精品解析：上海市同济大学附属七一中学2025-2026学年高一上学期11月数学期中考试题

同济大学附属七一中学2025学年度第一学期 高一年级数学学科期中考试 （2025.11） （时间90分钟 满分100分） 一、填空题：（每题4分，共40分） 1. 用列举法表示方程的解集为_______． 2. 已知全集，，，那么_______． 3. 指数函数在R上是严格增函数，则实数的取值范围是________. 4. 已知是方程的两根，则=__________． 5. 已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________. 6. 用反证法证明“若，则a、b全为0（a、）”，第一步应假设为________． 7. 函数的最小值为________． 8. 已知，且，则的最大值为________. 9. 若不等式的解集为，则的取值范围是____________． 10. 已知集合，，满足，，则实数_______． 二、选择题：（每题4分，共16分） 11. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 如图所示曲线是幂函数在第一象限内图像，其中，则曲线对应的值依次是（ ） A. B. C. D. 13. 已知实数满足，则a与b大小关系是（ ）． A. B. C. D. 以上都有可能 14. 已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（ ） A. 11 B. 12 C. 15 D. 16 三、解答题：（第15题12分、第16、17题各9分，第18题14分） 15. 计算，并写出必要步骤： （1）． （2）． 16. 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是严格减函数，求实数的值． 17. 已知集合，，若，求值. 18. 已知三个关于不等式（组）：①；②；③ （1）分别求出①和②的解集； （2）若同时满足①和②的值也满足③，求的取值范围； （3）若满足③的至少满足①和②中的一个，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同济大学附属七一中学2025学年度第一学期 高一年级数学学科期中考试 （2025.11） （时间90分钟 满分100分） 一、填空题：（每题4分，共40分） 1. 用列举法表示方程的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得方程的解，进而得到答案. 【详解】由方程，即，解得或， 所以方程的解集为. 故答案为：. 2. 已知全集，，，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的交集与补集运算即可解出答案. 【详解】因为，，所以， 又，所以. 故答案为：. 3. 指数函数在R上是严格增函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，且，时函数为增函数，由此得不等式，解不等式即可. 【详解】因为在R上是严格增函数，根据指数函数的性质， 有，解得. 故答案为： 4. 已知是方程的两根，则=__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次方程根与系数的关系，得到的值，结合，代入计算，即可求解. 【详解】因为是方程的两根，可得， 则. 故答案为：. 5. 已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入指数函数，解方程求得的值. 【详解】将点代入指数函数得，，解得（负根舍去）. 【点睛】本小题主要考查指数函数的解析式的求法，考查指数的运算，属于基础题. 6. 用反证法证明“若，则a、b全为0（a、）”，第一步应假设为________． 【答案】a、b不全为0 【解析】 【分析】直接根据反证法的概念即可得结果. 【详解】将结论a、b全为0进行否定可得a、b不全为0， 即第一步应假设为a、b不全为0， 故答案为：a、b不全为0. 7. 函数的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】按照讨论去绝对值，得到函数解析式，画图即可得答案. 【详解】化简函数为，其图象如图所示， 所以函数的最小值为3， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，解题的关键是分三种情况去绝对值，再进行化简和计算，属基础题. 8. 已知，且，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合均值不等式即可求得xy最大值. 【详解】由均值不等式可得：， 求解不等式可得：，当且仅当时等号成立. 即的最大值为. 故答案为． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，由基本不等式求最大值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9. 若不等式的解集为，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，利用，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，即不等式在上恒成立， 根据二次函数的性质，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 10. 已知集合，，满足，，则实数_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先解分式不等式求出集合，然后结合集合的交集，并集运算得，是方程的根，然后方程的根与系数关系求解即可 【详解】因为，， 又，， 故，即，是方程的根， 所以，，故，， 所以. 故答案为： 二、选择题：（每题4分，共16分） 11. “”是“” A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当成立时可得到成立，反之当成立时不一定成立，如时，所以是的充分不必要条件，选A. 12. 如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【详解】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 13. 已知实数满足，则a与b大小关系是（ ）． A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用作差比较法，求得，即可求解. 【详解】由实数满足，则， 所以. 故选：C. 14. 已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（ ） A. 11 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解. 【详解】当中有元素时，， 当中有元素时，， 所以， 所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合， 故满足题意的集合有，共11个. 故选：A. 三、解答题：（第15题12分、第16、17题各9分，第18题14分） 15. 计算，并写出必要的步骤： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算性质，准确化简、计算，即可求解. 【小问1详解】 根据指数幂的运算法则，可得． 【小问2详解】 由对数的运算性质，可得. 16. 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是严格减函数，求实数的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合，求得，结合幂函数为偶函数，进而确定实数的值，得到答案. 【详解】由幂函数在上是严格减函数，可得，解得， 因为，则， 又由幂函数的图像关于轴对称，即幂函数为偶函数， 当时，可得，此时函数为偶函数，符合题意； 当时，可得，此时函数为奇函数，不符合题意，舍去， 综上可得，实数的值为. 17. 已知集合，，若，求的值. 【答案】、或 【解析】 【分析】解出集合，由得出，然后分和两种情况讨论，在时，可得出或，由此可得出实数值. 【详解】解方程，解得或，则集合. ，则. 当时，，合乎题意； 当时，，，或，解得或. 因此，实数的取值有、或. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求出参数，同时也考查了一元二次方程的求解，解题的关键就是对变系数的一次方程进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题. 18. 已知三个关于的不等式（组）：①；②；③ （1）分别求出①和②的解集； （2）若同时满足①和②的值也满足③，求的取值范围； （3）若满足③的至少满足①和②中的一个，求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可求①，由可求②； （2）同时满足①和②的x值为，也满足③，进而由不等式在上恒成立，求字母的取值范围即可 （3）确定①和②的并集为，由题意得到，进而可求解. 【小问1详解】 不等式等价于 ， 解得：，所以不等式的解集为； ，解得或， 所以解集为. 【小问2详解】 若同时满足①和②的值也满足③， ①和②的交集为， 即在上恒成立， 由， 可得，解得， 所以，解得， 即的取值范围是； 【小问3详解】 若满足③的至少满足①和②的一个， ①和②的并集为， 又的解集为 所以， 即解得 所以的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $