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A和两点，与y轴交于，直线经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F． (1)求抛物线的解析式和m的值； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． (3)在x轴上有M、N两点（M在N的右侧），且，若将线段在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)，m的值是3 (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式，然后代入一次函数解析式即可得m的值； （2）连接交对称轴于P，点P就是所求的点．根据点B和点C的坐标求出直线的解析式，进而求出点P的坐标即可； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点F向右平移2个单位得到F′，作点E关于x轴的对称点，连接与x轴交于点M，过点F作交x轴于点N，则，，而，M，三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出E'F'，，即知四边形周长的最小值为． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， ∴； 把代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为，m的值是3； （2）如图1，连接交对称轴于P， ∵A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴点P就是所求的点． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴点P的坐标为； （3）∵E，F为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小， 将点F向右平移2个单位得到，作点E关于x轴的对称点，连接与x轴交于点M，过点F作交x轴于点N，如图2： 作图可知，，， ∵，M，三点共线， ∴，此时的值最小， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点F为直线与的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形周长的最小值为． 【点睛】此题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理、轴对称最短问题，掌握待定系数法，利用轴对称图形的性质添加辅助线，构造线段和的最小值，是解题的关键． 13．（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)存在，的坐标为或或或 (3)的最小值为 【分析】（1）由解析式知，由，即，知，即，再把，代入中，即可解出、的值； （2）先求出，设，，当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时．再分别根据平行四边形的对角线性质列方程即可求解每种情形下的点坐标； （3）由待定系数法可知直线的表达式为，设，，则，即最大值为时，，此时,再求出,构造平行四边形，则由平行四边形性质可得，则，当且仅当A、、共线时取等号．由勾股定理得，即的最小值为，进而的最小值为． 【详解】（1）解：由抛物线可知，， ，即， ，即， 把，代入中， 得，解得， ∴抛物线表达式为。 （2）解：存在，理由如下： 令，由韦达定理知， ∵， ，即． 设，，，， 则当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论： 当、为对角线时，由平行四边形对角线性质可得 ，解得：（舍弃）或， ∴； 当、为对角线时，同理可得 ，解得：，则， ∴或； 当、为对角线时，同理可得 ，解得：（舍弃）或， ∴， 综上，的坐标为或或或。 （3）解：由待定系数法可知直线的表达式为， 设，，则， ∴最大值为时，，此时， 点为线段的中点， , 构造平行四边形，则由平行四边形性质可得， ，当且仅当A、、共线时取等号． 故，即的最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式、解直角三角形、平行四边形的存在性问题、二次函数与线段最值、线段和最小值问题等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或 ． 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）利用二次函数解析式可得，进而可得直线AC的解析式为，设点，过点作轴，交直线于点，可得 ，即得，即可得到 ，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点， 连接交直线l于点M，则，又可知四边形是平行四边形，得即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解； （）由题意可得抛物线 沿射线AC向下平移2的单位长度，再向右平移4的单位长度得到新的抛物线y'，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ ∵抛物线的函数图象与轴交于，两点，代入得，解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的函数图象与轴交于点， 当时，得， ∴， 设直线的解析式为， 把点，点的坐标分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点， 过点作轴，交直线于点，如图，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当 时， 的面积取最大值， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵点与点关于直线的对称点， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值； （3）解：点的坐标为 或，理由如下： ∵直线的解析式为， ∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， 如图，当时，， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 由， 解得（不合，舍去）或 ， ∴ ； 当，与轴的交点为点时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 由 解得（不合，舍去）或， ∴ ； 综上所述，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 题型六、阿氏圆问题 15．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 16．（2024·湖北·模拟预测）若抛物线交x轴于交y轴于 (1)请求出抛物线的解析式并直接写出的解集． (2)在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标． (3)以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)当的坐标为、、或时三角形为直角三角形 (3) 【分析】（1）将、、代入即可求解；由图象可知当时，；据此即可求解； （2由题意得其对称轴，设 ，分别求出直线、直线、直线的解析式，分类讨论、、三种情况即可求解； （3） 在上做一点，使，可证，推出，即可求解； 【详解】（1）解：抛物线过、、 可得方程组 解得 由图象可知：当时，； ∴的解集为 （2）解： ∵ 抛物线的对称轴为直线 设 ， ∵、 ∴，， 当时，， 即： 解得； 当时，有, 即： 解得 ； 当时，有; 即： 解得、 ； 当的坐标为、、或时三角形为直角三角形 （3）解：在上做一点，使，连TC，TM，MB 在与中， ， ， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为即 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数与不等式的关系、待定系数法、二次函数与特殊三角形综合、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相关函数性质是解题关键. 题型七、胡不归问题 17．（23-24九年级下·山东青岛·自主招生）如图，已知抛物线与x轴交于和两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，，且，如图所示． (1)求该抛物线的解析式 (2)设P是抛物线对称轴上的一个动点． ①过点P作x轴的平行线交线段于点E，过点E作交抛物线于点F，连接、，求面积的最大值． ②连接，求的最小值 【答案】(1) (2)①面积的最大值为；②的最小值为 【分析】（1）设抛物线的解析式为：，可得对称轴为直线，由锐角三角函数可求点坐标，代入解析式可求解析式； （2）①先求出直线解析式，设，可得点，点，可求的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解； ②根据图形的对称性可知，，过点作于，可得，可得，过点作于点，则，即是的最小值，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可设抛物线的解析式为：，抛物线的对称轴为直线， ，即， ∴， 又∵， ， 即， 代入抛物线的解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①设，其中， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 即直线的解析式为， 令，得：， ∴点， 把代入，得， 即， ∴， ∴的面积， ∴当时，的面积最大，且最大值为； ②如图，根据图形的对称性可知，，， ∴， 过点作于，则在中，， ∴， 过点作于点，则， ∴线段的长就是的最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三角形面积公式，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 18．（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数解析式及顶点坐标，一次函数解析式，二次函数的性质，解直角三角形等知识； （1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入解析式即可求解； （2）设直线为，把，分别代入解析式即可求得直线解析式，即可求解； （3）以为斜边作（点在轴右侧），使得得，过点作，交轴于，交于点，则，根据，得，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长，在中，，，可得，，进而可求得，即可求解 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， 将点代入，解得， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， （2）解：设直线为， 把，分别代入得， ． 直线为解析式为 令得， ． （3）解：如图，以为斜边作（点在轴右侧），使得， ， 过点作，交轴于，交于点，则， 根据，得 则，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长， 在中，， ， ， 即的最小值为 题型八、角度存在性问题 19．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，交x轴于点A、B(A点在 B 点左侧)，顶点为 D． (1)求该抛物线的解析式及点A、B的坐标； (2)将沿直线对折，点A的对称点为，试求点的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点 P，使，若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，点A、B的坐标分别为 (2) (3)或 【分析】（1）将代入抛物线解析式求得的值，从而得出抛物线的解析式，再令，得出的值，即可求得点、的坐标； （2）如图2，作轴于，可证明，得出，由，即可得出的长，即可求得的坐标； （3）分两种情况：①如图，以为直径作，交抛物线的对称轴于的下方），由圆周角定理得出点坐标；②如图，类比第（2）小题的背景将沿直线对折，点的对称点为，以为直径作，交抛物线的对称轴于的上方），作于，交对称轴于，求得，在中，由勾股定理得出 【详解】（1）解：∵把代入得， 解之得 ∴所求抛物线的解析式为 ∴令得： 解之得， ∴点A、B的坐标分别为； （2）如图，作，垂足为H． 且 ∴， ∴， ∴． ∴A、C、三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴所求点的坐标为． （3）分两种情况讨论：①如图，以为直径作，交抛物线的对称轴于点 P (的下方)． ，点P的横坐标为4． 由圆周角定理得： ， ∵点A、B的坐标分别为， ∴此时点 P的坐标为． ②如图，以为直径作，交抛物线的对称轴于点，过点作，垂足为E，连接， ∵点与点 A 关于对称， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴ ∴此时，点的坐标为 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的相关性质、一元二次方程的解法以及二次根式的运算、相似三角形的判定与性质、勾股定理等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求． 20．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）由题意可得抛物线的顶点为，从而可得，求出、的值即可得解； （2）求出直线的表达式为解方程组得，从而可得点F的坐标为．连接，过点P作轴，垂足为M，由题知轴，求出 ，设点P的坐标为，则当时，，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题知，抛物线的顶点为， ∴ ∴，， 解得：，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：存在． 理由：∵直线与x，y轴分别相交于点D，E， ∴当时，，解得， ∴点D的坐标为． ∵解，得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的表达式为 解方程组得， ∴点F的坐标为． 连接，过点P作轴，垂足为M， 由题知轴，，，， 设点P的坐标为， 当时，， 解得，（舍）， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数综合—角度问题、解直角三角形的应用、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21．（24-25九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点D，直线与抛物线相交于A，C两点． (1)求抛物线的解析式． (2)设点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作平行x轴，交抛物线于点N，垂直于点M，当P在对称轴左方时，求的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形等知识，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法直接求解即可； （2）过点作轴交于点， 为等腰直角三角形，则，而，，故，即可求解； （3）连接，过点D作于点K，过点Q作轴于点L，将问题化为，继而利用等角的正切值相等，建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， ∴解析式为： （2）解：过点作轴交于点， 对于直线，当， 时，， 解得：， ∴，而 ∴， 而轴， ∴， 而垂直于点M， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵对称轴为：直线， ∴设， ∵平行x轴， ∴关于直线对称， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，取得最大值为， ∴ （3）解：存在，理由如下： 连接，过点D作于点K，过点Q作轴于点L， 由上知， ∴， ∴， 联立， 解得：或， ∴， 而对于抛物线，当， ∴， ∴轴， ∴， ∴同上可得：， 而， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍） ∴． 22．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，已知抛物线：过点，，. (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线上存在一点T，使得，求T点横坐标； (3)直线与抛物线交于M、N两点，若在x轴上存在唯一的一点P使得，求m的值 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）以为斜边作等腰直角三角形，，直线或与抛物线交于点，则，勾股定理列出方程，求得的坐标，进而求得直线的解析式为，，直线的解析式为，，联立抛物线解方程，即可求解； （3）设的横坐标分别为，根据根与系数的关系得出，则的中点在轴上，即，根据题意可得是以为圆心，半径为的圆与轴的切点，进而根据水平线的夹角为，得出，根据根与系数的关系得出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将，，代入，得， 解得： ∴此抛物线的解析式为 （2）解：如图所示，以为斜边作等腰直角三角形，，直线或与抛物线交于点，则， 设， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 或 ∴， 设直线的解析式为，，设直线的解析式为，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，，直线的解析式为，， 联立，解得：或 联立，解得：或 ∴T点横坐标为或； （3）解：∵与抛物线交于M、N两点， 当时，， 设的横坐标分别为 ∴是方程，即的两个根， ∴， ∴的中点在轴上，即 ∵， ∴是以为直径，为圆心的圆上的一点， ∵在x轴上存在唯一的一点P，使得 即是圆与轴的切点， ∴ ∵与抛物线交于M、N两点，与水平线的夹角为， ∴ ∴ ∴，即 解得：或 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，角度问题，切线的性质，一元二次方程根与系数的关系，直角所对的弦是直径，解一元二次方程，一次函数；熟练掌握以上知识是解题的关键 题型九、等腰三角形存在性问题 23．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，则，由题意可知，，则，当时，有最小值，此时； （3）设，求出，，，分三种情况讨论：当时，；当时，，无解；当时，或． 【详解】（1）解：将点，，点代入中， ， 解得， ； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， ， 点横坐标为， ，， 当时，有最小值，此时； （3）存在点，使得是等腰三角形，理由如下： ， 对称轴为直线， 设， ，，， 当时，，解得， ； 当时，，无解； 当时，，解得或， 或； 综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 24．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 题型十、直角三角形存在性问题 25．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，根据轴对称性质可知，由此可知，即最小时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 26．（2024·山东济南·二模）如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点P的横坐标为t．当t为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形； (3)如图2，过抛物线顶点作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请求出实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)m的变化范围为 【分析】（1）把点和点代入，得到，解方程即可； （2）表示出三边平方，，，，当时，则，可得，解方程即可； （3）当在左侧时，证明，得到，即，即可求解；当在右侧时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线，与轴交于点和点，代入得： ，解得：， ； （2）解：可得， 当时，， ∴点， ∴， ， 当时， ∴， ∴， 解得：或（舍） ； （3）解：由（1）知，， ，，， 过作于点，则， 如图2.1，当在左侧时， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ， 设，则， ， 即， 关于的方程有解，， 得且； 当与重合时，； 如图2.2，当在右侧时，中，，，即， 作交轴于点，则， ， ， 即为点时，， ， 综上，的变化范围为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理，以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 题型十一、等腰直角三角形存在性问题 27．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4)的值是或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）先计算点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，最后利用面积和可得的面积； （3）分两种情况：当点P位于直线下方时，先计算，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得：，则，从而根据直线和抛物线的交点坐标可解答，当点P位于直线上方时，作轴于E，于F，求出即可； （4）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵点是抛物线上的动点，， ∴， ∴， 设的解析式为：，与轴交于点， 把和代入得：， ∴， ∴的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， ∴的面积； （3）解：如图1，当点位于直线下方时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求得的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴； 当点位于直线上方时，作轴于，于， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即． 综上，或． （4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ∵， ∴抛物线对称轴是直线， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 28．（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，，抛物线的对称轴与直线交于点M，与x轴交于点N． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是对称轴上的一个动点，当以P、C、M为顶点的三角形与相似时，求出点P的坐标； (3)D为的中点，在x轴上找一点E，在抛物线的对称轴上找一点F，连接，使的值最小． (4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点P的坐标为或 (3)的最小值为2 (4)存在，点Q 的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求直线的解析式，然后分两种情况讨论：①当时，则有轴，求出；②当时，由，可求得； （3）先求出，如图所示，作点C关于对称轴的对称点，作点D关于x轴的对称轴，连接，则，由轴对称的性质可得，则当四点共线时，最小，即此时最小，最小值为，即可得到的最小值为． （4）分两种情况讨论：点在轴右侧和点在轴左侧，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，证明，则，得出关于的方程，求解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵，，， ∴． 设抛物线的解析式为，则 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）存在以P、C、M为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵， ∴对称轴是直线． 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得：， ∴． ∴． ∴由两点间距离公式可得：． 若以P、C、M为顶点的三角形与相似，则有， ①如图1，当时，则有轴， ∴．    ②如图2，当时，    ∴． ∴． ∴． ∴． 综上所述，点P的坐标是或 （3）解；∵D为的中点， ∴， 如图所示，作点C关于对称轴的对称点，作点D关于x轴的对称轴，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小，最小值为， ∴的最小值为． （4）存在，理由如下： ①如图3，当点在轴右侧时，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去） ∴Q的坐标是． ②如图4，当点在轴左侧时，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去） ∴Q的坐标是． 综上所述，Q的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题，属于压轴题，难度较大． 题型十二、全等/相似三角形存在性问题 29．（2023·陕西咸阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．    (1)求点A、B、C的坐标； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，点P和点N的坐标分别为： 或 或 或 ． 【分析】（1）令，得解方程求出的值，可得的坐标，将抛物线解析式化为顶点式可得点的坐标； （2）分和两种情况，依据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）对于，令，得 解得， ∵点A在点B的左侧， ∴， 又 ∴； （2）由（1）知，，， ∵l交x轴于点D ∴ ∴ ∵轴, ∴      分两种情况讨论： ①当时， ， ∴点P的横坐标为2或； 当时，， ∴ ∴ ∴ 当时，， ∴ ∴ ∵ ∴ ②当时， ∴点P的横坐标为1或； 当时，， ∴ ∴ ∵ ∴ 当时，， ∴ ∴ ∴ 综上所述，点P和点N的坐标分别为： 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，正确进行分类讨论是解答本题的关键． 30．（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，若，求点的坐标； (3)点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）先求出点的坐标及直线的解析式，再根据图及题意得出的面积，过点作轴，交于点，设，则，根据的面积，列出关于的方程，解方程即可求解； （）由题意得出为等腰直角三角形，得到是等腰直角三角形，然后分，，三种情况讨论，结合图形，得出边之间的关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对，令，则， ∴点的坐标为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交直线于点， ∴， ∴， 设点，则点， ∴ ， 解得，， ∴点的坐标为或； （3）解：由得，抛物线的对称轴为直线 ， ∴点的坐标为， 设点（），（）， ∵和点， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∵与相似， ∴是等腰直角三角形， 如图，当时，， ∴   ，    解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为； 如图，当时，， ∴       ， 解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为； 如图，当时，， ∴    ， 解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数图象上的点的坐标特征，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是用待定系数法求得抛物线的解析式． 题型十三、平行四边形存在性问题 31．（23-24九年级下·甘肃天水·期中）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H，M，H三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．涉及二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 32．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． (1)因为抛物线与x轴相交，所以可令，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式； (2)根据P点在上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； (3)此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标． 【详解】（1）解：令，得 ， 解得或， ∴， 将C点的横坐标代入得 ， ∴， ∴设直线的函数解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的函数解析式是； （2）设P点的横坐标为， 则P、E的坐标分别为，， ∵P点在E点的上方， ∴， 由，对称轴，抛物线开口向下， ∴当时，PE的最大值为； （3）(3)存在4个这样的点F，分别是，． ①如图1， 连接C与抛物线和y轴的交点， ∴轴， ∴，， ∴F点的坐标是； ②如图2， ，A点的坐标为， ∴F点的坐标为； ③如图3， 此时C，G两点的纵坐标互为相反数， ∴G点的纵坐标为3，代入抛物线中，得 ， 解得（不符合题意，舍去）， ∴G点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴直线与x轴的交点F的坐标为； ④如图4， 同③可求出F的坐标为， ∴符合条件的F点共有4个，为，，． 题型十四、矩形存在性问题 33．（2024·广东·模拟预测）已知抛物线，且无论取何值，抛物线都会经过一个定点． (1)求定点的坐标． (2)连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在二次函数的图象上，求的值． (3)在（2）的条件下，点为抛物线的对称轴上一点，点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据“无论取何值，抛物线都会经过一个定点”，由可得的系数等于，可得结论； （2）如图，过点作轴于点，作轴于点，得，，根据旋转的性质得，，证明，得，，继而得到，再根据函数图象上点的坐标特征即可求出的值； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据矩形的对角线相等且互相平分列出方程组求解即可。 【详解】（1）解：∵， 又∵无论取何值，抛物线都会经过一个定点， ∴， 解得：， ∴， ∴定点的坐标为； （2）如图，过点作轴于点，作轴于点， ∴， ∵， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得：， 即的值为； （3）存在，理由： 当时， 该抛物线的解析式为，对称轴为（如上图）， 设，， ∵，， ∴， 当为对角线时，则： ， 解得：， 此时点的坐标为或； 当为对角线时，则： ， 解得：， 此时点的坐标为； 当为对角线时，则： ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，当点的坐标为或或或时，以，，，为顶点的四边形是矩形 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，两点间的距离，方程组的应用等知识点，解题的关键是学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 34．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 题型十五、菱形存在性问题 35．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最大值为 (3)存在，或 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，设，则，表示，可知当时，取得最大值，最大值为，此时，，即可求解坐标以及面积最大值； （3）根据菱形的对角线垂直且互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时， 点的坐标为，的最大值为； （3）解：存在．如图， 设点，交于点，若四边形是菱形，连接，则，， ， 解得， 或． 36．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作 轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线； (2)，的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或．理由见解析 【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴计算公式进行求解即可； （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以，则抛物线的对称轴为直线． （2）解：由抛物线表达式得：C点坐标为， 设直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为． （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形，则， 即，解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． 题型十六、其它存在性问题 37．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为，， (3)存在，定点的值为4 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，， 解得：， ∴； ②当为对角线时，， 解得：， ∴； ③当为对角线时，， 解得：， 解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． （3）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得：， ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键 38．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线． (1)试说明：无论为何值，抛物线必经过某个定点． (2)若抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①；②存在，点P的坐标是或． 【分析】本题考查待定系数法，二次函数图像和性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）法一：把代入，即可求解；法二：将整理成，计算求解即可； （2）①由题意，可知，，求得，进而求解点的坐标，进而求解的值；②连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点，把代入，求得点的坐标，进而求得直线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：法一：当时，， ∴无论为何值，抛物线必经过定点． 法二：由，可得， ， 解得：， ∴无论为何值，抛物线必经过定点； （2）①由题意，可知，， ∴， ∴，解得（舍去），， ∴点的坐标是． 把点代入，得，解得． ②∵，抛物线的表达式是． 如图，连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点， 则， ∵， 点的坐标是， 点的坐标是． 把代入，得， 点的坐标是． 设直线的表达式是，则， 解得， ∴直线的表达式是． 设直线的表达式是， 把点代入， 得， ∴直线的表达式是． 联立方程组，得， 解得，， ∴抛物线上存在点，使得，点的坐标是或； 39．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点， (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，连接，已知抛物线的对称轴交x轴于点M，问对称轴上是否存在点N，使得，若存在，试求出点N坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，P为直线上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在点N，且坐标为或 (3) 【分析】（1）已知二次函数图象经过的点，将点坐标代入二次函数的一般式，得到关于的方程组，解方程组即可确定函数表达式． （2）利用等腰三角形性质和角度关系，合理构造辅助线，找到与所求点相关的几何关系，通过三角函数或勾股定理等知识求解点的坐标． （3）通过作垂线构造直角三角形，利用垂线段最短原理，将所求线段和转化为点到直线的距离，结合勾股定理计算距离． 【详解】（1）将代入， 得 解得， 该函数表达式为 （2）∵， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，则． ∴，在对称轴上取点，则， ∴A，又， ∴， ∴， 在上取点，连接，使得． 则， ∵，则， 在中，有， ∴解得， ∴，由对称性可知还存在点． 综上所述，存在点N，且坐标为或． （3）如图，过点C作，作于点Q， 则， ∴， 则当三点共线时值最小， 过点B作， 即当分别位于时值最小且最小值为图中的长度， ， ， 在中， ， 则， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，等腰三角形性质与存在性问题，线段最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 40．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求的面积； (2)若直线与抛物线有两个不同的交点，求m的取值范围； (3)在第（2）小题的条件下，设直线与x轴、抛物线分别交于D、E、F三点（点E在点F左边），当线段、、中，存在相等线段时，请求出m的值． 【答案】(1)6 (2) (3)或或或 【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点情况得到，，再利用三角形面积公式求解，即可解题； （2）联立直线与抛物线，消去得到关于一元二次方程，根据直线与抛物线有两个不同的交点转化为求一元二次方程有两个不等实数根，结合一元二次方程根的判别式求解，即可解题； （3）根据线段、、中，存在相等线段进行分类讨论，首先讨论特殊情况①直线经过时，、重合，有，②直线经过时，、重合，有，再结合直线与x轴、抛物线分别交于D、E、F分别表示出D、E、F的横坐标，最后分情况讨论当时，，当时，，当时，，即可解题． 【详解】（1）解： ， 当时，解得，， 由图知， ，， 当时，， ， ，， 的面积为； （2）解：联立， 消去整理得：， 有两个不同的交点， ， ； （3）解：线段、、中，存在相等线段 ①当直线经过时，、重合，有． 此时； ②当直线经过时，、重合，有． 此时； 直线与x轴交于D点， ， 当（2）中时，且点E在点F左边， 解得，． 当时，，即， 解得：；其中舍去 当时，，即，解得：； 当时，，即 解得：，其中舍去． 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点情况，二次函数与几何综合，二次函数与一次函数综合，二次函数与一元二次方程，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 41．（2024·青海西宁·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在，点P的坐标是， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，勾股定理的逆定理等知识． （1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得y＝，再将代入求解即可； （2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，得，，进而解决问题． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 将顶点代入解析式得， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 抛物线与y轴的交点， 当时，， ∴， 如图1，过点C作轴于点D， ∴， 过点A作于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，理由如下： ， 设点P的坐标为， 过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q， 设直线的解析式为，将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵轴， ∴， 在中， ∵ ∴ ∴， 解得，， 当时， ∴， 当时，， ∴， ∴所有符合条件的点P的坐标是，． 42．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在最大值；最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可； （3）过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，设点M的坐标为：，得出，，证明，得出，从而得出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大， ∴最大值为：． （3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设点M的坐标为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 综上分析可知：点M坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 43．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 44．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)①；②线段的最小值为 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出 ，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①在中，令，，解得，即， 在中，令，则，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 如图，作轴于，则，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点在第三象限， ∴； ②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点． ∴设，，设直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为； 联立得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 联立， 得出， ∴点在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则， ， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考压轴题． 45．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 46．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可； （2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． 47．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 48．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标是，的面积最大值是 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合： （1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可； （2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）解：将，代入得， 解得： （2）解：对于，令则 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $