精品解析：上海市第二中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025学年第一学期市二中学期中考试试卷 高三数学试卷 2025.10 （考试时间120分钟，总分150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则__________． 2. 已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 3. 若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则_____． 4. 已知函数，则______， 5. 设，若，则实数的取值范围是______. 6. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ________． 7. 函数的最小正周期为_______. 8. 已知正数满足，则的最小值为_____． 9. 下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为______cm.（精确到1cm） 10. 若函数存在最小值，则实数的取值范围为_____． 11. 锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______． 12. 已知，，则的最小值为_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 函数是（ ） A. 偶函数，且没有极值点 B. 偶函数，且有一个极值点 C. 奇函数，且没有极值点 D. 奇函数，且有一个极值点 15. 函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数满足，且当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分） 17. 已知全集为实数集，集合，常数． （1）当时，求； （2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 18. 在中，内角A，，所对的边分别为，，.已知. （1）求A； （2）若，求周长的最大值. 19. 已知函数，其中为奇函数，为实数. （1）求的值，指出函数的单调性并说明理由； （2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 20. 某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形宽为2.4米，车长为，车厢的左侧直线与双车道的分界线相交于、，记． （1）若大卡车在转弯的某一刻，恰好，且也都在双车道的分界线上，直线也恰好过路口边界，分别求与的长； （2）在（1）的条件下，求此时大卡车的车长； （3）为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线，求此大卡车车长的最大值． 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期市二中学期中考试试卷 高三数学试卷 2025.10 （考试时间120分钟，总分150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接进行并集运算即可求解. 【详解】由，所以. 故答案为：. 2. 已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】代入点可得，结合即可得函数值域. 【详解】将点代入可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 3. 若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数定义和诱导公式计算即可求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故答案为： 4. 已知函数，则______， 【答案】 【解析】 【分析】推导出，从而，由此能求出结果． 【详解】解：∵函数， ∴， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想，是基础题． 5. 设，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数单调性求解不等式. 【详解】当时，函数在上单调递减， 不等式，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 6. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式可求得的最小值，可求实数的取值范围. 【详解】因为，当且仅当时，即取等号， 又，不等式恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 7. 函数的最小正周期为_______. 【答案】 【解析】 【分析】将三角函数进行降次，然后通过辅助角公式化为一个名称，最后利用周期公式得到结果. 【详解】，. 【点睛】本题主要考查二倍角公式，及辅助角公式，周期的运算，难度不大. 8. 已知正数满足，则的最小值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故最小值为9， 故答案为：9 9. 下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为______cm.（精确到1cm） 【答案】14 【解析】 【分析】延长交于点，由正弦定理得到，求出，在中，利用余弦定理求出，得到答案. 【详解】如图，延长交于点，因为，所以， 在中，由正弦定理得，， ， 由题意得， 在中，由余弦定理得， ， 故两点之间的距离为. 故答案为：14. 10. 若函数存在最小值，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论，分析函数的单调性，由条件列不等式，可求t的取值范围. 【详解】当时，， 若时，；若时，， 故当时，函数的最小值为0； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数不存在最小值； 当时，函数在上单调递减，此时， 若且时，， 因为函数存在最小值，则，解得， 所以； 若且时，函数在上单调递增， 则， 因为函数存在最小值，则，即，该不等式无解； 综上，实数t的取值范围是， 故答案是：. 11. 锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，设等差数列、、的公差为，求出的取值范围，利用正弦定理、两角和与差的余弦公式、弦化切，可求得所求代数式的取值范围. 【详解】若锐角的三个内角、、的度数成等差数列， 则，解得，不妨设角为最小角， 设等差数列、、的公差为，则，， 所以， ， 由题意可知，因为、为锐角，且， 即，解得，则， 所以 . 故答案为：. 12. 