精品解析：天津市部分区2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

天津市部分区2025～2026学年度第一学期期中练习 高三数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共45分） 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合是小于8的正整数，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 7 2. “”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量，若与共线，则实数值为（ ） A. 9 B. 4 C. －4 D. －9 4. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为.若，则（ ） A. －12 B. －13 C. D. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 或 8. 函数零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 化简_____． 11. 若，则_____． 12. 已知幂函数的图象经过点，则实数_____． 13. 已知函数.若，且，则的取值范围是_____． 14. 在中，已知，且，则______；若在线段上存在动点，使得，则的最小值为_____． 15. 已知，函数则______；若存在实数，使得方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围为_____． 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角所对的边分别为，已知向量，，且． （1）求角： （2）若． （i）求值； （ii）求的值． 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线斜率； （2）当时，求证：． 18. 已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，． （1）求和的通项公式： （2）求数列的前项和： （3）设数列满足其中，求的前项和． 19. 在数列中，，且数列满足． （1）证明：是等差数列，并求的通项公式； （2）证明：中的任意三项均不能构成等比数列； （3）求． 20. 已知函数． （1）求单调区间； （2）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2025～2026学年度第一学期期中练习 高三数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共45分） 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合是小于8的正整数，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得，即可得到中元素的个数. 【详解】因为集合是小于8的正整数，且， 所以，可得中元素个数为4. 故选：B. 2. “”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由解得，结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】∵， ∴应是充分不必要条件， 故选：A． 3. 已知平面向量，若与共线，则实数的值为（ ） A. 9 B. 4 C. －4 D. －9 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线坐标表示求解即可. 【详解】由题可知，，解得. 实数的值为. 故选：C. 4. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性排除CD选项，再代入特殊值即可排除A，最后分段讨论其单调性即可判断B正确. 【详解】由图知为奇函数， 对C，，定义域为，关于原点对称， 且，则此时它偶函数，与题图不符合，故排除C； 对D，，定义域为，关于原点对称，且，则此时它为偶函数，与题图不符合，故排除D； 由图知，而对A解析式，代入知，矛盾，故A错误. 对B，，定义域为，关于原点对称， ，则其为奇函数， 则只需研究其时的单调性， 当时，， 因为在上单调递增，且恒成立， 则在上单调递减， 当时，， 因为在上单调递增，且恒成立， 则在上单调递减， 结合其为奇函数和其在上函数图象的连续性知： 在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，与题目所给图象符合，则B正确. 故选：B. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过移项、通分将分式不等式转化为整式不等式进行求解即可. 【详解】将不等式移项可得：， 通分后得：，整理得：，即. 该不等式等价于，解得：. 故选：A 6. 已知等差数列的前项和为.若，则（ ） A. －12 B. －13 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式即可得到方程组，解出，最后利用等差数列前项和公式即可得到答案. 【详解】设该等差数列的公差为， 则由题意得，解得， 则. 故选：C. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理确定，根据三角形的内角和求得，进而求得；或根据余弦定理求得，并求解三角形的各角检验即可. 【详解】在中，由正弦定理，得. 因为，所以，或. 当时，，所以； 当时，，所以. 故选：D. 方法二：由余弦定理，得 ，化简得. 所以，或. 当时，，，符合题意； 当时，，所以，，符合题意. 故选：D. 8. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复合函数的单调性结合指数函数的单调性以及零点存在定理可得. 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增， 又， ， 所以，由零点存在定理可得函数的零点位于内. 故选：C. 9. 已知函数．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，设函数的最小正周期为，则，结合周期公式求出的取值，再由的范围求出的范围，结合零点的特征求出的范围，即求出的最小值. 【详解】因为， 设函数的最小正周期为，由可得， 所以，解得； 当时，， 因为在区间内至少存在两个零点， 所以，即； 所以当时取最小值，综上，的最小值为. 故选：B. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 化简_____． 【答案】5 【解析】 【分析】由对数的运算性质计算可得. 【详解】. 故答案为：5. 11. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式以及二倍角公式计算可求得结果. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 12. 已知幂函数的图象经过点，则实数_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据幂函数经过点的坐标代入计算可得结果. 【详解】根据题意可知，所以， 解得. 故答案为：1 13. 已知函数.若，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，由对数函数的图象与性质得且，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】如图， 由，知，且， 得，即，得， 所以，当且仅当即时等号成立. 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 在中，已知，且，则______；若在线段上存在动点，使得，则的最小值为_____． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式化简求得，再利用数量积运算律求得；利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】在中，， 则，而，于是，，即， 由，得，因此； 由，得，又点在线段上， 则，而， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：2； 15. 已知，函数则______；若存在实数，使得方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围为_____． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】将分析函数的单调性、极值情况，将存在实数，使得方程恰有三个不同的实数解，转化为的图象与有三个不同的交点，分析函数的单调性、极值，即可得到实数的取值范围. 【详解】因为，所以. 方程恰有三个不同的实数解，即函数的图象与有三个不同的交点. 因为，且当时，，所以在上单调递增，且； 所以当时，函数的图象与最多有一个交点. 所以要想函数的图象与有三个不同的交点，须使当时，函数的图象与恰有两个交点. 令，所以. 当，即时，； 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，即最大值. 函数的简图如下： 所以. 所以的取值范围为. 故答案为：0；. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角所对的边分别为，已知向量，，且． （1）求角： （2）若． （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示以及正弦定理可得； （2）（i）由余弦定理直接计算可得结果； （ii）利用正弦定理以及三角恒等变换代入计算即可 【小问1详解】 已知，且． 可得，由正弦定理， 得，显然，得， 由，故； 【小问2详解】 （i）由（1）知，且，由余弦定理， 则得，即． 解得（舍去）； （ii）由正弦定理，且，得， 由，得为锐角，故， 故，且； 故． 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线斜率； （2）当时，求证：． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，再代入计算求出即可； （2）设，再求导得到其最小值即可证明. 【小问1详解】 由，可得， 所以切线斜率为． 【小问2详解】 令， 则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，． 18. 已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，． （1）求和的通项公式： （2）求数列的前项和： （3）设数列满足其中，求的前项和． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式，求解出等差数列公差与等比数列公比，进而求得结果即可； （2）直接利用错位相减法进行求和即可； （3）首先求出数列的通项公式，然后分为奇数项和偶数项分别根据等差数列和等比数列前项和进行求解即可. 【小问1详解】 是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由． 可得：， 解得：或（负值舍去） 则，； 【小问2详解】 记数列的前项和为，则 ， 两式相减可得， 化为； 【小问3详解】 ， 则数列的前项和 ． 19. 在数列中，，且数列满足． （1）证明：是等差数列，并求的通项公式； （2）证明：中的任意三项均不能构成等比数列； （3）求． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义以及递推公式证明结论即可， （2）利用反证法假设成等比数列，得出矛盾得出结论； （3）由通项公式利用裂项相消求和计算可得结果. 【小问1详解】 数列中，，且， 则， 又，所以是首项为1，公差为的等差数列，故 【小问2详解】 设数列中的任意三项为，， 则．假设成等比数列， 则， , 可得， 得，所以，与矛盾． 所以中的任意三项均不能构成等比数列． 【小问3详解】 因为， 所以． 20. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 （i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且，所以，解得． （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得，两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $