精品解析：上海市晋元高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025年晋元中学高二期中试卷 2025.11 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 已知点，，则线段的垂直平分线的点法式方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求线段中点，再确定垂直平分线的法向量，最后依据点法式方程定义写出方程. 【详解】先求线段的中点，坐标为. 再求向量，该向量即为线段垂直平分线的法向量. 由点法式方程的定义，以中点和法向量， 可得线段垂直平分线的点法式方程为. 故答案为：. 2. 已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的范围求解即可. 【详解】因为是椭圆上一点， 所以点满足椭圆的范围， 因此，所以，即的取值范围是． 故答案为：. 3. 若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点，即可写出标准方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，，解得，则圆心坐标为， 则圆的标准方程为. 故答案为： 4. 双曲线的两条渐近线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用双曲线的渐近线的求法，求解即可. 【详解】对于双曲线，，， 所以，双曲线的渐近线方程为，即. 故答案为：. 5. 已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程表示椭圆的性质列不等式组可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和性质，即可求出的周长． 【详解】由双曲线的方程可知， 则，， 则 ， 即， 则的周长为， 故答案为：12 7. 已知，，椭圆的焦距为，若，则该椭圆的离心率________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的关系结合已知等式求解椭圆的离心率即可. 【详解】由可得， 所以，两边除以可得，即， 解得或（舍）， 故该椭圆的离心率. 故答案为：. 8. 已知实数，满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：表示圆上的点与原点所在直线的斜率，求出过原点与圆相切的切线的斜率，即可得解． 法二：设，利用直线与圆的位置关系得解. 【详解】法一：方程表示圆心为，半径为的圆， 表示圆上的点与原点所在直线的斜率， 设其为，故此圆的切线方程为， 再根据圆心到切线的距离等于半径， 可得，解得， 所以的取值范围为． 法二：设，即，所以点既在直线上，又在圆上， 所以直线与圆有交点，故，解得， 故答案为：． 9. 已知双曲线，，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若为锐角三角形，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将锐角转化数量积大于零，解出的范围即可 . 详解】由双曲线，得，， 位于第一象限，恒为锐角， 又为锐角三角形，均为锐角． 由∠为锐角，得，． ，， 由∠为锐角，得， ， 即， 又，． 即，又，． 综上所述，． 故答案为：. 10. 已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程分析可知，，代入结合二次函数求最值即可. 【详解】由椭圆：可知，，， 即，为椭圆的左，右焦点， 则，即， 且，即， 则， 可知当时，取到最大值4； 当或时，取到最小值3； 所以的取值范围是. 故答案为：. 11. 已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，数形结合分析得，即可得. 【详解】设，则，则或为锐角，如下图， 设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点， 设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点， 由题意知，，则，解得. 故答案为： 12. 在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出光线与、、相切时的斜率，数形结合即可得解. 【详解】将半圆依次沿着，，作对称，如图所示： 光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间， 因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示. 当光线与相切时，光线所在直线斜率为， 由对称性可知当光线遇射线时反射光线若与相切，则入射光线所在直线为与圆相切， 当光线与圆相切但遇射线时反射光线不与相切时， 此时，所以光线斜率为 ， 当光线与相切时，光线斜率为， 所以由图可知k的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合简化问题的难度. 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 若直线与直线的夹角为，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线的夹角问题转化为向量的夹角问题，然后利用夹角的坐标运算列式即可求解. 【详解】直线的一个方向向量为， 直线的一个方向向量为， 因为直线与直线的夹角为， 所以，则，化简得， 两边平方化简，所以或， 所以实数的取值集合为. 故选：A 14. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定焦点在轴上，，从而得到答案. 【详解】椭圆的焦点在轴上，， 故焦点坐标. 故选：B 15. 已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出双曲线的半焦距，再求出渐近线，即可推导出是等腰直角三角形，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】因为等轴双曲线的实轴长为， 则双曲线的半焦距， 所以双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以， 由，即为的中点，又为的中点， 所以，则，， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 16. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到及点坐标，即可求出，从而求出离心率. 【详解】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、， 因为，所以，即为等边三角形， 又为的中点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴， 以直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设双曲线方程为， 所以，又，所以， 则点， 所以，解得（负值舍去）， 所以双曲线的离心率. 故选：C 三、解答题（共78分） 17. 已知直线的方程为： （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （2）若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）讨论直线经过坐标原点和不过坐标原点的情况，根据截距相等可构造方程求得结果； （2）讨论直线斜率为和斜率不为的情况，根据直线不过第二象限可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. 【小问2详解】 当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 18. 已知点，，： （1）求的外接圆的方程； （2）设直线：与圆相交于，两点，若，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过设圆的一般方程，代入三点坐标求解系数得到外接圆方程； （2）利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式，建立方程求解实数的值. 【小问1详解】 设外接圆的方程为， 将、、分别代入得： ， 解得，，， 因此圆的方程为，即. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径. 直线的一般式为，圆心到直线的距离. 由弦长公式，且，可得，即. 于是，解得. 19. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． （1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） （2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【答案】（1） （2）拱高、拱宽 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，将点代入椭圆方程，即可求解； （2）由点在椭圆上或在椭圆内得，利用基本不等式即可求出半椭圆的面积的最小值，从而得解. 【小问1详解】 如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； 【小问2详解】 设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 20. 已知双曲线的离心率为，点在上，直线交双曲线右支于不同的两点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线过，求取值范围； （3）若线段的垂直平分线过点，求的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率、点在双曲线上和双曲线之间关系可构造方程组求得结果； （2）将直线与双曲线方程联立，利用判别式、韦达定理来确定直线与双曲线右支交于不同两点，由此构造不等式组求得结果； （3）利用韦达定理可表示出线段垂直平分线所在直线方程，代入点可得之间关系，利用，，可求得结果. 【小问1详解】 点在上，，又，， 解得：，，， 双曲线的方程为：. 小问2详解】 过点，，设，， 由得：， 与双曲线右支交于不同的两点， ，解得：，即的取值范围为. 【小问3详解】 设，，线段中点， 由得：， ，，，， ，， 与双曲线右支交于两点，， 线段垂直平分线所在直线斜率为，方程为， 又该直线过点，，整理可得：， 由得：，解得：或； 又，； ，，； 综上所述：，即的取值范围为. 21. 已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，C是线段的中点，其中. （1）求椭圆方程； （2）记椭圆的左右焦点分别为、，M为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围； （3）过点的动直线与椭圆有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，T点纵坐标的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设，由，得到，再利用即可得到结果. （3）设该直线方程为：，设，，，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用k,t表示，再根据可求的t范围. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以，即，其中c为半焦距，，则， 所以，，， ，解得， 故，，故椭圆方程为. 【小问2详解】 设，由，有， 故而，所以， 所以. 又，所以的取值范围是. 【小问3详解】 ①若过点的动直线的斜率不存在， 则，或，，此时 ②若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设，，，， 化简整理可得， 故， ，. ，， 故 . 恒成立，故，解得， 若恒成立.结合①②可知，. 故T点纵坐标的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年晋元中学高二期中试卷 2025.11 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 已知点，，则线段的垂直平分线的点法式方程是________． 2. 已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是______． 3. 若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 4. 双曲线的两条渐近线的方程为_____. 5. 已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________． 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为________． 7. 已知，，椭圆的焦距为，若，则该椭圆的离心率________． 8. 已知实数，满足，则取值范围是________． 9. 已知双曲线，，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若为锐角三角形，则的取值范围为______． 10. 已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是________． 11. 已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________. 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 若直线与直线夹角为，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 14. 椭圆焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 15. 已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（ ） A B. C. D. 16. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共78分） 17. 已知直线的方程为： （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （2）若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 18. 已知点，，： （1）求的外接圆的方程； （2）设直线：与圆相交于，两点，若，求实数的值； 19. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． （1）若最大拱高为6米，则隧道设计拱宽是多少?（结果精确到0.1米） （2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 20. 已知双曲线的离心率为，点在上，直线交双曲线右支于不同的两点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线过，求的取值范围； （3）若线段的垂直平分线过点，求的取值范围； 21. 已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，C是线段的中点，其中. （1）求椭圆方程； （2）记椭圆的左右焦点分别为、，M为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围； （3）过点的动直线与椭圆有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $