精品解析：四川省成都市锦江区 嘉祥外国语学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

嘉祥教育集团2025-2026学年初二上学期质量监测试题 数学 注意事项： 1．全卷分为第A卷和第B卷，A卷满分100分，B卷满分50分． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第1卷（选择题共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. 3.1415926 B. 0.3 C. D. 2. 以下列各组数据作为三角形的边长，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. 5，12，13 D. 3. 如图，原点为，点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 2.3 4. 若为实数，满足，则点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，∠B＝35°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A. 35° B. 55° C. 65° D. 90° 6. 周六下午，小明从家去乐高编程班上课，时长2小时的课程结束后，小明以同样速度原路返回，如图正确描述这一过程的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的二元一次方程组的解适合方程，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．设普通公路长、高速公路长分别为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 16的算术平方根是___________． 10. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 11. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，则的长为___________． 12. 如图，圆柱体的高为，底面周长为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面处的食物，已知处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是___________． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算： （2）解方程： 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）求的周长； （3）在轴上找出点，使值最小，请直接写出点的坐标． 16. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为2米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为6米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为， （1）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求、点的坐标； （2）若满足．若点到轴的距离是点到轴距离的3倍，求点的坐标． 18. 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． （1）如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． （2）如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． （3）是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 19. 比较大小：_____（填“＞”、“＜”或“＝”） 20. 若，则___________． 21. 如图，，，，分别为，上的两点，，若点关于的对称点在上，则___________． 22. 平面直角坐标系中，，，，我们规定是平面直角坐标系绕点逆时针旋转的变换，其中为正整数，如：当时，平面直角坐标系绕点逆时针旋转；当时，平面直角坐标系绕点逆时针旋转，以此类推，变换后点的对应点为点，当面积最大时，的最小值为___________． 23. 如图，为边长为4的等边三角形，，分别为，上两点，连接，交于点，连接，若，，则___________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答过程写在答题卡上） 24. “低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一周前两天销售情况如表： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一天 5 6 1120 第二天 4 3 680 （1）求的值． （2）若第三天型车和型车的总利润为1360元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 25. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，我们定义其“相关点”满足：当时，；当时，．请根据此定义完成下列问题： （1）点的“相关点”的坐标为___________； （2）若点的相关点的坐标为，求的面积； （3）点在第二象限，其“相关点”的纵坐标为，若线段的长度为，求点的坐标． 26. （1）如图1，在，，，，求边上高的长； （2）如图2，在中，，，，线段与线段交于点（点不在上），连接． ①在（1）的条件下，若，求的长； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若为等腰三角形，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥教育集团2025-2026学年初二上学期质量监测试题 数学 注意事项： 1．全卷分为第A卷和第B卷，A卷满分100分，B卷满分50分． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第1卷（选择题共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. 3.1415926 B. 0.3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，其中初中范围内学习的无理数有：；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．据此逐项判定即可． 【详解】解：A、3.1415926是有限小数，不是无理数，故此选项不符合题意； B、0.3是有限小数，不是无理数，故此选项不符合题意； C、是整数，不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 以下列各组数据作为三角形的边长，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. 5，12，13 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．要判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，就是要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，依次对各个选项验证即可． 【详解】解：A、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 3. 如图，原点为，点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 2.3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴．根据勾股定理求出，进而即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ． 以为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点， ， 点表示的实数是． 故选：B． 4. 若为实数，满足，则点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，关于对称轴对称的点的坐标特点，利用非负数的性质求出a和b的值，得到点P的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴且， ∴，， ∴点P的坐标为， 点P关于x轴的对称点Q，x坐标不变，y坐标取相反数， ∴ Q的坐标为， 故选：C． 5. 在△ABC中，∠B＝35°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A. 35° B. 55° C. 65° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】根据BC2﹣AC2＝AB2，可得△ABC为直角三角形，∠A＝90°，从而求得∠C． 【详解】解：∵BC2﹣AC2＝AB2，即BC2＝AB2+AC2， ∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，求得∠A＝90°． 6. 周六下午，小明从家去乐高编程班上课，时长2小时的课程结束后，小明以同样速度原路返回，如图正确描述这一过程的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查运动的图象，小明从家去上课，离家的距离越来越远，在上课的2小时内，离家的距离不变，故排除C选项，课程结束后，小明回家，离家的距离越来越小，可排除D选项，由于小明是以相同的速度返回，故B选项符合题意． 【详解】解：小明从家去上课，离家的距离越来越远，在上课的2小时内，离家的距离不变，小明回家时离家的距离越来越小，且小明是以相同的速度返回，所以B选项的图象能正确描述这一过程． 故选：B． 7. 已知关于的二元一次方程组的解适合方程，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，通过消元与代入求解，关键是将参数m消去后联立已知条件． 通过将原方程组中的m用x和y表示，代入另一个方程消去m，得到关于x和y的方程，再与给定的联立求解x和y，最后代入求m． 【详解】解：∵ 方程组且解适合， 由方程②得：， 代入方程①：， 即， 整理得：，即， 两边乘以：， ∴ 得， 联立方程： 由③得：， 代入：， ， ， ， ， ∴， 代入， 故选：A． 8. 一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．设普通公路长、高速公路长分别为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，由普通公路占总路程的，结合汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，依题意，得： 故答案为：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 第II卷（非选择题共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 10. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 11. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度的直角三角形、三角形外角的性质、勾股定理等知识点．由题意可知垂直平分线段，则，由等边对等角可得，利用三角形外角的性质可得，最后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 12. 如图，圆柱体的高为，底面周长为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面处的食物，已知处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理的应用，正确利用展开图进行计算是解题关键．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，H所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，     连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，C、H分别是、的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出，结合题干条件得，再把，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，连接， ∵， ∴， 则， ∵在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解二元一次方程组． （1）根据有理数乘方，算术平方根，绝对值的代数意义将原式化简，再进行加减运算即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为：． 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）求的周长； （3）在轴上找出点，使值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图1：即为所求； （2）； （3） 如图所示：点P即为所求， 点P的坐标为 【解析】 【分析】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用勾股定理求出每条边的长度，再相加，即可作答； （3）利用勾股定理以及绝对值的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，， 则的周长； 【小问3详解】 解：依题意，， 则，此时的值最小． 故点P的坐标为． 16. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为2米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为6米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】（1）旗杆的高度为8米； （2）小明需后退2米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则米，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作重为M，证明四边形为长方形，得出米，，由勾股定理得米，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为米，则米， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为8米； 【小问2详解】 解：过E作重为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴米，， 米， 米，米， 在中，， 由勾股定理得：米， 米 答：小明需后退2米． 17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为， （1）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求、点的坐标； （2）若满足．若点到轴的距离是点到轴距离的3倍，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，无理数的估算，二元一次方程组的应用，点到坐标轴的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据的立方根是的算术平方根是得，再结合是的整数部分，故，即可得出、点的坐标； （2）先理解点到轴的距离是点到轴距离的3倍，则，再进行分类讨论，且结合进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵的立方根是的算术平方根是 ∴ 则 解得 则 解得； ∴点的坐标为， ∵ ∴ ∵是的整数部分， ∴ ∴点的坐标为， 【小问2详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为，且点到轴的距离是点到轴距离的3倍， ∴， 当时， ∵， ∴， 整理得 解得， 此时； 当时， ∵， ∴， 整理得 解得， 此时； 综上：或． 18. 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． （1）如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． （2）如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． （3）是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点P的坐标为； （2） （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在点处， ∴，，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵沿将折叠得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：如图所示，过点C作交于点E，交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， 当时， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 当时， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 19. 比较大小：_____（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞． 【解析】 【分析】先通分，然后比较分子的大小即可． 【详解】∵＝，＝， 5＝＝，11＝， ∴﹣5＞﹣5， 即5﹣5＞6， ∴＞， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 20. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质是解题的关键．利用完全平方公式求出，再代入表达式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 21. 如图，，，，分别为，上的两点，，若点关于的对称点在上，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质．先证明四边形是菱形，推出，求得是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：如图， 由对称的性质得，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 平面直角坐标系中，，，，我们规定是平面直角坐标系绕点逆时针旋转的变换，其中为正整数，如：当时，平面直角坐标系绕点逆时针旋转；当时，平面直角坐标系绕点逆时针旋转，以此类推，变换后点的对应点为点，当面积最大时，的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的几何变换与最值问题，掌握点的旋转轨迹及垂直关系的应用是解题的关键，通过分析三角形面积公式，确定当高最大时面积最大，即旋转后点D到直线的距离最大，此时垂直于． 【详解】解：∵是平面直角坐标系绕点逆时针旋转的变换， 由于旋转中心是原点，点C到原点的距离，因此点D始终在以O为圆心、半径为2的圆上运动． 过点A作轴于点H，点B作轴于点G， ∵， ∴，， ∴， 在中，，， ∴ 同理可得， 即， ∴B、O、A三点共线， ∴是以为底，h为高的三角形，其中h是点D到直线的距离， ∴长度固定，当h长度最大时，有面积最大， ∵点D在以O为圆心、半径为2的圆上运动， ∴点D到直线的距离h的最大值等于圆的半径2，当且仅当垂直于直线时达到，因此，问题转化为求k使垂直于． ∴， ∴， 即点C绕O逆时针旋转至少第一次垂直于， ∵点C绕O逆时针以长度旋转到点D， 即， ∴． 故答案为：5． 23. 如图，为边长为4的等边三角形，，分别为，上两点，连接，交于点，连接，若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，证明，推出得到，推出，，再证明，得到，在中，求得，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得， ∴， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答过程写在答题卡上） 24. “低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一周前两天销售情况如表： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一天 5 6 1120 第二天 4 3 680 （1）求的值． （2）若第三天型车和型车的总利润为1360元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 【答案】（1）， （2）这天型车和型车分别卖出了17辆、0辆或14辆、2辆或11辆、4辆或8辆、6辆或5辆、8辆或2辆、10辆 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，读懂题意正确列方程是关键． （1）根据第一天和第二天总利润，进行列方程组，并解方程即可； （2）根据总利润为1360元列二元一次方程，求整数解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得 ， 解得； 【小问2详解】 解：设这天型车和型车分别卖出了辆、辆， 根据题意得， 整理得， 解得或或或或或 ∴这天型车和型车分别卖出了17辆、0辆或14辆、2辆或11辆、4辆或8辆、6辆或5辆、8辆或2辆、10辆． 25. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，我们定义其“相关点”满足：当时，；当时，．请根据此定义完成下列问题： （1）点的“相关点”的坐标为___________； （2）若点的相关点的坐标为，求的面积； （3）点在第二象限，其“相关点”的纵坐标为，若线段的长度为，求点的坐标． 【答案】（1）(5,7) （2） （3） 【解析】 【分析】本题重点考查了二元一次方程组的求解，点到坐标轴的距离，一次函数的解析式和两点坐标求两点距离等知识点，点到坐标轴的距离为点到轴、轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值，一次函数的解析式为，两点之间的距离公式为，熟练掌握公式以及公式的运用是解题的关键． （1）将已知条件直接代入表达式即可完成求解，得到的坐标． （2）根据已知条件，分和两种情况进行讨论，求得点的坐标，进而得到直线的解析方程式，得到其与轴或轴的交点，将拆解成两个三角形和，分别计算两个三角形的面积，即可得到答案． （3）此题通过已知条件，得到的坐标，进而得到，用含的表达式得到，的坐标，利用两点之间的距离公式得到的值，解方程得到的值，最终求得的坐标，此题中还需要注意的第二象限，需要舍弃不符合条件的值． 【小问1详解】 解：符合， ∴， ∴的坐标为． 答：的坐标为． 【小问2详解】 解：设， 当时，将代入方程得到方程组， ， 用代入消元法解得到，符合的设定， 得到， 设直线的解析方程式为，将代入上式， ， 用加减消元法解得， ∴直线的方程式为， ∴直线与轴的交点为， ∴此时轴将分割成两个三角形和， ∴； 当时，将代入方程得到方程组， ， 用代入消元法解得到，符合的设定， 得到， 设直线的方程式为，将代入方程式， ， 用加减消元法解得， ∴直线的方程式为， ∴直线与轴的交点为， ∴此时轴将分割成两个三角形和， ∴． ∴的面积为． 答：的面积为． 【小问3详解】 解：∵点在第二象限， ∴， ∴的坐标为， ∵的纵坐标为， ∴，即， ∴的坐标为，的坐标为 ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 答：点的坐标为． 26. （1）如图1，在，，，，求边上高的长； （2）如图2，在中，，，，线段与线段交于点（点不在上），连接． ①在（1）的条件下，若，求的长； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若为等腰三角形，求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②的度数为或 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求出，设边上的高为，再由面积法得到，即可求解； （2）①过点作于点，根据平行线间的距离相等得到，然后对，运用勾股定理求解； ②当，在下方时，如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，过点作于点，先证明，则设，， 在，中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，联立①②解得，再代入求解即可；当，在上方时，如图，过点作于，过点作交于点，同上可证明，设，则，作点作的对称点，连接，则为等边三角形，则，则，然后再根据等腰三角形的性质求解；当，在左侧时，则为等边三角形，可求；当，在右侧时，同理． 【详解】解：（1）∵，，， ∴, 设边上的高为， 则， ∴； （2）①过点作于点， ∵， ， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ②当，在下方时，如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，过点作于点， 则，，则由平行线间的距离相等得到， 由旋转得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 联立①②解得， 代入②求得（负值舍去）， ∴，， ∴，而 ∴为等腰直角三角形， ∴； 当，在上方时，如图，过点作于，过点作交于点， ∴ 同上可证明， ∴， 设，则， 作点作关于的对称点，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当，在左侧时，如图： ∵， ∴， ∴为多边形三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； 当，在右侧时，如图： ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； 综上所述：为等腰三角形时，的度数为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，难度较大，解题的关键是注意分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $