第十六章整式的乘法 专题五 找规律化简专项练习2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题五 找规律化简专项练习 1．观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 … （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ 　 　 ）＝a3+b3； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）． 2．（1）填空： （a﹣b）（a+b）＝　 　 ； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　 ； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　 　 ； … （a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝　 　 ． （2）猜想： （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　 　 （其中n为正整数，且n≥2）． （3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 3．解答题 （1）当a＝2时，求下列各式的值： ①（21a3﹣7a2+7a）÷7a ②21a3÷7a﹣7a2÷7a+7a÷7a （2）通过计算，你发现了什么？你能计算下列各式吗？ ③（24x3+12x2﹣4x）÷6x ④（5m3n﹣4mn+3mn2）÷3mn． 4．（1）已知多项式2x3﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为x，余式为x﹣1，求这个多项式． （2）请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这样的规律？ ①填写表格内的空格： n输入 3 2 1 … 输出答案 … ②你发现的规律是：　 　 ． ③请用符号语言论证你的发现． 5．探究应用： （1）计算（a﹣1）（a2+a+1）＝a3+a2+a﹣a2﹣a﹣1＝a3﹣1； （2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝　 　 ＝　 　 ． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： （a﹣b）（　 　 ）＝（　 　 ）（请用含a、b）的字母表示）． （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是 A．（a﹣3）（a2﹣3a+9）B．（2m﹣n）（2m2+2mn+n2） C．（4﹣x）（16+4x+x2） D．（m﹣n）（m2+2mn+n2） （4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝　 　 ． 6．在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．例：试比较20162017×20162014与20162016×20162015的大小． 解：设a＝20162016，x＝20162017×20162014，y＝20162016×20162015 那么x＝（a+1）（a﹣2），y＝a（a﹣1） ∵x﹣y＝　 　 ∴x　 　 y（填＞、＜）． 填完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行! 问题：计算（m+22.2017）（m+14.2017）﹣（m+18.2017）（m+17.2017）． 7．阅读材料并回答问题： 我们知道，乘法公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图1或图2等图形的面积表示． （1）请写出图3所表示的等式：　 　 ； （2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2． 8．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法： ①∵3﹣2＝1＞0，∴3＞2； ②∵（﹣2）﹣1＝﹣3＜0，∴﹣2＜1； ③∵（﹣2）﹣（﹣2）＝0，∴﹣2＝﹣2． 像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小． （1）请将上述比较大小的方法用字母表示出来： 若a﹣b＞0，则a　 　 b；若a﹣b＝0，则a　 　 b；若a﹣b＜0，则a　 　 b． （2）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）． ①x+1 　 　 x﹣3； ②当a＜0时，2a　 　 3a； ③当x＞y时，3x+5y　 　 2x+6y． （3）代数式A＝（2x+1）（x+5），B＝（x+2）（x﹣2）+5x，试比较代数式A、B的大小，并说明理由． 9．先阅读，再回答问题： 要比较代数式A、B的大小，可以作差A﹣B，比较差的取值，当A﹣B＞0时，有A＞B；当A﹣B＝0时，有A＝B；当A﹣B＜0时，有A＜B．例如，当a＜0时，比较a2和a（a+1）的大小．可以观察a2﹣a（a+1）＝a2﹣a2﹣a＝﹣a．因为当a＜0时，﹣a＞0，所以当a＜0时，a2＞a（a+1）． 已知M＝（x﹣2）（x﹣15），N＝（x﹣4）（x﹣8），比较M、N的大小关系． 10．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图，1号卡片为边长为a的正方形，2号卡片为边长为b的正方形，3号卡片为一边长为a、另一边长为b的长方形． （1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请在虚线框中画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系写出一个等式．这个等式是　 　 ． （2）小明想用类似的方法解释多项式乘法（2a+3b）（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，那么需用2号卡片　 　 张，3号卡片　 　 张． 11．已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105 猜想：106×104＝　 　 ，10m×10n＝　 　 （m、n均为正整数） 运用上述结论计算下式：（﹣6.4×103）×（2×106） 12．