17.2用提公式法分解因式 自主学习同步练习题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《17.2用提公式法分解因式》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 5．计算：（   ） A． B． C． D． 6．已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 7．如图，有三种规格的卡片共25张，其中边长为a的正方形卡片9张，边长为b的正方形卡片4张，长，宽分别为a，b的长方形卡片12张，现使用这25张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．因式分解 ． 9．整式与的公因式是 ． 10．因式分解： ． 11．若，则代数式的值等于 ． 12．已知，则代数式的值为 ． 13．已知，，则 ． 14．已知实数满足，，且，则的值为 ． 三、解答题 15．因式分解： (1)． (2)． 16．因式分解： (1)； (2)． 17．【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 18．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现式子可以因式分解为______． (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积． 19．若；求的值 解：因为 所以． 所以． 所以，． 所以． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，求的值 (2)已知a，b，c是不等边三角形的三边长，满足，且c是三角形的最大边长，求c的取值范围 20．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式            B．平方差公式             C．两数和的完全平方公式        D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． (3)上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 参考答案 1．C 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 根据因式分解的方法逐项求解判断即可． 【详解】解：A．，故选项A不正确； B．，故选项B不正确； C．，故选项C正确； D．无法在有理数范围内分解，故选项D不正确． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了因式分解，整式除法，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，再结合平方差公式进行变形，最后运算除法，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查代数式求值，因式分解．根据已知条件，结合各选项中的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，即，本选项不符合题意； B、当时，，代入得，即，整理为，本选项不符合题意； C、由得， ∵， ∴，即， ∵， ∴，本选项不符合题意； D、若，由得，解得或，本选项不符合题意； 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练应用平方差公式分解因式． 先根据平方差公式分解因式，再判断出的值总能被哪个数整除即可． 【详解】解：∵ ， ∴k为任意整数，的值总能被3整除． 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式等知识点，灵活运用平方差公式进行简便运算成为解题的关键． 先利用平方差公式将原式分解，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故选 D． 6．B 【分析】此题主要考查因式分解的应用．把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： ， 因为为三角形三边长，所以，， 所以原式小于零． 故选：B． 7．D 【分析】分别计算3种规格的卡片的总面积，可得这25张卡片的总面积为，它是一个完全平方式，从而可得25张卡片所拼成的大正方形的边长． 【详解】9张边长为a的正方形卡片总面积为，4张边长为b的正方形卡片的总面积为，12张长、宽分别为a、b的长方形卡片的总面积为12ab，则25张卡片的总面积为，而，所以用这25张卡片拼成一个大的正方形的边长为3a+2b． 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，关键是计算出25张卡片的总面积． 8． 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 9．/ 【分析】本题考查了公因式，根据公因式的定义即可求解，熟练掌握：“多项式的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫做这个多项式的公因式”是解题的关键． 【详解】解： ，， 整式与的公因式是， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查的是因式分解的应用及整体代入思想的运用．由条件可得，把化为，再利用整体思想逐步代入即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12． 【分析】本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入．先分解因式，再将已知的，，两式相加得：，整体代入即可． 【详解】解： ， ，， ， 当，时，原式， 故答案为：． 13．1 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值．由，两式相减得，再因式分解，然后整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 14． 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 将两式相减得到，根据得到，将两式相加得到，从而根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： 16．(1) (2) 【分析】本题考查综合运用提公因式法分解因式和公式法分解因式，涉及平方差公式和完全平方公式等知识，熟练掌握分解因式的方法是解决问题的关键． （1）先恒等变形，再提公因式，最后由平方差公式分解因式即可得到答案； （2）先恒等变形，再由平方差公式分解因式，最后由完全平方公式分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17． 【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． （1）根据，分解因式即可； （2）根据，分解因式即可； （3）根据，分解因式即可； （4）根据，分解因式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的几何意义以及完全平方公式的应用，解决本题的关键是观察图形，找到a与b与面积的关系． （1）通过长方形的面积表示，将长方形拆解为2块大正方形，2块小正方形，5块小长方形的面积和，由此可因式分解； （2）根据完全平方公式结合长方形的周长，面积公式求解即可． 【详解】（1）解：观察图形可知，表示的是长方形的总面积， ∴， 故答案为：； （2）解：∵阴影部分的面积为，大长方形的周长为， ∴，， 化简可得，， ∵， ∴， ∴空白部分的面积为． 答：图中空白部分的面积为． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式、求代数式的值、三角形三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式，再利用非负数的性质求得的值，再代入求值即可； （2）利用完全平方公式分解因式，再利用非负数的性质求得的值，进一步利用三角形三边关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵三角形是不等边三角形，且c是三角形的最大边长， ∴，即， ∴c的取值范围为． 20．(1)C (2)不彻底， (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键． （1）利用完全平方公式判断即可得解； （2）检查第四步结果，利用完全平方公式进一步分解即可得解； （3）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该同学第二步到第三步的变形运用了两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：该同学因式分解的结果不彻底，若不彻底，则该因式分解的最终结果为； （3）解：设， 则原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $