天津市第三十二中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025年11月高三期中考试高三数学 姓名： 班级： 一、单选题 1.设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MUCN=() A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8 C.{1,2,4,6,8} D.U 2.“a2=b2"是“a2+b2=2ab”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3.直线1：x+y+1=0被圆C:x2+(y-1)=4截得的弦长为() A.4 B.25 C.22 D.2 4.已知直线(3a+2)x+(-4ay+8=0与直线(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直，则a的值为() A.1 B.0 C.-1 D.0或1 5.己知函数f(x)=sin(ox+p)在区间 π2π 6’3 单调递增，直线x=和x=亚为函数y=f(x) 6 3 5π 的图像的两条相邻对称轴， 则f 12 A.3 2 B. 2 C. D.3 2 6.设椭圆G:+y=1a>,C: 4十y2-1的离心率分别为e,6.若6，=V5e,则a=() A.25 B.2 C.5 D.6 3 7.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗 址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼 器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2，外径长3，筒高4， 中部为棱长是3的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体 积为( -3 答案第1页，共17页 A.(27-年Jcm3B.24+4Jcm3C.(66-年cm3D.(18+年cm 8.已知椭圆C的焦点为F(-1,0),F(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF=2F,B, |AB=|BF,则C的方程为 A. -=1 2女2三1B。+— D.+=1 54 9.己知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PB+PC)的最小值是 () A.-2 4 C.-3 D.-1 二、填空题 10.若an0=-3,则，sin0 sin0-cos0 11.若直线y=3x-4与圆(x+2)2+y2=2(r>0)相切，则r=· 12.直线=+3被圆(-2)2+(-3)2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为. 13.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴 垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若FQ=6,则C的准线方程为 14.已知抛物线的项点在坐标原点，焦点F与双击线号景-a>06>0)的左焦点重合，若 两曲线相交于M,N两点，且线段MN的中点是点F,则该双曲线的离心率等于一 15.已知向量ā与6夹角为锐角，且同==2，任意元eR,a-元b的最小值为5，若向 量c满足(c-a)(-b=0,则的取值范围为一. 答案第2页，共17页 三、解答题 16.在△ 中，内角，，所对的边分别为，，已知>，=5，=6， (I求和 的值： (Ⅱ)求sin(2+)的值. 17.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,C,V2cosC(acos B+bcos A)+c=0· (1)求角C的大小： (2)若a=√2，b=2.求： (i)边长c; (ii)sin(2B-C)的值. 18.如图，已知四边形ABCD的直角梯形，AD∥BC,AD⊥DC,AD=4,DC=BC=2,G 为线段AD的中点，PG⊥平面ABCD,PG=2,M为线段AP上一点(M不与端点重合). (I)若AM=MP, (i)求证：PC∥平面BMG; (ii)求直线PB与平面BMG所成的角的大小： ()否存在实数无满足AM=元D,使得平面BMD与平面ADP所成的锐角为牙，若存在， 确定入的值，若不存在，请说明理由 B 答案第3页，共17页 22 19.己知椭圆：气+之=1(>0，>0)的右焦点为(1，)，且经过点(0，). (I)求椭圆的方程： (Ⅱ)设为原点，直线：=+（≠土）与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交 于点，直线与轴交于点若1」|=2，求证：直线经过定点. 20已为相国C号+芳=1a6>0)的有袋应为F10.高心幸为2 (1)求椭圆C的方程： (2)设经过点F的直线I不与坐标轴垂直，直线I与椭圆C相交于点A,B,且线段AB的 中点为M,经过坐标原点O作射线OM与椭圆C交于点N,若四边形OANB为平行四边形， 求直线1的方程. 答案第4页，共17页 参考答案： 1.A 【分析】由题意可得CN的值，然后计算MUCN即可. 【详解】由题意可得CN={2,4,8},则MUCN={0,2,4,6,8 故选：A 2.B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由a2=b2,则a=±b,当a=-b≠0时a2+b2=2ab不成立，充分性不成立： 由a2+b2=2ab,则(a-b)2=0,即a=b,显然a2=b2成立，必要性成立： 所以a2=b2是a2+b2=2ab的必要不充分条件. 故选：B 3.C 【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离d,利 用垂径定理可求得弦长 【详解】由圆的方程可知：圆心C(0,1),半径r=2, ∴圆心C到直线l的距离d= 0+1+=2, √2 ∴.直线1被圆C截得的弦长为2√2-d2=22. 故选：C 4.D 【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可得到a, 答案第5页，共17页 【详解】因为两直线垂直，所以(3a+2)×(5a-2)+1-4a)a+4)=0,解得a=0或1. 故选：D 5.D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x= 5π即可得到答案。 12 【详解】因为f(x)=sin(ox+p)在区间 π2π】 63 单调递增， 所以7-2红-亚=，且0>0，则T=元，w=2红=2， 2-362 T 当x=时，f()取得最小值，则2石+p=26m-2,keZ。 π 6 则0=2加geZ,不纺取=0，别)-m2-, 故选：D. 6.A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答， 43x31 【详解】由e,=V5e,得e=3e,因此4- xa，而a>1,所以a=2 3 故选：A 7.A 8.B 【分析】由己知可设EB=n,则AF=2n,BF=AB=3n,得AF=2n,在△AFB中求 得cos∠AB=了再在△E中，由余弦定理得n= 3N 从而可求解。 【详解】法一：如图，由已知可设FB=n,则AF=2n,BF=AB=3n,由椭圆的定义有 2a=BF+BF=4n∴AF=2a-AF=2n.在△AFB中，由余弦定理推论得 4+9r-9r-在△P飞中，由余弦定理得4n+4r-2:2n:2 2·2n3n3 得n=3 2 答案第6页，共17页 :2a=4n=25,a=5,:b=a2-c2=3-1=2,:所求椭圆方程为号+上-1，故选B. 32 法二：由已知可设EB=n,则AF=2,BF=AB=3n,由椭圆的定义有 2a=BF+BF=4n∴AF=2a-AF=2n.在△AEE和△BFE中，由余弦定理得 4n+4-22n:2o∠A55=,又乙a5,∠BF,R互补，cos∠ME+os∠BF,5=0, n2+4-2.n:2.cos ZBF F=9n2 两式消去cos∠AFF,cos∠BFE,得3n2+6=11n2,解得 n= .2a=4n=25,4=N5,6=a-c2=3-1=2,:所求椭圆方程为。+上=1， 2 32 故选B. F 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很 好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养. 9.B 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算 即可 【详解】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则A(0,V3),B(-1,0),C(L,0), 设P(x,y),则PA=(-x,V3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y), 则两4P蹈+=2r-2+2y-ar+0-5- 2 当x=0,y=5时，取得最小值2x(日， 2 故选：B 答案第7页，共17页 P(x,y) B D 10.-#0.75 4 【分析】根据三角函数的基本关系式，化简为齐次式，代入即可求解. sin sin cos0 tan03 3 【详解】因为tanO=-3,可得 sin0-cos0 sin0-cos0 tan0-1-3-1 4 cos0 故答案为： #0.75。 4 11.√10 【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，即为半径 【详解】由题意得：(x+2)2+y2=2(r>0)的圆心为(-2,0)， 故r= 10+4-3x(-2=0 V9+1 故答案为：V0 12.【答案】石或2 【解析】 【分析】 本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等基础知识， 属于中档题. 根据直线被圆截得弦长为2√了及圆的方程，结合点到直线的距离公式求得，从而根据倾斜 角与斜率的关系可求得答案. 【解答】 答案第8页，共17页 解：圆(-2)2+(-3)2=4的圆心2,3)，半径=2， ~直线=+3被圆(-22+(-32=4截得的弦长为2√3， 圆心到直线 17√2-2=1， -+3=0的距离=2-3+3到=2L 解得=土 直线的倾斜角为或气 故答案为6或。 【分析】先用坐标表示P,Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得P,即得结果 【详解】抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F P为C上一点，PF与x轴垂直， 所以P的横坐标为号，代入抛物线方程求得P的级坐标为±p, 不妨设r号p), 因为Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,所以Q在F的右侧， 又FQ=6, 06+号0币=6-p川 因为P010P,所以P00P=2x6-p2=0, p>0,p=3, 所以C的准线方程为x=-3 2 3 故答案为：x= 21 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键 14.√2+1 【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解。 【详解】由题意知：-？=-c,p=2c, 2 ∴.抛物线方程为：y2=-2px=-4cx, 答案第9页，共17页 M在抛物线上，所以M(-c,2c), M在双曲线上，C24e2 b2=c2-a2,c4-6a2c2+a4=0 .e2=3±2√2，又e∈(1，+o),.e=V2+l. 故答案为：√2+1 15.[5-1,5+1 【分析】结合二次函数的性质，由a-2·b的最小值求得向量ā与b的夹角，判断出c点对 应的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设向量a与6的夹角为0,0<0<分，则a-万=2x2xcos0=4os, a-元-6=Va--b}=G2-2na6+元2 =V4-8元cos0+4元2=V422-8cos0）+4,， 所以当元=-8c0s8=cos0时，后-元-6取得最小值为5， 2×4 即V4(cos8-(8cos0)cos0+4=V1-cos月=2sin0√3， 所以sin6=V5 如图所示，设OA=a,OB=b,OC=c,三角形OAB是等边三角形， 设O,是AB的中点，则O0=V5, 由于(G-a)(-b)=AC.BC=0,所以∠ACB= 2 所以C点的轨迹是以4B为直径的圆，圆的半径为4=1， 根据圆的几何性质可知，OC即的取值范围为「5-1，v3+1]. 故答案为：「5-l,v5+1 答案第10页，共17页