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　 　 ． 13．有一系列等式： 1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2 2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2 3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2 4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2 … （1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果 　 　 （2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明． 14．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1：　 　 方法2：　 　 请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． 　 　 ； （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，则（a+b）2＝　 　 （3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示的代数恒等式是　 　 ． （4）已知等式：（a+1）（a+3）＝a2+4a+3，请你在图④中画出一个相应的几何图形． 15．在正整数中， （1）＝（1）（1） （1）＝（1）（1） （1）＝（1）（1） 观察上面的算式，可以归纳得出：　 　 ． 利用上述规律，计算下列各式：（1）×（1）×（1）＝　 　 ． （1）×（1）×（1）×…×（1）＝　 　 （请将解题步骤写在下方空白处） 参考答案 1．观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 … （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ a2﹣ab+b2 ）＝a3+b3； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）． 【分析】（1）根据等式的规律填空即可； （2）利用多项式的乘法法则，进行计算即可得出（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式进行计算、合并即可． 【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3； 故答案为：a2﹣ab+b2； （2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3＝a3+b3； （3）原式＝（x3+y3）﹣（x3+8y3）＝﹣7y3． 【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 2．（1）填空： （a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 ； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3 ； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4 ； … （a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝a2023﹣b2023 ． （2）猜想： （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）． （3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的运算法则计算前面简单的式子，观察规律可得结论； （2）利用（1）中的规律直接得出结论即可； （3）将式子乘以[2﹣（﹣1）]，并将式子适当变形，利用（2）中猜想的结论运算即可． 【解答】解：（1）∵（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2， （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3， （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4， ••• ∴（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝a2023﹣b2023， 故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4，a2023﹣b2023； （2）由（1）的运算结论猜想： （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）． 故答案为：an﹣bn； （3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2 [2﹣（﹣1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2） [2﹣（﹣1）]（29+28×（﹣1）+27×（﹣1）2…+23×（﹣1）6+22×（﹣1）7+2×（﹣1）8+（﹣1）9+1） [2﹣（﹣1）][29+28×（﹣1）+27×（﹣1）2…+23×（﹣1）6+22×（﹣1）7+2×（﹣1）8+（﹣1）9]+1 [210﹣（﹣1）10]+1 （1024﹣1）+1 ＝341+1 ＝342． 【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，利用运算中的规律性解答是解题的关键． 3．解答题 （1）当a＝2时，求下列各式的值： ①（21a3﹣7a2+7a）÷7a ②21a3÷7a﹣7a2÷7a+7a÷7a （2）通过计算，你发现了什么？你能计算下列各式吗？ ③（24x3+12x2﹣4x）÷6x ④（5m3n﹣4mn+3mn2）÷3mn． 【分析】（1）①直接利用多项式除以单项式运算法则求出答案； ②直接利用单项式除以单项式运算法则求出答案； （2）③直接利用多项式除以单项式运算法则求出答案 ④直接利用多项式除以单项式运算法则求出答案． 【解答】解：（1）①（21a3﹣7a2+7a）÷7a ＝3a2﹣a+1， 把a＝2代入上式可得： 原式＝3×22﹣2+1＝11； ②21a3÷7a﹣7a2÷7a+7a÷7a ＝3a2﹣a+1， 把a＝2代入上式可得： 原式＝3×22﹣2+1＝11； （2）通过计算，发现了多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． ③（24x3+12x2﹣4x）÷6x ＝4x2+2x； ④（5m3n﹣4mn+3mn2）÷3mn m2n． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 4．（1）已知多项式2x3﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为x，余式为x﹣1，求这个多项式． （2）请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这样的规律？ ①填写表格内的空格： n输入 3 2 1 … 输出答案 … ②你发现的规律是：　输入什么数，输出时仍为原来的数　 ． ③请用符号语言论证你的发现． 【分析】（1）本题需先根据已知条件，列出式子，再根据整式的除法法则及运算顺序即可求出结果； （2）①将3、2、1按照程序依次计算可得结果； ②由表格即可得； ③由程序计算的顺序列出算式，再根据整式的除法法则及运算顺序即可求出结果． 【解答】解：据题意得：A＝[2x3﹣4x﹣1﹣（x﹣1）]÷x ＝（2x3﹣4x﹣1﹣x+1）÷x ＝2x2﹣5； （2）①表格如下： n输入 3 2 1 … 输出答案 3 2 1 … ②答案为：输入什么数，输出时仍为原来的数； ③验证：（n2+n）÷n﹣1 ＝n+1﹣1 ＝n． 【点评】本题主要考查了整式的除法，在解题时要根据整式的除法法则即运算顺序是本题的关键． 5．探究应用： （1）计算（a﹣1）（a2+a+1）＝a3+a2+a﹣a2﹣a﹣1＝a3﹣1； （2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝　8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3 ＝　8x3﹣y3 ． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： （a﹣b）（a2+ab+b2 ）＝（a3﹣b3 ）（请用含a、b）的字母表示）． （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是 A．（a﹣3）（a2﹣3a+9）B．（2m﹣n）（2m2+2mn+n2） C．（4﹣x）（16+4x+x2） D．（m﹣n）（m2+2mn+n2） （4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝　27x3﹣8y3 ． 【分析】根据乘法公式计算即可． 【解答】解：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3， 故答案为：8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3，8x3﹣y3； （2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3， 故答案为：a2+ab+b2，a3﹣b3； （3）C， （4）（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝27x3﹣8y3； 故答案为：27x3﹣8y3． 【点评】本题考查了多项式的乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 6．在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．例：试比较20162017×20162014与20162016×20162015的大小． 解：设a＝20162016，x＝20162017×20162014，y＝20162016×20162015 那么x＝（a+1）（a﹣2），y＝a（a﹣1） ∵x﹣y＝　﹣2　 ∴x　＜　 y（填＞、＜）． 填完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行! 问题：计算（m+22.2017）（m+14.2017）﹣（m+18.2017）（m+17.2017）． 【分析】求出x﹣y的值，判断差的正负，得到x与y的大小即可；设a＝m+17.2017，原式变形后，计算即可得到结果． 【解答】解：设a＝20162016，x＝20162017×20162014，y＝20162016×20162015 那么x＝（a+1）（a﹣2），y＝a（a﹣1） ∵x﹣y＝（a+1）（a﹣2）﹣a（a﹣1）＝a2﹣a﹣2﹣a2+a＝﹣2， ∴x＜y； 故答案为：﹣2；＜； 设a＝m+17.2017， 那么原式＝（a+5）（a﹣3）﹣a（a+1）＝a2+2a﹣15﹣a2﹣a＝a﹣15＝m+2.2017． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式，以及有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．阅读材料并回答问题： 我们知道，乘法公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图1或图2等图形的面积表示． （1）请写出图3所表示的等式：　（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2 ； （2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2． 【分析】（1）如图（3）中长方形的面积＝长×宽＝（2a+b）（a+2b），长方形的面积还可以把几个小图形的面积相加，即a2+a2+ab+ab+ab+ab+ab+b2+b2＝2a2+5ab+2b2． （2）根据分解结果画出图形即可． 【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2； 故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2． （2）如图所示： （a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2． 【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 8．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法： ①∵3﹣2＝1＞0，∴3＞2； ②∵（﹣2）﹣1＝﹣3＜0，∴﹣2＜1； ③∵（﹣2）﹣（﹣2）＝0，∴﹣2＝﹣2． 像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小． （1）请将上述比较大小的方法用字母表示出来： 若a﹣b＞0，则a　＞　 b；若a﹣b＝0，则a　＝　 b；若a﹣b＜0，则a　＜　 b． （2）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）． ①x+1 　＞　 x﹣3； ②当a＜0时，2a　＞　 3a； ③当x＞y时，3x+5y　＞　 2x+6y． （3）代数式A＝（2x+1）（x+5），B＝（x+2）（x﹣2）+5x，试比较代数式A、B的大小，并说明理由． 【分析】（1）直接依据题意利用作差的结果的正，负或0，直接可以进行比大小． （2）利用第1小问的提示，进行知识迁移即可比较两个多项式的大小． （3）直接根据题目中第2小问的提示，先作差，再判定符号，最后判定大小，即可得出代数式A与B的大小关系． 【解答】解：（1）∵a﹣b＞0， ∴a＞b； ∵a﹣b＝0， ∴a＝b； ∵a﹣b＜0， ∴a＜b； 故答案为：＞；＝；＜； （2）①∵x+1﹣（x﹣3）＝4＞0， ∴x+1＞x﹣3， 故答案为：＞； ②2a﹣3a＝﹣a， ∵a＜0， ∴﹣a＞0， ∴2a＞3a， 故答案为：＞； ③3x+5y﹣（2x+6y）＝x﹣y， ∵x＞y， ∴x﹣y＞0， ∴3x+5y＞2x+6y， 故答案为：＞； （3）A≥B，理由如下： 由题可知A＝（2x+1）（x+5）＝2x2+11x+5； B＝（x+2）（x﹣2）+5x＝x2+5x﹣4； 则A﹣B＝2x2+11x+5﹣（x2+5x﹣4） ＝2x2+11x+5﹣x2﹣5x+4 ＝x2+6x+9 ＝（x+3）2≥0， ∴A≥B（当x＝﹣3时取等号）． 【点评】本题考查多项式乘多项式，正数和负数，有理数的大小比较，等式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 9．先阅读，再回答问题： 要比较代数式A、B的大小，可以作差A﹣B，比较差的取值，当A﹣B＞0时，有A＞B；当A﹣B＝0时，有A＝B；当A﹣B＜0时，有A＜B．例如，当a＜0时，比较a2和a（a+1）的大小．可以观察a2﹣a（a+1）＝a2﹣a2﹣a＝﹣a．因为当a＜0时，﹣a＞0，所以当a＜0时，a2＞a（a+1）． 已知M＝（x﹣2）（x﹣15），N＝（x﹣4）（x﹣8），比较M、N的大小关系． 【分析】将M、N展开并做差，即可得出M﹣N＝﹣5x﹣2，根据x的取值范围即可得出M、N之间的大小关系； 【解答】解：∵M＝（x﹣2）（x﹣15）＝x2﹣17x+30，N＝（x﹣4）（x﹣8）＝x2﹣12x+32， ∴M﹣N＝（x2﹣17x+30）﹣（x2﹣12x+32）＝﹣5x﹣2， ∴当x时，﹣5x﹣2＜0，M＜N； 当x时，﹣5x﹣2＝0，M＝N； 当x时，﹣5x﹣2＞0，M＞N． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，利用作差法比较数的大小，利用分类思想解决问题是本题的关键． 10．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图，1号卡片为边长为a的正方形，2号卡片为边长为b的正方形，3号卡片为一边长为a、另一边长为b的长方形． （1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请在虚线框中画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系写出一个等式．这个等式是　（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2 ． （2）小明想用类似的方法解释多项式乘法（2a+3b）（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，那么需用2号卡片　6　 张，3号卡片　7　 张． 【分析】（1）先根据题意画出图形，然后求出长方形的长和宽，长为a+2b，宽为a+b，从而求出长方形的面积； （2）先求出1号、2号、3号图形的面积，然后由（2a+3b）（a+2b）＝2a2+7ab+6b2即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意画图如下： 这个等式是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2； （2）∵（2a+3b）（a+2b）＝2a2+7ab+6b2， 2号正方形的面积为b2，3号长方形的面积为ab， ∴需用2号卡片6张，3号卡片7张， 故答案为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2；6，7． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，用到的知识点是长方形的面积公式和正方形的面积公式以及多项式乘多项式的法则． 11．已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105 猜想：106×104＝　1010 ，10m×10n＝　10m+n （m、n均为正整数） 运用上述结论计算下式：（﹣6.4×103）×（2×106） 【分析】猜想：根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； 根据单项式乘单项式计算即可求解． 【解答】解：猜想：106×104＝1010，10m×10n＝10m+n； （2）（﹣6.4×103）×（2×106） ＝（﹣6.4×2）（103×106） ＝﹣12.8×109 ＝﹣1.28×1010． 故答案为：1010，10m+n． 【点评】此题考查了同底数幂的乘法，单项式乘单项式，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 12．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　﹣220　 ． 【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）11的展开式第三项的系数． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3， （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， …… 依据规律可得到： （a+b）2倒数第三项的系数为1， （a+b）3倒数第三项的系数为3＝1+2， （a+b）4倒数第三项的系数为6＝1+2+3， … ∵（2x﹣1）11展开式有12项，其中含有x2的是第10项为：1+2+3+…+9+10＝55， ∴含有x2项的系数为：22×（﹣1）9×55＝﹣220， 故答案为：﹣220． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，数字的规律变化，多项式．关键要能够写出11次方时候倒数第三项的系数，将a、b分别换成2x、﹣1． 13．有一系列等式： 1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2 2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2 3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2 4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2 … （1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果 　892 （2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明． 【分析】（1）根据规律列式进行计算即可得解； （2）观察规律不难发现，四个连续自然数的乘积与1的和等于第一个数的平方，加上前第一个数的3倍再加上1然后平方． 【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1＝（82+3×8+1）2＝892； 故答案为：892； （2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2， 理由如下：等式左边＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝n4+6n3+9n2+2n2+6n+1＝n4+6n3+11n2+6n+1， 等式右边＝（n2+3n+1）2＝（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2＝n4+2n2+1+6n3+6n+9n2＝n4+6n3+11n2+6n+1， 左边＝右边． 【点评】此题考查了完全平方公式，仔细观察题目信息，得到变化规律是解题的关键，利用多项式的乘法运算法则进行计算时较为复杂，要仔细运算． 14．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1：　（m﹣n）2 方法2：　（m+n）2﹣4mn 请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． 　（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ； （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，则（a+b）2＝　1　 （3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示的代数恒等式是　（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2 ． （4）已知等式：（a+1）（a+3）＝a2+4a+3，请你在图④中画出一个相应的几何图形． 【分析】（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 对a，b数值变换后的几何图解法，充分利用了数形结合的思想方法． （3）图③的面积计算也有两种方法，方法一是大长方形（长为的2m+n，宽为m+n）的面积是（2m+n）（m+n），方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式 （4）代数式（a+1）（a+3）是一个长为（a+3）宽为（a+1）的长方形的面积， 这个长方形是由1个边长为 的正方形面积是，1个长为a 宽为1的长方形面积为a，1个长为a宽为3的长方形面积为3a，1个长为3宽为1的长方形面积为3． 由此而组成了如图所示的图形． 【解答】解：（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为m﹣n 根据阴影部分正方形面积计算公式， 故答案为：（m﹣n）2； 方法2：大正方形边长为m+n 面积是：（m+n）2，四个长为m宽为n的长方形的面积是4mn， 阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积， 故答案为：（m+n）2﹣4mn 方法1与方法2均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn 故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn （2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝52﹣4×6＝25﹣24＝1 故答案为：1 （3）计算图③的面积方法一是看作一个完整的长方形长为（m+n）宽为（2m+n），面积是：（m+n）（2m+n） 方法二是：组成图③的各部分图形：2个边长为m的正方形的面积2m2，3个长为m宽为n的长方形的面积即3mn，1个边长为n的正方形的面积n2， 他们的面积和是：2m2+3mn+n2 方法一和方法二的计算结果相等， 故答案为：（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2 （4）符合等式（a+1）（a+3）＝a2+4a+3的图形如下所画： 【点评】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的几何图解法，体现了数形结合的思想方法． 15．在正整数中， （1）＝（1）（1） （1）＝（1）（1） （1）＝（1）（1） 观察上面的算式，可以归纳得出：　（1）（1）　 ． 利用上述规律，计算下列各式：（1）×（1）×（1）＝　　 ． （1）×（1）×（1）×…×（1）＝　　 （请将解题步骤写在下方空白处） 【分析】观察一系列等式得出一般性规律，写出即可； 利用得出的规律分解因式，然后计算即可得到结果． 【解答】解：归纳得出：（1）（1）； 计算：（1）×（1）×（1） ＝（1）（1）（1）（1）（1）（1） ； （1）×（1）×（1）×…×（1） ＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1） 故答案为（1）（1）；；． 1 学科网（北京）股份有限公司 $