辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

绝密★启用前 2025一2026学年度（上）高二年级期中考试 数学试卷 审核学校：沈阳市青松中学 审核人：李禹澳 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章第五节。 2.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.圆x2+y2-4y=0的半径为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知点F(2,0)是椭圆+3=1(a>0)的一个焦点，则a= A.√5 B.5 C.√7 D.7 3.若直线x-y-2=0与直线x-y+a=0(a>0)之间的距离为22，则a= A.1 B.2 C.3 D.4 4.记点0(0,0)，点Q在圆(x-1)2+(y-2)2=4上，则0Q的取值范围是 A.[W5-2,W5+2] B.[0,2+W5] C.[2-√3,2+3] D.[0,2+√3] 5.已知空间向量a=(1,3,4),b=(2,m,n),若|a+b=3,则mn= A.4 B.8 C.12 D.16 东北·高二数学第1页（共4页） 6已知点P是椭圆C=1上的个动点.R,R分别是C的左右焦点，则∠RP,的最小值为 167 1 4 0.8 4 7.已知圆M:(x-a)2+y2=4与圆N:(x+2a)2+y2=9交于A,B两点，且直线AB经过线段MW上靠近 M的三等分点，则a2= A.1 3 3 D.2 8.已知半径为2的球0与平面a相切，球面上两点A,B满足OA⊥OB,且点A到平面的距离为3， 则点B到平面α距离的最大值为 A.2-√3 B.2-√2 C.2+√2 D.2+/3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线L1:ax-2y+1=0与l2:3x+(a-5)y-4=0平行，则a的值可以是 A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知椭圆C的两焦点分别为F1(-1,0),F2(3,0),若点A(3,3)在C的内部，点B(1,6)在C的外 部，则C的离心率可能是 A.10 9 3 c 02 11.已知高为2的斜三棱柱ABC-A1B,C1中，C1在底面ABC上的射影为点P,且四边形ACBP是边长 为2的正方形.设M,N分别为A1B1,AA1的中点，则 A.MN⊥BC B.AB⊥平面CC,M C,三棱锥A-BCW的体积为子 D.直线BC,与直线A,N所成角的余弦值为6 东北·高二数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.圆x2+y2-2ax=a2+1(其中a∈R)的周长的取值范围为 13.在平面直角坐标系xOy中，已知动点P,Q分别在x轴、y轴上，M是线段PQ上靠近P的三等分 点，N为M关于x轴的对称点.若P·ON=-3,则点M的轨迹方程为 14.在平面直角坐标系xOy中，直线ax-y-a=0过定点M,点P在直线x=2上，则tan∠OPM的最大 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，A(2,0),B(-1,0),C(-1,6) (1)求∠ABC的平分线所在直线的斜截式方程； (2)求AC边上的高所在直线的一般式方程 15分)已知椭圆C片？1的左石焦点卧别为R,E,直线y=(x4(6≠0)交C于P.0两 (1)若A是C上一动点，求△AF,F2的周长； (2)探究PF2=Q2是否成立，若成立，求出的方程；若不成立，请说明理由. 17.（15分)在平面直角坐标系x0y中，过点(-2,0)的直线l与圆M:(x-a)2+y=9a2(a>0)交于A, B两点，AB=4√2a. (1)若a=2,求1的斜率； (2)若1的斜率为 ,求△OAB的面积 东北·高二数学第3页（共4页） 18.(17分)如图，四边形ABCD是边长为2、中心为0的正方形，P为平面ABCD外一动点，满足平面 PAB⊥平面ABCD,且四棱锥P-ABCD的体积为；设线段PC的中点为M,Q为线段PB上一动 点（不包含端点P) (1)证明：OM平面PAD; (2)求直线BM与平面DPQ所成角的最大值. (17分)已知精国c号茶-1ow0能有底点为R有顶点为4.且点4在圆r.{-3-9上 (1)求C的方程； (2)设P1,P2,P3为圆F上三等分圆周的任意三点，设FP1,FP2,FP3的延长线与C分别交于点 Q1,Q2,Q3 ()设∠0，H=0=0,》求P0,关于9的表达式： 1 (求FQ,的值 东北·高二数学第4页（共4页）2025一2026学年度（上）高二年级期中考试 数学参考答案及评分细则 L.【答案B 【解析】将x2+y2-4y=0配方得x2+(y-2)2=4,所以圆的半径为2.故选B. 2.【答案】C 【解析】由题意可知，a2=3+2=7,所以a=√7.故选C. 3.【答案】B 【解析1由题意知a-（-222,即1a+21=4,解得4=2或4=-6（舍去.故选B. 12+(-1)7 4.【答案】A 【解析】注意到(0-1)2+(0-2)2=5>4，故点0在圆外.又圆的半径为2，圆心与0的连线长d=√+2=√5，故 |0Q的取值范围为[5-2,5+2].故选A. 5.【答案】C 【解析】注意到a+b=(3,m+3,n+4),a+b=√9+(m+3)+(n+4)2=3,即(m+3)2+(n+4)2=0,可得m=-3,n= -4,故mn=12.故选C. 6.【答案】B 【解析】由椭圆方程可知，a=4,b=√7，则c=3.当点P在短轴端点时，∠F,PF2最大，cos∠F,PF2最小，此时 ∠F,PF,=44-61 2x4X48放选B 7.【答案】C (x-a)2+y2=4, 【解析】显然M(a,0),N(-2a,0),线段MN上符合题意的三等分点坐标为(0,0)，联立 可得 l(x+2a)2+y2=9 （+2a4-(-a）2=9,化简得6ar+3a2=5,得5-3=0，可得a= 6a 3故选C. 8.【答案】D 【解析】设切点为M,令其为坐标原点，取M0的方向为z轴正方向，O在平面α上的投影向量的方向为x轴正 方向，垂直于平面OAM的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系M-z.依题意设A(x,0,3),易知 M(0,0,0),0(0,0,2),则√x2+02+(3-2)7=2,即x2+(3-2)=4,得A(5,0,3).不妨设B(x1y1,1),由0A10B 3 知0.0成=0，而0=(5,0,1)，0成=(x出-2)，故5x+-2=0,即x=(2-1),故4=++(-2)2= (,-2≥号：，-2，于是(6-2)≤3，可得2-月≤≤2*5，故点B到平面a距离的最大值为2，故 4 选D. 东北·高二数学第1页（共5页） 9.【答案】BC(每选对1个得3分) 【解新1调为两直线平行，所以写号解得。2成=3微适肥 10.【答案】AB(每选对1个得3分) 【解析】设椭圆C的长半轴长为a,半焦距为c,因为F,(-1,0),F(3,0),所以2c=4.因为点A(3,3)在C的内 部，所以AF,+|AF2=√(3+1)2+(3-0)7+√(3-3)+(3-0)7=8<2a.因为点B(1,6)在C的外部，所以 1BF,+B那，=√1+)+(6-0)+√1-3+(6-0=410>2a,放C的离心率二ED,故选AB. a10·2 1L.【答案】BCD(每选对1个得2分) 【解析】根据题意，正方形ACBP的边长为2，则△ABC是以C为直角的等腰直角三角形.以点C为原点，C,C 的方向分别为x,y轴正方向，过点C且垂直于底面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).由四边形ACBP是正方形，P(2,2,0),且顶点C,的射影点是P,棱柱的高为 2,则C,(2,2,2),故CC=(2,2,2),A(2,4,2),B,(4,2,2),则M(3,3,2),N(1,3,1),则M=(-2,0,-1),CB= (2,0,0),Mm·CB=-4≠0，故两直线不垂直，故A错误；由A知AB=(2,-2,0),CC=(2,2,2),Ci=(3,3,2). 设平面CC,M的法向量为n=(x,y,z).令n·CC,=0,得x+y+z=0,令n·Ci=0,得3x+3y+2z=0,取x=1,得法 向量n=(1,-1,0).由于AB=2·n,则AB与n共线，即AB⊥平面CC,M,故B正确；三棱锥A-BCN的体积等于 三棱维N-A0C的体积S=子·4C·BC-2,三棱锥N-AC的高等于N1,3)到平面40C的距离=1，放 =兮Sh=子放C正确：C=(0,2.2).不=(-1,1.-1).设直线BC,与直线 1 A,N的夹角为0，则cos0= 1C·A,_1-4=6 IBC1A8x后3，故D正确故选BCD M B C 12.【答案】[2m,+o) 【解析】易得该圆的标准方程为(x-a)2+y2=2a2+1,即半径r=√2a+1≥1，故其周长的取值范围为[2π，+o). 1a【答案)写1 【解析】由题意设，，则P,0,003),N(,),由风.0=-3，得(，3·(，y)=-3,即 名--3. 2t2=1. 4【答案吗 【解析】显然直线可表示为a(x-1)-y=0,可知其过定点M(1,0).设P(2,t),取A(2,0),注意到∠OPM= tan∠PMA-tan∠POM ∠PMA-∠POM,则∠0PM=a(∠P-∠PON)=1+m∠PM:an2POr而am∠PMM= 2-, 东北·高二数学第2页（共5页） t tan∠POM= 2-0 7,故an∠0PiM令 =+2当1=0时，am∠0PW=0:当1≠0时，lm∠0PW≤ 224 当且仅当1=±2时等号成立.放amL0PM的最大值为2 15.解：(1)显然lB:y=0,l:x=-1,故AB⊥BC,(2分) 易知∠ABC的平分线所在直线的倾斜角为牙，所以其方程为)-0=(x+1)am牙，(4分) 即其斜截式方程为y=x+1.(6分)》 6-0 (2)由题意AC的斜率ho= -1-2 =-2,(8分) 11 故AC边上的高所在直线的斜率k= 62,(10分) 又其经过点B,故其方程为)-0=2x+1),(1山分) 即其一般式方程为x-2y+1=0.(13分)》 【评分细则】 若考生的最终答案不符合题干所要求的直线方程形式扣2分。 16.解：(1)由椭圆的第一定义可得△AF,F2的周长为2×(2+1)=6.(4分) (2)设P(x1,y),Q(x2y2),(5分) 联立312得（3+4)x-32x+642-12=0,（7分) y=k(x-4), 故4=(-32)2-4(3+4)(6-12)30.解得< 1 又0，放0或0c<,且斯 32k2 64k2-12 4k2,2 3+46(10分) 设P四的中点为M(o),则_，16 23+4k2%=(x,4)=-126 3+4(12分) 12k 若PF,=QF,.由F,(1,0),得，616 3+4k2 ,可得42-1=42，(14分) 3+4k21 因为此方程无解，所以结论PF,=QF2不成立.(15分)》 【评分细则】 若考生使用其他解法作答，只要最终答案正确均酌情给分 17.解：(1)若l的斜率为0，则|AB=6a>4√2a,不合题意.(1分) 故设1的方程为x=侧-2，点M到直线1的距离d=√9如-（分4B=0,(3分） 又d=a+2 =a,4=2,即4=2，解得m=3,(5分) √m'+ √m2+1 3 故1的斜率k=±了(7分) (2)由题知m=22,l:x-22y+2=0.(8分) 此时点M到直线l的距离d= 不P+(223（a+2)=a,解得a=1.(1分) a+21 东北·高二数学第3页（共5页） 10-0+2| 而点O到l的距离h= 12+(22)2 3,(13分) 又AB=4万，故△01B的面积S=ABA= ×42× 242 33 (15分) 2 【评分细则】 第一问若考生最终结果少写或错写一个均扣1分 18.(1)证明：由题意，得O为AC的中点，且点M是线段PC的中点， 故OM是△PAC的中位线，故OMPA.(3分) 又PAC平面PAD,而OM￠平面PAD, 故OM平面PAD.(6分) (2)解：如图，以点A为坐标原点，A,A的方向分别为x,y轴正方向，垂直于平面ABCD向上的方向为z轴正 方向，建立空间直角坐标系，由题意可知，A(0,0,0),B(0,2,0),D(2,0,0),C(2,2,0),0(1,1,0) 设四陵锥P一4BGD的商为6，由体积公式易有×2·A,解得6=2(8分) 又平面PAB⊥平面ABCD,且平面PABn平面ABCD=AB, 故点P在xOy平面内的投影落在直线AB上.(9分)》 设点P01,2则1，安m-,号， 由题，Q为线段PB上一点，因此点P,Q,B三点共线， 即等价于求直线BM与平面PBD所成角的最大值，(11分) 设平面PBD的法向量为n=(a,b,c).又DB=(-2,2,0),DP=(-2,1,2). 则/10 '即2a+26=0, n1D,1-2a+tb+2c=0, 令a=2,可得平面PBD的一个法向量n=(2,2,2-t).(13分) 设直线BM与平面PBD所成的角为a. Bi·n 2 4 则sin0= la2F-4+12V-4+i2F-+12(u-2)+8（15分) 2 故当1=2时，(1-2)+8取得最小值8，此时s血9取得最大值 又e0, ,由正弦函数单调性可知，此时6取得最大值石，(16分) 即直线BN与平面DPQ所成角的最大值为行(17分) A: DA 【评分细则】 若考生使用其他解法作答，酌情给分 东北·高二数学第4页（共5页）》 19.解：(1)设c为椭圆的半焦距，F为圆F:(x-3)2+y2=9的圆心，得F(3,0),c=3.(1分) 又右顶点为A,且点A在圆F:(x-3)2+y2=9上，故A(6,0)(原点舍去)，即a=6,(3分) 则62=a2-c2=27,(4分) 则c的方程为1(5分 3627 (2)(i)由于P,P2,P3为圆F上三等分圆周的任意三点，且Q,Q2,Q3分别为FP,FP2,FP3的延长线与C的交 点，放∠0P0,=L0,0,=20,0,（(7分) 设C的左焦点为F,∠Q,FA的补角为a,则cos=-cos0. 在△Q,F,F中，由余弦定理可得cosα= FFFP-F0PF36-12-F() 2·FQ·F,F 2·FQ·6 99 化简得0，-2-sa2+osg（12分) (i)由题，由(i)可知FQ2=一 9 9 -,FQ3= .(13分)》 2+c0s 两品 Gvom osomo 3 -,(14分) 9 又时or+o5-mos0 e2n-sin0·i 3 2年tcoe2红.cos9+sin0:si 3+cos 3 年=0.(16分） 3 故名0号(17分) 【评分细则】 第二问的第一小问若最终结果不是最简形式扣2分 东北·高二数学第5页（共5页）》