已知，，则的最小值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，把问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，再利用导数的几何意义求解即可； 【详解】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义即可得答案. 【详解】是增函数， 又， ， 又是增函数， 则，故充分性成立； 是增函数，， ， 又是增函数， ，故必要性成立. 即“”是“”的充要条件. 故选：. 14. 函数是（ ） A. 偶函数，且没有极值点 B. 偶函数，且有一个极值点 C. 奇函数，且没有极值点 D. 奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象结合极值点的定义即可得出结论. 【详解】画出的图象，函数是偶函数， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有一个极大值点. 故选：B. 15. 函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象与性质列不等式，求得的取值范围. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象； 再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， ， . 故选：A. 【点睛】本题主要考查的图象与性质以及变换规律，由零点个数，确定的范围. 16. 已知函数满足，且当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据赋值法可得，，进而可得，即可判断①，根据函数单调性的定义可判断在上为减函数，即可求解②，代值逐步求解即可判断③④. 【详解】令，，，所以. 令，，，则. 令，得，故为偶函数．①错误； 任取，，，则， 则，故在上为减函数． 由已知，可得， 故，解得，且，②错误； 若，则，， ，③正确； 若，则，， ，所以，故④错误， 故选：C． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分） 17. 已知全集为实数集，集合，常数． （1）当时，求； （2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求解集合和，再求，最后求交集. （2）先确定集合，再对的正负分类讨论求解集合，结合必要非充分条件的集合关系求解的范围. 【小问1详解】 当时， 对于集合，，即，解得，故. 对于集合，，因单调递减，故， 即，解得，故. 则，因此. 【小问2详解】 由（1）知. 对于集合，，即. 当时，，. 因是的必要非充分条件，故是的真子集， 则，且等号不同时成立，解得. 当时，，，此时为负数区间， 为正数区间，不可能是的真子集，无解. 综上，实数的取值范围是. 18. 在中，内角A，，所对的边分别为，，.已知. （1）求A； （2）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出，然后根据的范围，即可得出答案； （2）方法一：根据余弦定理得出，根据基本不等式可得出，整理即可得出，得出答案；方法二：根据正弦定理得出，.设周长为，表示出周长.然后根据诱导公式以及辅助角公式化简可得出.然后根据的范围，即可得出答案. 【小问1详解】 在中，由已知结合正弦定理角化边可得， 整理可得， 所以. 又，所以. 【小问2详解】 方法一：由（1）知， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以，，整理可得， 所以， 故的周长的最大值为12. 方法二：由（1）知， 所以，， 记的周长为，则， 由，，得， 所以. 又， 所以当时，. 19. 已知函数，其中为奇函数，为实数. （1）求的值，指出函数的单调性并说明理由； （2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 由于函数的定义域为,且为奇函数， 故，故， 当时，，满足题意， 故， 为单调递减函数，理由如下： ，由于为单调递增，且恒为正，故为单调递减函数，因此为单调递减函数， （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解，进而根据函数单调性的性质求解单调性， （2）根据单调性以及奇偶性即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得， 由于为单调递减函数，故，即， 故存在实数，使得，所以， 由于，故， 20. 某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形宽为2.4米，车长为，车厢的左侧直线与双车道的分界线相交于、，记． （1）若大卡车在转弯的某一刻，恰好，且也都在双车道的分界线上，直线也恰好过路口边界，分别求与的长； （2）在（1）的条件下，求此时大卡车的车长； （3）为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线，求此大卡车车长的最大值． 【答案】（1）米，米， （2）米 （3）米 【解析】 【分析】（1）（2）通过解直角三角形，分别求出即可求解， （3）用表示，利用换元法并结合函数的单调性，求出的最小值，即可得到大卡车车长的最大值. 【小问1详解】 如图所示， 作 ，垂足为，作 ，垂足为， 因为 ，所以 ，   在中， 在中，. 在中，（米）， 在 中，（米）. 【小问2详解】 由（1）知： 米. 【小问3详解】 因为 ，所以 ， 所以 ， 令 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ，， 所以 ， 设 ，则 ，所以 ， 易知 在 上单调递增，且 ， 所以 在 上单调递减， 所以当 ，即 时， 取得最小值 . 所以最终符合条件的大卡车车长最大值为（）米. 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（答案不唯一，满足的均可） （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，则在上恒成立，利用分离参数法，再构造函数，利用导数求出其最值，即可得解； （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，再分离参数，求出函数的最值，进而可求出的值，即可得证； （3）由题意可得恒成立，令，求出，则恒成立，再利用根的判别式求出，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得出结论. 【小问1详解】 由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立 所以函数和函数在上存在分界线， 其方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $