第17章因式分解 同步单元综合练习题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《第17章因式分解》同步单元综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式中，不能用平方差公式得到的是（ ） A． B． C． D． 4．化简，结果为（　　） A． B．22027 C． D．0 5．对于任意整数n，多项式都能被（    ）整除． A．9 B．2 C．11 D．n+9 6．已知，，，则的值是（   ） A．3 B． C．2025 D． 二、填空题 7．分解因式： ． 8．已知，则的值是 ． 9．分解因式 ． 10．若，且，则的值为 ． 11．已知，，则的值为 12．分解因式： ． 13．已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为 ． 14．使用生日作为密码已经成为历史，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序就可以形成密码，例如多项式，将其分解因式为．若取，则有，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是 ． 三、解答题 15．因式分解： (1) (2) (3) (4) 16．先化简再求值：其中：． 17．（1）分解因式：；           （2）分解因式：． （3）三边a，b，c满足，判断的形状． 18．由 可知多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现使多项式 的值为0． (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值，并将该多项式因式分解． 19．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______法，共应用了______次． (2)若分解因式，则需要应用上述的方法______次，分解因式后的结果是______． (3)请用以上方法分解因式：（为正整数）． 20．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为1984， ∴代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)根据上面材料学习的方法进行下列题目的分解因式： ①； ② (2)若，求的最小值； 参考答案 1．C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选C． 2．D 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，理解题意， 整理得，即，结合a，m，n为整数，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵多项式分解因式为， ∴， 则， ∵a，m，n为整数， ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； 则a的取值有4个， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、能用平方差公式，不符合题意； B、能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，不能用平方差公式，符合题意； 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了同底数幂乘法，以及因式分解的应用． 把原式变形为，然后提取计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选B． 5．A 【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式因式分解，然后根据为整数可得结论． 【详解】解： , ∵n为整数， ∴为整数， 则多项式都能被9整除． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将式子进行变形，得到，再代入数据计算即可得出答案． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴原式． 故选：A． 7． 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式后再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为:． 8．25 【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：25． 9． 【分析】本题考查因式分解键．先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及代数式的化简求值，熟练掌握平方差公式和代数式的变形方法是解题的关键．先通过已知条件得出的值，再将和用含、的式子表示，代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴由得， 由得， ∴ ， 当时，原式， 故答案为：． 11．34 【分析】本题考查了利用完全平方公式化简求值，以及提取公因式的方法，将，这两式两边平方后再相加，经过提取公因式，左边可得，由此即可求值． 【详解】解：， ①两边平方，得， 即， ②两边平方，得， 即， 得，， ∴， ∴， 故答案为：34． 12． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先将原式变形为，利用多项式乘以多项式的运算法则计算得到原式为，将看作整体，利用多项式乘以多项式的运算法则计算得到，然后根据完全平方公式分解即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．等边三角形 【分析】本题考查因式分解的应用及三角形形状的判定，解题的关键是将已知等式通过配方转化为完全平方式的和，利用非负数的性质得出三边关系． 将已知等式进行整理，通过配方转化为两个完全平方式的和，根据非负数的性质得出三边相等，从而判定三角形形状． 【详解】解：整理，得， ， 即， ， 为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 14．4614 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，正确进行因式分解是解题的关键．先把所给的代数式分解因式，然后分别求出三个因式的值，即可得出密码． 【详解】解：， 当取，时， ， ∴用上述方法生成的密码是4614． 故答案为：4614． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解，涉及了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握因式分解的方法以及平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因式，即可求解；然后利用完全平方公式进行求解； （2）用整式乘法法则，即可求解； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式进行求解； （4）先利用平方差公式进行求解，再利用完全平方公式进行求解． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ； （3） 解：原式 ； （4） 解：原式 . 16．； 【分析】此题考查整式的化简求值，因式分解，熟练计算是解题的关键． 运用完全平方公式进行因式分解，再代值计算． 【详解】解： ， ． 当，时，原式． 17．（1）；（2）；（3）是等腰三角形． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法，分组分解法等． （1）先分组分解，再综合提公因式法和平方差公式进行分解； （2）先分组分解，再综合完全平方公式和平方差公式分解； （3）先将等号左边进行因式分解得到，那么或者，则或者，再根据等腰三角形的定义判断即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， ∴， ∴， ∴或者， 即：或者， ∴是等腰三角形． 18．(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值，再提取，接着因式分解即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴时，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴和时，， ， 解得， ． 19．(1)提公因式 2 (2)2024   (3) 【分析】（1）把看作整体，提取公因式，观察得出提取公因式的次数； （2）根据（1）得出提取公因式的次数及结果； （3）根据（1）（2）算式最后一项的次数，得出提取公因式的次数及结果的次数． 【详解】（1）解：由因式分解的过程可知，因式分解的方法是提公因式法，提取了次， 故答案为：提公因式，． （2）解：根据（1）的算式最后一项的次数为，结果的次数为， 故分解因式，需要提公因式次，结果为， 故答案为：，； （3）解：原式 … ． 【点睛】本题考查了因式分解的方法-提取公因式法．关键是通过连续提公因式，得出提公因式的次数与结果的次数的关系． 20．(1)①；② (2)的最小值28 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式以及平方差公式，准确理解题意的配方法是解题的关键． （1）①根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可；②根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解： ， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为28， ∴的最小值是28． 学科网（北京）股份有限公司 $