22.1.3 二次函数y=a(x－h)²＋k 的图象和性质 同步练习 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

22.1.3 二次函数y=a(x－h)²＋k 的图象和性质 一、单选题 1．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线为（    ） A． B． C． D． 5．如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（ ） A． B． C． D． 6．若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 7．抛物线有（   ） A．最小值3 B．最大值3 C．最大值 D．最小值 8．与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ． 10．若抛物线（为常数）的开口向上，则的取值范围是 ． 11．抛物线的对称轴是 ． 12．点，在抛物线上，则，的大小关系是 ． 13．如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 14．如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 15．已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． 16．已知二次函数． (1)求证：不论n取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上． (2)若点，都在二次函数图象上，求证：． 17．已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．        (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求n的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 2．D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，一次函数的图象性质，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵的，∴随的增大而增大，故该选项不符合题意； B、∵，∴二次函数的对称轴为轴，开口方向向上，当时，随的增大而增大，故该选项不符合题意； C、∵，∴二次函数的对称轴为直线，开口方向向下，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D、∵，∴二次函数的对称轴为直线，开口方向向下，当时，随的增大而减小，即当时，随的增大而减小，故该选项符合题意； 故选：D 3．D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式特征是关键．对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，根据“左加右减，上加下减”平移变化规律求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线为． 故选：C 5．B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 6．D 【分析】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论． 【详解】∵抛物线是抛物线（）向右平移2个单位长度，再向上平移3个长度单位得到， ∴抛物线上点向右平移2个单位长度，再向上平移3个长度单位，会落在抛物线上， ∴点在抛物线上， 故选：D 7．B 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据二次函数顶点式知，当二次项系数为负时，函数有最大值，据此即可求解． 【详解】解：对于， 二次项系数为负，从而函数有最大值3； 故选：B． 8．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数解析式中的二次项系数的符号控制二次函数的开口方向，二次项系数的绝对值控制二次函数图象的形状和大小，则与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为，据此可得答案． 【详解】解：与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为， ∴四个选项中只有D选项符合题意； 故选：D． 9． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握平移方法是解题的关键．根据左加右减，上加下减的方法计算即可． 【详解】解：由题意可得， 平移后得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 10．/ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟记二次函数图象开口向上对应二次项系数大于0是解决问题的关键．根据二次函数的图象与性质，由题意列不等式直接求解即可得到答案． 【详解】解：因为抛物线的开口向上， 所以，解得． 故答案为：． 11．轴 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线．本题中，，，代入公式即可得出答案． 【详解】解：抛物线中，， 对称轴为，即轴， 故答案为：轴． 12． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将点的横坐标代入抛物线方程，计算对应的纵坐标值，再比较大小即可 【详解】解：对于点 ，代入抛物线方程 ， 得， 对于点 ，代入抛物线方程， 得， ， ， 故答案为： 13．4 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，以及二次函数的性质．先求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，以及点的坐标，再利用二次函数的性质、三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接，， 由题意得：平移后的抛物线的解析式为， 则抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为， 对于函数，当时，，即， 根据抛物线的对称性知：， 所以． 故答案为：4． 14．(1) (2)． 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键． （1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为，把点代入求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，顶点B、C在轴的正半轴上， ∴， ，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设平移后抛物线的解析式为：，把代入得 ， 解得． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求出当时，y的值，即可得到答案； （2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； （3）根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数中的， ∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x的值增大而减小， 故答案为：． （3）解：∵二次函数中的，顶点坐标为， ∴二次函数的开口方向向下，最大值为5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并灵活运用是解此题的关键． （1）由二次函数解析式得出顶点坐标为，设，，则，即可得解； （2）由二次函数的性质得出，从而得出，再将代入二次函数解析式即可得出答案． 【详解】（1）证明：由二次函数知，抛物线顶点坐标为 设，，则， ∴抛物线的顶点始终在直线上； （2）证明：由题可得，则 ∴， 把代入得， ∴． 17．(1)一次函数的表达式为，画图见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）将点A，B坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式，最后描点连线即可； （2）根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的取值范围求解即可； （3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可； 【详解】（1）∵二次函数二次函数的图象相交于点， ∴，； ∴， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， 描点作图如下：    （2）由（1）中的图象可得， 不等式的解集为：或； （3）把代入得 ∵， 由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，则n的取值范围是或； 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $