第十六章整式的乘法 专题六 面积的计算化简专项练习2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题六 面积的计算化简专项练习 1．在长为3a+2，宽为3a﹣2的长方形木板上，挖去边长为2a+1的小正方形，求剩余部分的面积． 2．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　 　 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　 　 个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 3．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　 　 S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空） （2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2024的整数n有且只有5个，则m的值为 　 　 ． 4．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　 　 S2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）若满足|S2﹣S1|＜n≤2023的整数n有且只有2个，则m的值是 　 　 ． 5．如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道，则草坪的面积是　 　 ． 6．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S1、S2． （1）请比较S1与S2的大小：S1　 　 S2． （2）满足条件4＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有4个，则m＝　 　 ． 7．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　 　 S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空） （2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2023的整数n有且只有4个，则m的值为 　 　 ． 8．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是（6﹣x）． ①当0＜x＜3时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是 　 　 .如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为 　 　 的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x（6﹣x）、9、（3﹣x）2满足的等量关系是 　 　 ； ②当3＜x＜6时，类似上述过程进行割补； ③当x＝3时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 　 　 ； （2）【方法迁移】 当﹣2＜x＜6时，仿照上述割补过程，求代数式（6﹣x）（4+2x）的最大值． 9．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道． （1）通道的面积是多少平方米？ （2）剩余草坪的面积是多少平方米？ 10．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　 　 ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 11．求值：某小区有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块（如图所示），物业公司计划将中间修建一小型喷泉，然后将周围（阴影部分）进行绿化； （1）应绿化的面积是多少平方米？ （2）当a＝3，b＝2时求出应绿化的面积． 12．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　 　 S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空） （2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2021的整数n有且只有4个，则m的值为 　 　 ． 13．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2025的整数n有且只有4个，则m的值为　 　 ． 14．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝6，b＝4时的绿化面积． 15．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　 　 ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值； （3）小明同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？ （4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，那么9（x+y+z）＝　 　 ． 参考答案 1．在长为3a+2，宽为3a﹣2的长方形木板上，挖去边长为2a+1的小正方形，求剩余部分的面积． 【分析】利用长方形的面积减去挖去边长为2a+1的小正方形面积，然后再计算即可． 【解答】解：由题意得： （3a+2）（3a﹣2）﹣（2a+1）2， ＝9a2﹣4﹣（4a2+4a+1）， ＝9a2﹣4﹣4a2﹣4a﹣1， ＝5a2﹣4a﹣5． 答：剩余部分的面积为5a2﹣4a﹣5． 【点评】此题主要考查了多项式乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　13　 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　7　 个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 【分析】（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b），根据图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，列出方程求出a2+b2即可； （2）以a，b为边的长方形的面积为ab，求出大长方形的面积，看里面有几个ab即可； （3）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去5个小正方形的面积，根据题中条件求出a+b，a﹣b整体代入求解即可． 【解答】解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b）， 由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12， 得ab＝6，a2+b2＝13， 故答案为：13； （2）（2a+b）（a+3b） ＝2a2+6ab+ab+3b2 ＝2a2+7ab+3b2， ∴需要以a，b为边的长方形7个， 故答案为：7； （3）∵ab＝6，a2+b2＝13， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25， ∵a+b＞0， ∴a+b＝5， ∵（a﹣b）2＝1， ∴a﹣b＝1， ∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2 ＝a2﹣b2+4ab ＝（a+b）（a﹣b）+4ab ＝5+24 ＝29． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查代数式的几何意义，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 3．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　＞　 S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空） （2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2024的整数n有且只有5个，则m的值为 　1010　 ． 【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【解答】解：（1）∵S1＝（m+7）（m+1） ＝m2+8m+7， S2＝（m+4）（m+2） ＝m2+6m+8， ∴S1﹣S2 ＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8） ＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8 ＝2m﹣1， ∵m为正整数， ∴2m﹣1＞0， ∴S1﹣S2＞0， ∴S1＞S2， 故答案为：＞； （2）|S1﹣S2| ＝|2m﹣1| ＝2m﹣1， ∵2m﹣1＜n≤2024的整数n有且只有5个， ∴这四个整数解为2024，2023，2022，2021，2020， ∴2019≤2m﹣1＜2020， 解得：1010≤m＜1010.5， ∵m为正整数， ∴m＝1010． 故答案为：1010． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键． 4．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　＜　 S2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）若满足|S2﹣S1|＜n≤2023的整数n有且只有2个，则m的值是 　1011　 ． 【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有2个，列出关于m的不等式组，解不等式组得出m的取值范围，再根据m为正整数求得m的值． 【解答】解：（1）∵S1＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8， S2＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7， ∴S1﹣S2＝（m2+6m+8）﹣（m2+8m+7）＝﹣2m+1， ∵m为正整数， ∴2m﹣1＜0， ∴S1﹣S2＜0， ∴S1＜S2， 故答案为：＜． （2）|S2﹣S1|＝|﹣2m+1|＝2m﹣1， ∵2m﹣1＜n≤2023的整数n有且只有2个， ∴这2个整数解为2022，2023， ∴2021≤2m﹣1＜2022， 解得：1011≤m＜1011.5， ∴m＝1011． 故答案为：1011． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键． 5．如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道，则草坪的面积是　（3a2+ab﹣2b2）平方米　 ． 【分析】将两条路平移后，可以用代数式表示出剩余草坪的面积． 【解答】解：（3a﹣b﹣b）（a+2b﹣b）＝3a2+ab﹣2b2（平方米）； 故答案为：（3a2+ab﹣2b2）平方米． 【点评】本题考查多项式的乘法运算，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 6．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S1、S2． （1）请比较S1与S2的大小：S1　＞　 S2． （2）满足条件4＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有4个，则m＝　2　 ． 【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【解答】解：（1）∵S1＝（m+7）（2m+2）＝2m2+16m+14， S2＝（2m+5）（m+3）＝2m2+11m+15， ∴S1﹣S2＝（2m2+16m+14）﹣（2m2+11m+15）＝5m﹣1， ∵m为正整数， ∴5m﹣1＞0， ∴S1﹣S2＞0， ∴S1＞S2， 故答案为：＞． （2）|S1﹣S2|＝|5m﹣1|＝5m﹣1， ∵4＜n＜5m﹣1的整数n有且只有4个， ∴这四个整数解为5，6，7，8， ∴8＜5m﹣1≤9， 解得：m≤2， ∴m＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键． 7．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　＞　 S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空） （2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2023的整数n有且只有4个，则m的值为 　1010　 ． 【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【解答】解：（1）∵S1＝（m+7）（m+1） ＝m2+8m+7， S2＝（m+4）（m+2） ＝m2+6m+8， ∴S1﹣S2 ＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8） ＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8 ＝2m﹣1， ∵m为正整数， ∴2m﹣1＞0， ∴S1﹣S2＞0， ∴S1＞S2， 故答案为：＞； （2）|S1﹣S2| ＝|2m﹣1| ＝2m﹣1， ∵2m﹣1＜n≤2023的整数n有且只有4个， ∴这四个整数解为2023，2022，2021，2020， ∴2019≤2m﹣1＜2020， 解得：1010≤m＜1010.5， ∵m为正整数， ∴m＝1010． 故答案为：1010． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键． 8．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是（6﹣x）． ①当0＜x＜3时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是 　3﹣x .如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为 　3﹣x 的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x（6﹣x）、9、（3﹣x）2满足的等量关系是 x（6﹣x）＝9﹣（3﹣x）2 ； ②当3＜x＜6时，类似上述过程进行割补； ③当x＝3时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 　9　 ； （2）【方法迁移】 当﹣2＜x＜6时，仿照上述割补过程，求代数式（6﹣x）（4+2x）的最大值． 【分析】（1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案；理解材料的用意，可画出3＜x＜6时的图形． （2）先将代数式（6﹣x）（4+2x）化为2（6﹣x）（2+x），根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出（6﹣x）（2+x）的最大值，进而求出（6﹣x）（4+2x）的最大值． 【解答】解：（1）①∵原来长方形的边长分别为x，6﹣x，长方形B的一边长是x， ∴长方形B相邻一边长＝6﹣x﹣3＝3﹣x． ∴阴影部分是一个边长为3﹣x的正方形． ∵图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差， ∴x（6﹣x）＝9﹣（x﹣3）2． 故答案为：3﹣x，3﹣x，x（6﹣x）＝9﹣（3﹣x）2． ②当3＜x＜6时，用类似①的方法进行割补， 可以得到x（6﹣x）＝9﹣（x﹣3）2， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 9． （2）解：依题意有（6﹣x）（4+2x）＝2（6﹣x）（2+x），当﹣2＜x＜2时，如图，阴影部分是边长为（2﹣x）的正方形， ∴（6﹣x）（2+x）＝42﹣（2﹣x）2＝16﹣（2﹣x）2， 当2＜x＜6时，如图，阴影部分是边长为（x﹣2）的正方形， ∴（6﹣x）（2+x）＝42﹣（x﹣2）2＝16﹣（x﹣2）2， 当x＝2时，该长方形为边长是4的正方形， ∴边长是（6﹣x）和（2+x）的长方形的最大面积是16， ∴（6﹣x）（4+2x）的最大值为2×16＝32． 【点评】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合将代数式（6﹣x）（4+2x）化为2（6﹣x）（2+x）是解题的关键． 9．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道． （1）通道的面积是多少平方米？ （2）剩余草坪的面积是多少平方米？ 【分析】（1）根据通道的面积＝两个长方形面积﹣中间重叠部分的正方形的面积计算即可． （2）根据剩余草坪的面积＝大长方形面积﹣通道的面积计算即可． 【解答】解：（1）b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2 ＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2 ＝6ab+5b2（平方米）． 答：通道的面积是（6ab+5b2）平方米． （2）（4a+3b）（2a+3b）﹣（6ab+5b2） ＝8a2+6ab+12ab+9b2﹣6ab﹣5b2 ＝8a2+12ab+4b2（平方米）， 答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米． 【点评】本题考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型． 10．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可； （3）根据已知等式，做出相应图形，如图所示． 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45； （3）如图所示： 故答案为2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．求值：某小区有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块（如图所示），物业公司计划将中间修建一小型喷泉，然后将周围（阴影部分）进行绿化； （1）应绿化的面积是多少平方米？ （2）当a＝3，b＝2时求出应绿化的面积． 【分析】（1）依据应绿化的面积＝矩形的面积﹣正方形的面积列式计算即可； （2）将a＝3，b＝2代入化简后的结果，最后，依据有理数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝5a2+3ab． （2）当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝45+18＝63． 【点评】本题主要考查的是多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 12．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　＞　 S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空） （2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2021的整数n有且只有4个，则m的值为 　1009　 ． 【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【解答】解：（1）∵S1＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7， S2＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8， ∴S1﹣S2＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1， ∵m为正整数， ∴2m﹣1＞0， ∴S1﹣S2＞0， ∴S1＞S2， 故答案为：＞． （2）|S1﹣S2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1， ∵2m﹣1＜n≤2021的整数n有且只有4个， ∴这四个整数解为2021，2020，2019，2018， ∴2017≤2m﹣1＜2018， 解得：1009≤m＜1009.5， ∴m＝1009． 故答案为：1009． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键． 13．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2025的整数n有且只有4个，则m的值为　1011　 ． 【分析】先表示出S1，S2，从而得出|S1﹣S2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1，结合满足|S1﹣S2|＜n≤2025的整数n有且只有4个得出2021≤2m﹣1＜2022，解不等式组即可得出答案． 【解答】解：∵甲、乙的面积分别为S1，S2， ∴，， ∴|S1﹣S2|＝|m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8|＝|2m﹣1|， ∵m为正整数， ∴|S1﹣S2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1， ∵满足|S1﹣S2|＜n≤2025的整数n有且只有4个， ∴整数n的值为2025，2024，2023，2022， ∴2021≤2m﹣1＜2022， ∴1011≤m＜1011.5， ∴m＝1011． 故答案为：1011． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，解一元一次不等式组，掌握相应的运算法则是关键． 14．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝6，b＝4时的绿化面积． 【分析】长方形的面积等于：（3a+b）•（2a+b），中间部分面积等于：（a+b）•（a+b），阴影部分面积等于长方形面积﹣中间部分面积，化简出结果后，把a、b的值代入计算． 【解答】解：S阴影＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2 ＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝5a2+3ab（平方米）， 当a＝6，b＝4时， 5a2+3ab＝5×36+3×6×4＝180+72＝252（平方米）． 【点评】本题考查了阴影部分面积的表示和多项式的乘法，完全平方公式，准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键． 15．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值； （3）小明同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？ （4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，那么9（x+y+z）＝　2016　 ． 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可； （2）将a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长； （4）长方形的面积xa2+yb2+zab＝（25a+7b）（9a+5b），然后运算多项式乘多项式法则求得（25a+7b）（2a+45b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解． 【解答】解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2； 正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． （2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝92﹣26×2＝81﹣52＝29． （3）长方形的面积＝2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）． 所以长方形的边长为2a+3b和a+b， 所以较长的一边长为2a+3b． （4）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（25a+7b）（2a+5b）＝50a2+14ab+125ab+35b2＝50a2+139ab+35b2， ∴x＝50，y＝35，z＝139． ∴9（x+y+z）＝2016． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；2016． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $