精品解析：上海市风华中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

上海市风华中学高一数学期中试卷 （2025.11） （满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（共10题，每题4分，共40分） 1 已知集合，，用列举法表示_________ 2. 设，，则___________ 3. 函数的定义域为__________ 4. 已知指数函数的图像经过，则________ 5. 化简：___________ 6. 的解集为___________ 7. 设都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_________ 8. 满足的集合有______个 9. 定义满足“如果，那么，，且时，”的集合为闭集，说明“是闭集”是假命题的一个反例可以是___________ 10. 已知方程的三根可作为一个三角形的三边长，那么m的取值范围是______； 二、选择题（共3题，每题4分，共12分） 11. 已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号是（ ） A. B. C D. 12. “”是“不等式对一切实数恒成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 13. 关于函数（且），有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数； ④当时，函数的最小值为.其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（共5题，共48分） 14. 设全集，已知集合，. （1）用区间写出这两个集合； （2）求和. 15. 用三角不等式求解下列问题： （1）求函数的最小值，并写出等号成立的条件； （2）已知函数，证明：，并写出等号成立的条件. 16. 已知集合，若，求实数的取值范围. 17. 已知幂函数． （1）求的解析式； （2）①若图像不经过坐标原点，写出函数在哪个区间上严格增函数，哪个区间上是严格减函数； ②若图像经过坐标原点，解不等式． 18. 对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，. （1）根据定义作出函数和在的大致图象； （2）当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围； （3）求下列方程的解集：①；②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市风华中学高一数学期中试卷 （2025.11） （满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（共10题，每题4分，共40分） 1. 已知集合，，用列举法表示_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合集合的交集运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故答案为：. 2. 设，，则___________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意结合指数幂运算可得，即可得结果. 【详解】因为，， 则，可得， 所以. 故答案为：3. 3. 函数的定义域为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合根式以及零次方的意义列式求解即可. 【详解】由题意得函数， 令，解得且， 则函数的定义域为. 故答案为：. 4. 已知指数函数的图像经过，则________ 【答案】 【解析】 【分析】设指数函数（且），代入点运算求解即可. 【详解】设指数函数（且）， 因为指数函数的图像经过， 则，解得， 所以. 故答案为：. 5. 化简：___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合指数幂运算求解即可. 【详解】由题意可得，原式 . 故答案为：. 6. 的解集为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得和，解不等式取交集即可得结果. 【详解】因为， 对于，即，解得； 对于，即，解得或； 可得或，所以不等式的解集为. 故答案为：. 7. 设都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法，结合充分、必要条件分析说明即可. 【详解】因为， 若和，则，， 可得，即； 若，则且； 所以不等式和同时成立充要条件是. 故答案为：. 8. 满足的集合有______个 【答案】15 【解析】 【分析】分析可知集合的个数即为集合的非空子集的个数，进而可得结果. 【详解】因为， 可知集合必包含元素a，可能包含元素，且， 则集合的个数即为集合的非空子集的个数，即为个. 故答案为：15. 9. 定义满足“如果，那么，，且时，”的集合为闭集，说明“是闭集”是假命题的一个反例可以是___________ 【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】 【分析】根据闭集的定义举出反例，例如代入运算分析即可. 【详解】满足“如果，那么，，且时，”的集合为闭集， 为整数集，例如，则， 但，可知“是闭集”是假命题. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）. 10. 已知方程的三根可作为一个三角形的三边长，那么m的取值范围是______； 【答案】； 【解析】 【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定的范围． 【详解】解：方程有三根， ，有根，方程的△，得． 又原方程有三根，且为三角形的三边和长． 有，，而已成立； 当时，两边平方得：． 即：．解得． ． 故答案为： 【点睛】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于中档题． 二、选择题（共3题，每题4分，共12分） 11. 已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 12. “”是“不等式对一切实数恒成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的恒成立问题求实数的取值范围，结合集合的包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若不等式对一切实数恒成立， 当时，可得，符合题意； 当时，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“不等式对一切实数恒成立”的充分非必要条件，故A正确. 故选：A. 13. 关于函数（且），有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数； ④当时，函数的最小值为.其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对于①：根据分式的意义求定义域即可；对于②：根据基本不等式可得，进而分析定点；对于③：根据对勾函数单调性以及复合函数单调性分析判断；对于④：根据题意结合对数函数单调性求最值即可. 【详解】因为， 对于①：显然，所以函数的定义域为，故①错误； 对于②：因为，则，当且仅当，即时，等号成立. 由于只有时，的值才能与参数无关，但，所以是不可能的，所以函数的图象上不存在与参数无关的定点，故②错误； 对于③：当，，则， 因为在内单调递减，且在定义域内单调递减， 所以函数在区间上是严格增函数，故③正确； 对于④：因为，当且仅当时，等号成立， 若，则在定义域内单调递增， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的个数为2. 故选：B 三、解答题（共5题，共48分） 14. 设全集，已知集合，. （1）用区间写出这两个集合； （2）求和. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意解绝对值不等式和分式不等式，进而可得集合； （2）先根据补集运算求，再结合交集和并集运算求解即可. 【小问1详解】 对于不等式，可得或， 所以集合； 对于不等式，即， 等价于，解得或， 所以集合. 【小问2详解】 由（1）可知：，，则， 所以，. 15. 用三角不等式求解下列问题： （1）求函数的最小值，并写出等号成立的条件； （2）已知函数，证明：，并写出等号成立的条件. 【答案】（1）最小值为，； （2）证明见解析，当且时取等号. 【解析】 【分析】（1）利用三角不等式求出最小值，并求出等号成立的条件. （2）利用三角不等式求出最小值，再利用基本不等式计算得证，进而求出等号成立条件. 【小问1详解】 函数的定义域为R，， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为，此时. 小问2详解】 函数的定义域为R，， 当且仅当，即时取等号， 而当时，，当且仅当时取等号， 所以，当且时取等号. 16. 已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集的结果，结合一元二次方程根的分布列式求解. 【详解】由，得，而， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知幂函数． （1）求的解析式； （2）①若图像不经过坐标原点，写出函数在哪个区间上是严格增函数，哪个区间上是严格减函数； ②若图像经过坐标原点，解不等式． 【答案】（1）或 （2）①的单调递减区间为，无递增区间；② 【解析】 【分析】（1）根据函数为幂函数得到，求出答案； （2）①根据题意可得，得到函数单调区间；②根据题意可得，代入解不等式求出解集. 【小问1详解】 因为为幂函数，所以，解得或2， 故或 【小问2详解】 由题意得或， ①若图像不经过坐标原点，则， 所以的严格单调递减区间为，无严格递增区间； ②若图像经过坐标原点，则， 由可得，解得， 所以原不等式的解集为. 18. 对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，. （1）根据定义作出函数和在的大致图象； （2）当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围； （3）求下列方程的解集：①；②. 【答案】（1）图象见详解 （2）的最小值为8，此时的取值范围为 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意化简函数解析式，进而作出函数图象； （2）根据题意结合基本不等式求最小值，并结合成立的条件求的取值范围； （3）分类讨论，结合的定义以及指数函数的性质化简方程，进而分析求解. 【小问1详解】 因为，则， 所以函数在大致图象如图所示： 且， 所以函数在的大致图象如图所示： 【小问2详解】 因为，且，可得， 又因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为8，此时的取值范围为. 【小问3详解】 对于①：，可得， 若，则， 可得，解得； 若，则，不合题意； 若，则， 可得，解得； 综上所述：的解集为； 对于②：， 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 即，解得； 若，则，，即成立，符合题意； 若，由图象可知， 可得，即不成立，不合题意； 综上所述：的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $