精品解析：陕西省汉中市汉台中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

汉台中学2025—2026学年第一学期 期中考试高一数学试题 命题：张虎 校对：王鑫 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：A 2. 已知，则下列命题正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，当时即可判断，对于B，当时即可判断，对于C，利用作差法即可判断，对于D，当时即可判断. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：当时，，故B错误； 对于C：由，所以，故C正确； 对于D：当时，满足，故D错误. 故选：C. 3. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词与存在量词命题真假的判断方法依次判断即可. 【详解】选项A：因为，，所以选项A错误； 选项B：当时，，所以选项B错误； 选项C：，所以选项C正确； 选项D：因为有的无理数的平方仍是无理数，如：，所以选项D错误. 故选：C. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据偶次方根被开方数大于等于零和分母不为零的要求直接求解即可. 【详解】由于，需满足， 解得：且，. 故选：A. 5. 下列各选项中的两个函数为同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数三要素：定义域，对应关系，值域，可判断. 【详解】对于选项 A：的定义域为，而的定义域为 ， 因两函数定义域不同，故不是同一函数，故A错误； 对于选项 B：，由，得 ，故定义域为 则（当 )， 而，显然函数定义域为 ，则， 因两函数的定义域均为 ，且对任意 ，均有 . 故两函数是同一函数，即B正确； 对于选项 C：，由 ，得 或 ，即 定义域为 ， 而，由  且 ，可得 ，即 定义域为 ， 两函数定义域不同，故不是同一函数，即C错误； 对于选项 D：，由 ，得 ，即定义域为 ， 而的定义域为，即两函数的定义域不同，故不是同一函数，即D错误. 故选：B 6. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义关于原点对称求得，然后利用偶函数性质列式求得，即可得解. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 故选：B 7. 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由待定系数法求得解析式，再结合定义域即可求解. 【详解】设幂函数解析式为， 由题意：，则， 即，定义域为， 且当时，函数单调递减， 结合选项只有B符合， 故选：B 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数单调递增，结合一次函数和二次函数的性质，分析分段函数需要满足的条件，列不等式组求解． 【详解】函数在上单调递增， 当时，若一次函数单调递增，则需满足斜率； 当时，二次函数开口向上，若函数在时单调递增，则需满足对称轴在上或在其左侧； 另外需要满足， ，解得， 实数的取值范围是． 故选：C． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下面表示同一个集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合的定义和性质，结合元素特性逐一分析各选项中集合是否为同一集合． 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确； 选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 故选：ACD． 10. 下面命题正确的是（ ） A. ，则是的充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 设，则“且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件间的推出关系逐一判断即可. 【详解】A：因 ，故A正确； B：由，得，所以成立； 由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确： C：由且，得，则，故成立； 但时，如，此时“且”不成立，故C错误： D：当，时，不成立；但，一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数在上递增 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据高斯函数定义分析函数，判断各选项. 【详解】对于A、B：根据定义，表示不超过的最大整数， 所以当是整数时，，， 当不是整数时，设，其中，， 所以，所以，故A错误，B错误； 对于C：当时，，是增函数，C正确； 对于D：因为， 所以，D正确； 故选：CD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义及性质可得 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 13. 函数的值域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，可求出结果. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以. 故答案为：. 14. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意作出函数的图象，根据函数图象即可求解． 【详解】令，解得或， 作出函数的图象如图所示：    由图象可知，当时，取得最小值为． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算性质化简求解即可； （2）给两边同时平方即可求出，再两边同时平方可得，然后求解即可. 【详解】（1）原式=. （2）因为，所以两边同时平方得：， 所以，两边再平方得：， 故， 所以. 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得． 【小问1详解】 由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 17. 如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为，宽为. （1）若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小； （2）若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； 【答案】（1）m，m （2）m，m 【解析】 【分析】利用基本不等式研究和与积的最值，指出等号成立的条件即可. 【小问1详解】 由题意：，，. 因为，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，所用篱笆总长最小. 【小问2详解】 由题意：，，. 所以，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，篱笆所围的育苗区面积最大. 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围； （3）求关于不等式：的解集. 【答案】（1） （2） （3）当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式可得答案. （2）分类讨论，结合二次不等式的解集求参数的取值范围. （3）分类讨论，比较根的大小，解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 时，， 由，即，即，得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式，即， 若即，不等式可化为，恒成立； 若即，由得解集为， 所以，得. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，即， 即， 当即时，不等式的解为或； 当即时，不等式的解为； 当即时，不等式的解为或. 综上： 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 19. 已知函数，且. （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性（不需证明）； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1），为偶函数 （2）在上单调递减，证明： 设， 则. 因为，所以，，， 所以，即，也就是. 所以函数，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给的条件，列式可求的值，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性. （2）判断函数在上的单调性，利用单调性的定义证明函数在所给区间上的单调性. （3）先根据给出的条件，把原不等式转化为，再结合函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. 【小问1详解】 因为， 所以对恒成立，所以. 所以， 因为，所以函数为偶函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，， 所以，. 所以不等式可化为，即. 又因为为偶函数，且在上单调递减，定义域为， 所以. 又因为，所以所求不等式的解集为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉台中学2025—2026学年第一学期 期中考试高一数学试题 命题：张虎 校对：王鑫 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列命题正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各选项中的两个函数为同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下面表示同一个集合的是（ ） A. B. C. D. 10. 下面命题正确的是（ ） A. ，则是的充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 设，则“且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数在上递增 D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 13. 函数的值域是__________. 14. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17. 如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为，宽为. （1）若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小； （2）若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围； （3）求关于不等式：的解集. 19. 已知函数，且. （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性（不需证明）； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $