精品解析：江西省上饶市横峰中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

横峰中学2025-2026学年度第一学期高一期中考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：汤尧 审题人：罗广生 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 3. 如果直线与直线平行，那么等于（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 6. 直线被圆截得的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，为三个两两垂直的平面．若平面，的交线为，则下列结论中一定不成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线，则（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 11. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹曲线是线段 B. 是“最远距离直线” C. 过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D. 过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一个直角三角形ABC，两条直角边长分别为6和8，现绕其斜边旋转一周，形成的几何体的体积为__________. 13. 方程表示椭圆的充要条件是_________. 14. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）一条直线经过，并且它的斜率是直线斜率的倍，求这条直线方程 （2）求经过两条直线和交点，且平行于直线的直线方程 16. 已知正方体的棱长为2. （1）证明：； （2）求二面角的正切值. 17. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 18. 已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求双曲线的方程； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值. 19. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 横峰中学2025-2026学年度第一学期高一期中考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：汤尧 审题人：罗广生 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率定义得到答案. 【详解】直线的斜率为. 故选：D 2. 已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先由正四面体的表面积求出其中一个正三角形的面积，再求出正三角形的边长即为棱长. 【详解】因为正四面体的表面积为，所以正四面体的其中一个正三角形面的面积是，设正四面体的棱长为， 则正三角形面的面积，所以 故选：C 3. 如果直线与直线平行，那么等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算可得，再排除重合情况即可得. 【详解】由题意可得，解得， 若，则两直线分别为、，此时两直线重合，不符； 若，则两直线分别为、，符合题意； 故. 故选：A. 4. 已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先把两圆方程化为标准形式确定圆心和半径，再计算圆心距，通过比较圆心距和两圆半径之和的关系判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数． 【详解】圆的标准形式为：， 该圆为以为圆心，半径是的圆； 圆为以为圆心，半径是的圆， 圆心距， ， ， 两圆相外切，共有3条公切线． 故选：C． 5. 若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，以及抛物线准线的概念，求出点的坐标即可. 【详解】由题意可得，点到准线的距离为3， 可知抛物线的准线方程为， 所以点的纵坐标为2， 代入得，解得， 所以点的坐标为或 故选：C. 6. 直线被圆截得的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，应用点线距离、圆中弦长的几何求法求弦长. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 所以圆心到直线距离为， 所以截得的弦长为. 故选：D 7. 在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：表示点与点连线的斜率，结合图象分析斜率的取值范围即可. 【详解】当时，；当时，， 所以线段的最左端是，最右端是， 表示点与点连线的斜率， 当点在点A处时，； 当点在点B处时，； 结合图象可知，的取值范围是． 故选：C． 8. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得的重心，分别求得和的高线所在直线的方程，联立方程组，求得垂心坐标为，结合直线的两点式方程，即可求解. 【详解】由的三个顶点分别为， 可得的重心坐标为，即， 因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的方程为，即， 同理可得边上的高线所在直线的方程为， 又由，解得，即的垂心坐标为， 由的重心与垂心坐标，可得的欧拉线方程为， 即. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，为三个两两垂直的平面．若平面，的交线为，则下列结论中一定不成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间线、面的位置关系，逐项进行判断即可. 【详解】由，且，根据若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，可得，故A成立，B一定不成立； 等价于，即直线l在平面内，但，故C一定不成立；等价于直线l与平面无交点，由可知D一定不成立． 故选：BCD 10. 已知曲线，则（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方程表示的曲线确定参数的关系，然后由方程研究曲线的性质判断各选项. 【详解】选项A：若，则，表示圆，且半径为，故A正确； 选项B：若，，则，其渐近线为， 若，，则，其渐近线为，故B错误； 选项C：若，时，，即表示两条直线，故C正确； 选项D：当时，，表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：AC. 11. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹曲线是线段 B. 是“最远距离直线” C. 过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D. 过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可知动点到点的距离等于到直线的距离，所以可知点的轨迹是以为焦点的抛物线，求出轨迹方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1， 所以动点到点的距离等于到直线的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 所以抛物线方程为， 对于A，点的轨迹是抛物线，所以A错误， 对于B，由，得，解得， 所以直线与抛物线相交于点， 所以是“最远距离直线”，所以B正确， 对于C，设过点的直线为，， 由，得， 所以， 所以， 所以， 所以以为直径的圆的半径为， 因为圆心到轴的距离为， 所以以为直径的圆与轴相交，所以C正确， 对于D，， 所以D错误， 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一个直角三角形ABC，两条直角边长分别为6和8，现绕其斜边旋转一周，形成的几何体的体积为__________. 【答案】π 【解析】 【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可． 【详解】如图为直角三角形旋转而成的旋转体． 所以， ， ， 所以， 又 . 13. 方程表示椭圆的充要条件是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的特征进行求解即可. 【详解】当方程表示椭圆时，。 即， 显然当时，方程表示椭圆， 故答案为： 14. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，在中，利用余弦定理求出，再根据双曲线的定义即可求出，再在中，利用余弦定理即可得解. 【详解】由题可设，， 由余弦定理可得， 即，解得， 因为，所以，即， 在中，，，， 所以， 即，解得， 则所求双曲线的离心率为． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）一条直线经过，并且它的斜率是直线斜率的倍，求这条直线方程 （2）求经过两条直线和交点，且平行于直线的直线方程 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据斜率和点的坐标得到直线的点斜式方程，再化简为一般式方程即可； （2）先求解出两直线的交点坐标，然后根据平行关系设出直线方程，再代入交点坐标即可完成求解. 【详解】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为：，即； （2）因为，所以，所以交点坐标为， 因为直线平行于，所以设直线方程为， 代入交点坐标可得：，所以， 所以直线的方程为：. 【点睛】本题考查根据条件求解直线的方程，难度一般.设直线方程的时候一定要根据条件选择直线方程的形式. 16. 已知正方体的棱长为2. （1）证明：； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1） 在正方体中，， 平面，平面，. 又，､平面，平面. 又平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，进而根据线面垂直的性质求解， （2）根据二面角的定义可得为所求，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接AC，与交于点，连结， ， 是二面角的平面角， ∴二面角的正切值为. 17. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【小问1详解】 已知的圆心是，半径是， 设直线斜率为 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率. 【小问2详解】 设点则， 由点是的中点得， 所以① 因为在圆上运动，所以② ①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 18. 已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求双曲线的方程； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值. 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，由点是直线上任意一点，设， 设双曲线上点，则，即， ，则，即， 则， 所以直线与直线的斜率之积是定值. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解即得. （2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示及斜率的坐标表示列式计算得证. 【小问1详解】 双曲线的离心率为，得，则， 由点在双曲线，得，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得的值，即可求得椭圆的方程； （2）联立方程组，根据，得到的范围，由点到直线的距离公式和弦长公式，分别求得，，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，可得，且，所以，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：由直线的方程为，则点到直线的距离为， 联立方程组，整理可得， 由判别式，解得， 设，则， 可得 ， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以所求直线的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $