精品解析：上海市扬波中学2025-2026学年高一上学期11月数学期中考试题

扬波中学2025学年第一学期高一数学期中试卷 班级： 姓名： 分数： 考生注意： 1． 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2． 本试卷共有18道试题，满分100分．考试时间90分钟． 一．填空题（本题共10道小题，每小题4分，满分40分） 1. 用列举法表示10以内的所有素数________． 2. 已知为非零实数，代数式值所组成的集合是M，则_________． 3 化简：________．（，） 4. 不等式解集为__________________． 5. 用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设______. 6. 当时，的最大值为______. 7. 使得表达式有意义的范围是____________________． 8. 若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______． 9. 如果方程的两根是，，则的值为________. 10. 定义集合运算：且，若集合，，则集合的子集个数为______． 二．选择题（本题共3道小题，每小题4分，满分12分） 11. 设，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 12. 如果，那么下列不等式中正确是（　　） A. B. C. D. 13. 已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本题共5道题，满分48分） 14. （1）求代数式的最小值及取最小值时的取值范围； （2）已知，，用及表示． 15. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求实数的值和解集. （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数f(x)=|x﹣m|+|x+2m|. （1）当m=﹣1时，求不等式f(x)≤7的解集； （2）若不等式f(x)≤9有解，求实数m的取值范围. 17. 第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：. （1）在该时段内，当汽车平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 18. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． （1）求的值； （2）求满足不等式的实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬波中学2025学年第一学期高一数学期中试卷 班级： 姓名： 分数： 考生注意： 1． 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2． 本试卷共有18道试题，满分100分．考试时间90分钟． 一．填空题（本题共10道小题，每小题4分，满分40分） 1. 用列举法表示10以内的所有素数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据素数的定义对10以内的整数逐一分析即可. 【详解】素数也称质数，是除了1和它本身没有其它约数的正整数，且规定1既不是素数，也不是合数. 所以10以内的素数有：2，3，5，7. 故答案为：. 2. 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由的符号，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求解 【详解】当都为正数时，可得； 当都为负数时，可得； 当一正一负时，可得； 综上所述：所以集合. 故答案为：. 3. 化简：________．（，） 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】原式. 故答案为：. 4. 不等式的解集为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】移项、通分，再等价转化为一元二次不等式（组），即可解得. 【详解】不等式，即，即，即， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5. 用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设______. 【答案】或. 【解析】 【分析】利用反证法的概念直接求解. 【详解】用反证法证明命题：“已知，则且”时， 应假设: 或 故答案为：或. 6. 当时，的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】因，所以，则， 所以，当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为1. 故答案为：1 7. 使得表达式有意义的范围是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据真数和底数需满足的条件得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 8. 若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】对二次项系数进行分类讨论，当二次项系数等于0时不等式恒成立，当二次项系数不等于0时转化为一元二次不等式恒成立问题求解，需要满足开口向下和判别式小于0两个条件，最后整合得到结果. 【详解】①当，即时， 不等式为恒成立，所以满足题意； ②当时，需满足， 解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 9. 如果方程的两根是，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】依据题意可得，是关于的二次方程的两个根，然后可得，简单计算可得结果. 【详解】将看成是一个整体，方程 可以看成是关于的二次方程.因为，是原方程的根， 所以，可以看成是关于的二次方程的根， 由根与系数的关系，得， 即.所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查对数的运算，易错点容易写成，细心审题，属基础题. 10. 定义集合运算：且，若集合，，则集合子集个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据定义先求出集合，再用子集定义求子集个数． 【详解】集合，， 由的定义可得，， 所以子集有，，，，共4个． 故答案为：4． 二．选择题（本题共3道小题，每小题4分，满分12分） 11. 设，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 12. 如果，那么下列不等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可判断AB；利用函数在R上单调递增可判断C；做差可判断D. 【详解】对于A，当时，可得，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，∵，函数在R上单调递增，∴，故C正确； 对于D，∵，∴，，可得，故D错误. 故选：C． 13. 已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB即可. 【详解】设幂函数为， 因为该幂函数得图象经过点， 所以，即，解得， 即函数为， 则函数的定义域为，所以排除CD， 因为，所以在上为减函数，所以排除B， 故选：A 三．解答题（本题共5道题，满分48分） 14. （1）求代数式的最小值及取最小值时的取值范围； （2）已知，，用及表示． 【答案】（1）最小值为；；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据绝对值三角不等式求出的最小值，及相应的的取值范围； （2）根据指数与对数的关系得到，再由换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】（1）因为， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故的最小值为，且取得最小值时的取值范围是. （2）因为，所以，又， 所以. 15. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求实数的值和解集. （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）由题设，再由解集求a值，应用公式法求绝对值不等式的解集即可. （2）讨论参数a求的解集，由已知可得，由（1）及所得解集确定的取值范围. 【小问1详解】 由，则，要使， ∴，可得. 由，则，可得， ∴解集为. 【小问2详解】 由（1）：， 当，即时，则或； 当，即时，则； 当，即时，则或； 当时，则 ； 当，即时，则； ∴要使“”是“”的充分不必要条件，即，又为， 综上，满足要求. 16. 已知函数f(x)=|x﹣m|+|x+2m|. （1）当m=﹣1时，求不等式f(x)≤7的解集； （2）若不等式f(x)≤9有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）[﹣3，4]；（2）[﹣3，3]. 【解析】 【分析】（1）代入m的值，用零点分段讨论法求解即可； （2）用三角不等式求得的最小值，进而可得结果. 【详解】（1）m=﹣1时，f(x)=|x+1|+|x﹣2|=， ∴ x≥2时，2x﹣1≤7，解得：2≤x≤4， x<﹣1时，1﹣2x≤7，解得：﹣3≤x<﹣1， ﹣1≤x<2时，3<7成立，解得：﹣1≤x<2， 故不等式的解集是[﹣3，4]； （2）因为， 所以，依题意可得，解得， 即实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：对于不等式有解问题，常用到以下两个结论： （1）有解； （2）有解. 17. 第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：. （1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 【答案】（1）当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； （2）汽车的平均速度应大于且小于. 【解析】 【分析】（1）化简得，再利用基本不等式求解； （2）解不等式即得解. 【小问1详解】 解：依题得. 当且仅当，即时，等号成立， （千辆/时）. 当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； 【小问2详解】 由条件得，因为， 所以整理得，即，解得. 如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于. 18. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． （1）求的值； （2）求满足不等式的实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据单调性确定出的可取值，再由奇偶性确定出的值； （2）根据奇偶性和单调性列出关于的不等式，求解出结果即可. 【小问1详解】 因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得，又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）； 当时，偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 综上所述，． 【小问2详解】 由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数， 则由可得， 即，即，解得， 所以满足的实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $