27.2.2相似三角形的性质（教学设计）数学人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形性质，涵盖对应线段（高、中线、角平分线）、周长、面积与相似比的关系。导入从已学几何量切入，通过思考衔接定义，唤醒旧知，明确探究方向，搭建学习支架。 采用“探究—解答—归纳”步骤，从特殊线段到一般对应线段渗透数学思想，例题含分类讨论培养严谨性。通过推理推导性质提升数学思维，规范解题训练数学语言，助力学生提升推理能力，为教师提供清晰教学路径与分层练习设计。

27.2.2相似三角形的性质 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版九年级下册数学第二十七章《相似》中的27.2.2相似三角形的性质，包括相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线的比与相似比的关系，相似三角形及相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，以及这些性质的应用. 2.内容解析 本节课是在相似三角形判定基础上，对相似三角形本质属性的深化，揭示相似三角形的对应线段、周长、面积与相似比的内在关联，是相似图形知识体系的核心组成部分，为后续几何计算与实际应用奠定基础. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线的比及周长比与相似比的关系，以及相似三角形及相似多边形面积比与相似比的关系. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）掌握相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线的比与相似比的关系； （2）理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系； （3）能运用相似三角形的性质解决与对应线段、周长、面积相关的实际问题与计算问题. 2.目标解析 对于目标（1），通过推理证明与归纳概括、结合相似三角形的定义与判定，学生能掌握相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线的比与相似比的关系. 对于目标（2），通过推理证明与归纳概括，学生能理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系. 对于目标（3），通过实例分析与规范解题训练，学生能运用相似三角形的性质解决与对应线段、周长、面积相关的实际问题与计算问题. 三、教学问题诊断分析 学情方面，九年级学生已掌握相似三角形的判定及全等三角形的性质，具备一定推理能力，但对 “对应关系” 的严谨把握不足，且面积比与相似比的平方关系需抽象推理，易与线段比、周长比混淆.教学中需关注对应元素的识别训练，以及面积比推导过程中 “转化为底高比” 的思维引导，避免学生因直观感知忽略逻辑证明. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：相似三角形面积比与相似比平方关系的推导逻辑理解，以及运用性质时准确识别对应线段、规避周长比与面积比的关系混淆. 四、教学过程设计 （一）新知引入 三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等． 【思考】如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？ 根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例．下面，我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系． 【设计意图】以三角形已学几何量为切入点，通过 “思考” 引发认知冲突，衔接相似三角形定义中对应角、对应边的性质，自然过渡到对相似三角形其他几何量关系的探究，既唤醒学生已有知识储备，又明确本节课新知探究的方向，培养学生从定义出发类比迁移、探索几何量关联的思维能力. （二）新知讲解 知识点一　相似三角形对应高、中线、角平分线的比与相似比的关系 【探究一】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比是多少？ 【解答】如图，分别作△ABC 和△A'B'C' 的对应高 AD 和 A'D'． ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B′． 又△ABD 和△A'B'D'都是直角三角形， ∴△ABD∽△A'B'D'．∴==k． 【归纳】相似三角形对应高的比等于相似比． 【探究二】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应中线的比是多少？ 【解答】如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的中线 AE 和 A'E'， 则===k，∴==k，　　　　　 ∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′． ∴△ABE∽△A'B'E'，∴==k. 【归纳】相似三角形对应中线的比等于相似比． 【探究三】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，对应角平分线的比是多少？ 【解答】如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的角平分线 AF 和A'F'， 则∠FAB＝∠CAB，∠F′A′B′＝∠C′A′B′． ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B'，∠CAB＝∠C′A′B′， ∴∠FAB＝∠F′A′B′，∴△ABF∽△A'B'F'． ∴==k.　　　　　　 【归纳】相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【小结】相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比． 数学思想：从特殊到一般 知识点二　相似三角形周长、面积的比与相似比的关系 【思考】相似三角形的周长有什么关系？ 【探究四】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们周长的比是多少？ 【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ∴＝=k， ∴AB＝kA'B'，AC＝kA'C'，BC＝kB'C'， ∴===k. 【归纳】相似三角形周长的比等于相似比． 【思考】相似三角形面积的比与相似比有什么关系？ 【探究五】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们面积的比是多少？ 【解答】如图，分别作△ABC和△A'B'C' 的对应高 AD 和 A'D'． ∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ∴==k， ∴==. 【归纳】相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【设计意图】通过 “探究 — 解答 — 归纳” 的步骤，依次探究相似三角形对应高、中线、角平分线及周长、面积与相似比的关系，从特殊线段到一般对应线段，从线段长度到周长、面积，层层递进渗透 “从特殊到一般” 的数学思想，让学生在推理中理解性质的形成过程，掌握相似三角形几何量之间的关联规律，提升逻辑推理和知识迁移能力. （三）典型例题 例1　已知△FHB∽△EAD，且对应角平分线的比为2. (1)它们的相似比为_____2_____； (2)若FH＝6，则EA＝_____3_____； (3)对应高的比为_____2_____，对应中线的比为_____2_____； (4)若△FHB的周长为30，则△EAD的周长为_____15_____. 【针对练习】1.已知△ABC∽△DEF，且相似比为，则下列说法错误的是(　C　) A．∠ABC＝∠DEF，＝    B．对应角平分线的比为 C．对应高的比为             D．周长的比为 2.顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应高的比是__________. 3.已知两个三角形相似，其中一个三角形三边的长分别是4，6，8，另一个三角形的某一边的长是2，则该三角形的周长是(　D　) A．4.5　　　　 B．6 C．9　　　　 D．以上答案都有可能 【小结】在相似三角形中，如果没有指定对应边，需要进行分类讨论. 例2　若△ABC∽△DEF，＝4，则△ABC与△DEF的面积之比为(　D　) 　A．2     B．4     C．1/4    D．16 【针对练习】1.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则＝__________. 2.若两个相似三角形的相似比为，且它们的面积和为102 cm2，则较大三角形的面积为____75____cm2. 例3　如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D．若△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为12，求△DEF 的边 EF 上的高和面积． 解：在△ABC 和△DEF 中，∵AB＝2DE，AC＝2DF， ∴==，又∠D＝∠A， ∴△DEF∽△ABC，△DEF 与△ABC 的相似比为． ∵△DEF 的边 EF 上的高为6，面积为12， ∴△DEF 的边 EF 上的高为×6=3，面积为. 【针对练习】1.如图，在△ABC 中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，求△EOD 与△BOC 的面积比． 解：∵BE、CD是△ABC的中线， ∴DE=BC，DE∥BC， ∴=，△DOE∽△COB， ∴==， ∴S△DOE：S△COE=1：4． 2.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AD＝2DB，AE＝2EC. 求的值． 解：∵AD＝2DB，AE＝2EC， ∴＝，＝. ∴＝. 又∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. ∴＝()2＝()2＝. 【思考】若题干条件不变，则=_______ 【小结】这类题的解题步骤：先根据题目条件判定三角形相似，利用 “相似三角形的周长比等于相似比”，求解未知周长；利用 “相似三角形的面积比等于相似比的平方”，求解未知面积. 【设计意图】通过典型例题和针对性练习，从基础的相似比、对应线段比、周长比计算，到需分类讨论的边长问题，再到面积比及综合图形的应用，层层递进巩固新知.结合小结提炼解题步骤与分类讨论思想，让学生在实践中掌握相似三角形性质的运用方法，提升知识应用能力和逻辑思维的严谨性. （四）当堂巩固 1．两个相似三角形的相似比为，那么它们对应边上的高之比是(　C　) A．     B．    C．     D． 2．若△ABC∽△DEF，且相似比为2，△ABC的面积为16，则△DEF的面积为(　C　) A．32     B．8     C．4     D．16 3．若某直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则该直角三角形(　D　) A．每个角扩大4倍    B．周长扩大2倍 C．周长扩大4倍       D．面积扩大8倍 4．如图，△ABC是面积为18 cm2的等边三角形，被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积为(　B　) A．4 cm2    B．6 cm2     C．8 cm2     D．10 cm2 5. 如图，在▱ABCD中，点P是CD的中点，AC与PB交于点Q. 若△CPQ的周长为6、面积为4，求△ABQ的周长和面积． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∴△ABQ∽△CPQ. ∵点P是CD的中点， ∴CD＝2CP＝AB. ∴＝2. ∵△ABQ∽△CPQ， ∴==2，=()2=4， ∴△ABQ的周长为12、面积为16. 【设计意图】聚焦本节课核心知识点，覆盖相似三角形对应高、面积、周长比及图形综合应用等核心知识点，难度适中且贴合例题重点.通过练习及时检测学生对新知的掌握情况，查漏补缺，强化相似三角形性质的灵活运用能力，同时培养学生规范解题的习惯. （五）课堂总结 本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？ 【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法. 五、教学反思 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $