第十六章整式的乘法 专题四 定义新运算专项练习2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题四 定义新运算专项练习 1．规定：a※b＝2a×2b． （1）求2※3的值； （2）若（2※1）※（x+1）＝64，求x的值． 2．规定a*b＝3a×3b，求： （1）求1*2； （2）若2*（x+1）＝81，求x的值． 3．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b． （1）求2*3的值； （2）若2*（x+1）＝16，求x的值． 4．规定a*b＝2a×2b，求： （1）求1*3； （2）若2*（2x+1）＝64，求x的值． 5．规定a*b＝2a×2b． （1）求2*3； （2）若2*（x+1）＝16，求x的值； （3）判断（a+b）*c与a*（b+c）是否相等，并说明理由． 6．定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 　 　 ． 7．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 （1）根据上述规定，填空： （3，27）＝　 　 ，（4，1）＝　 　 （2，0.25）＝　 　 ； （2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c． 8．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　 ，D（16）＝　 　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 9．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算： （1）{4，2}+{4，32}的值为 　 　 ； （2）的值为 　 　 ． 10．若规定a、b两数之间满足一种运算：记作（a，b）．即：若ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）计算（4，2）+（4，3）＝（ 　 　 ）； （2）在正整数指数幂的范围内，若（42x﹣4，54k）≥（4，5）恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 　 　 ． 11．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算：{4，2}+{4，32}的值为 　 　 ． 12．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）＝c，如果ac＝b．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m•3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（5，1）＝　 　 ；（3，27）＝　 　 ． （2）计算（5，2）+（5，7）＝　 　 ，并说明理由． 13．规定两数a，b之间的一种运算．记作（a，b），如果am＝b，则（a，b）＝m．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m•3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　 　 ；（﹣3，1）＝　 　 ． （2）计算（5，8）﹣（5，2）＝　 　 ，并说明理由． 14．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： （5，125）＝　 　 ，（﹣3，1）＝　 　 ，（﹣2，）＝　 　 ． （2）令（4，6）＝a，（4，7）＝b，（4，42）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42） 15．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果am＝b，则（a，b）＝m．我们称（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”的定义来说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m•3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　 　 ； （2）如果（3，5）＝n，（9，m）＝n，那么（3，m+2）＝　 　 ； （3）计算（5，3）+（5，7）＝　 　 ； （4）利用“雅对”定义说明：（3n，2n）＝（3，2）对于任意自然数n都成立． 参考答案 1．规定：a※b＝2a×2b． （1）求2※3的值； （2）若（2※1）※（x+1）＝64，求x的值． 【分析】运用题目中新定义和同底数幂相乘的运算法则进行逐一计算、求解． 【解答】解：（1）由题意得， 2※3＝22×23＝25＝32； （2）解：由题意得， 2※1＝22×21＝23＝8， ∵（2※1）※（x+1）＝26 （8）※（x+1）＝26， ∴28×2（x+1）＝26， ∴28+（x+1）＝26， ∴8+（x+1）＝6， 解得x＝﹣3． 【点评】此题考查了同底数幂相乘的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识和题目中的新定义． 2．规定a*b＝3a×3b，求： （1）求1*2； （2）若2*（x+1）＝81，求x的值． 【分析】（1）根据所规定的运算进行作答即可； （2）根据所规定的运算进行作答即可． 【解答】解：（1）∵a*b＝3a×3b， ∴1*2 ＝31×32 ＝3×9 ＝27； （2）∵2*（x+1）＝81， ∴32×3x+1＝34， 则2+x+1＝4， 解得：x＝1． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，明确所规定的运算法则． 3．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b． （1）求2*3的值； （2）若2*（x+1）＝16，求x的值． 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）把相应的值代入运算即可． 【解答】解：（1）2*3＝22×23＝4×8＝32； （2）∵2*（x+1）＝16， ∴22×2x+1＝16， 22+x+1＝24， ∴2+x+1＝4， 解得：x＝1． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 4．规定a*b＝2a×2b，求： （1）求1*3； （2）若2*（2x+1）＝64，求x的值． 【分析】（1）根据定义以及同底数幂的乘法法则计算即可； （2）把64写成底数是2的幂，再根据定义以及同底数幂的乘法法则可得关于x的一元一次方程，再解方程即可． 【解答】解：（1）由题意得：1*3＝2×23＝16； （2）∵2*（2x+1）＝64， ∴22×22x+1＝26， ∴22+2x+1＝26， ∴2x+3＝6， ∴x． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 5．规定a*b＝2a×2b． （1）求2*3； （2）若2*（x+1）＝16，求x的值； （3）判断（a+b）*c与a*（b+c）是否相等，并说明理由． 【分析】（1）根据a*b＝2a×2b，可以求得所求式子的值； （2）根据a*b＝2a×2b，列出关于x的方程，可以求得所求未知数的值； （3）根据a*b＝2a×2b，可以得到（a+b）*c与a*（b+c）的关系，并用等式把它表达出来． 【解答】解：（1）∵a*b＝2a×2b， ∴2*3＝22×23＝4×8＝32； （2）∵a*b＝2a×2b， ∴22×2x+1＝16， 22+x+1＝24， 2+x+1＝4， x＝1； （3）（a+b）*c＝a*（b+c）， 理由：∵a*b＝2a×2b， ∴（a+b）*c＝2a+b×2c＝2a+b+c， a*（b+c）＝2a×2b+c＝2a+b+c， ∴（a+b）*c＝a*（b+c）． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算，解答本题的关键理解新定义，代入数据，注意由式子转化为具体数据的时候符号及运算循序的变化，求出相应式子的值． 6．定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 　35　 ． 【分析】设3m＝5，3n＝7，根据新运算定义用m、n表示（3，5）+（3，7），得方程，求出x的值． 【解答】解：设3m＝5，3n＝7， 依题意（3，5）＝m，（3，7）＝n， ∴（3，5）+（3，7）＝m+n． ∴（3，x）＝m+n， ∴x＝3m+n ＝3m×3n ＝5×7 ＝35． 故答案为：35． 【点评】本题考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，理解并运用新运算的定义是解决本题的关键． 7．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 （1）根据上述规定，填空： （3，27）＝　3　 ，（4，1）＝　0　 （2，0.25）＝　﹣2　 ； （2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c． 【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可； （2）根据已知得出3a＝5，3b＝6，3c＝30，求出3a×3b＝30，即可得出答案． 【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2， 故答案为：3，0，﹣2； （2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c， ∴3a＝5，3b＝6，3c＝30， ∴3a×3b＝30， ∴3a×3b＝3c， ∴a+b＝c． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算等知识点，能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键． 8．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　 ，D（16）＝　4　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 【分析】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简． 【解答】解：（1）∵21＝2， ∴D（2）＝1， ∵24＝16， ∴D（16）＝4， 故答案为：1；4． （2）①∵21＝a， ∴a＝2． ∴23＝23． ∴D（a3）＝3． ②D（15）＝D（3×5）， ＝D（3）+D（5） ＝（2a﹣b）+（a+c） ＝3a﹣b+c， ＝（a+c）﹣（2a﹣b） ＝﹣a+b+c． D（108）＝D（3×3×3×2×2）， ＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2） ＝3×D（3）+2×D（2） ＝3×（2a﹣b）+2×1 ＝6a﹣3b+2． ， ＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2） ＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）] ＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）] ＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1] ＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2 ＝5a﹣3b﹣c﹣2， 【点评】主要考查阅读题的理解，运用所给公式进行化简，要对公式能够活学活用，考查学生的运用解题能力． 9．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算： （1）{4，2}+{4，32}的值为 　3　 ； （2）的值为 　6　 ． 【分析】（1）仿照示例，得到{4，2}+{4，32}＝{4，64}，即可得到结果为3； （3）根据{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，化简即可得到结果． 【解答】解：（1）设{4，2}＝x，{4，32}＝y， ∵4x＝2，4y＝32， ∴4x×4y＝2×32＝64＝43， ∴4x+y＝43， ∴x+y＝3， ∴{4，2}+{4，32}＝{4，64}＝3， 故答案为：3； （2）{mn，2mn}+{mn，2mn}+{mn，m2n}+{mn，m2n3} ＝{mn，2mn•2mn•m2n•m2n3} ＝{mn，m6n6} ＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了幂的乘方，整式的运算，熟练掌握新定义，并正确的应用是解题的关键． 10．若规定a、b两数之间满足一种运算：记作（a，b）．即：若ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）计算（4，2）+（4，3）＝（ 　4，6　 ）； （2）在正整数指数幂的范围内，若（42x﹣4，54k）≥（4，5）恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 　且4k为正整数　 ． 【分析】（1）设（4，2）＝x，（4，3）＝y，则4x＝2，4y＝3，然后代入计算可得答案； （2）设（2n，4m）＝c，则2cn＝4m，cn＝2m，，可得（42x﹣4，54k）．设4t＝5（t＞1），则，，然后根据题意可得答案． 【解答】解：（1）设（4，3）＝y，（4，2）＝x， 则4y＝3，4x＝2， ∵4x+y＝4x•4y＝2×3＝6， ∴（4，6）＝x+y， ∴（4，2）+（4，3）＝（4，6）； 故答案为：（4，6）； （2）设（2n，4m）＝c，则2cn＝4m，cn＝2m，， ∴（2n，4m）． ∴（42x﹣4，54k）（4，5）， ∵（4，5）≤（42x﹣4，54k）， ∴； 设4t＝5（t＞1），则， ∴， ∴2x﹣4≥4k，x≥2k+2； ∵2x﹣4＞0，4k＞0， ∴x＞2，k＞0，且x、k均为正整数，且x只有两个正整数解， ∴3≤x≤4，3≤2k+2≤4， ∴且4k为正整数． 故答案为：且4k为正整数． 【点评】此题考查的是幂的乘方与积的乘方、有理数的混合运算，掌握其运算法则是解决此题的关键． 11．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算：{4，2}+{4，32}的值为 　3　 ． 【分析】根据新定义得出4x＝2，4y＝32，4z＝64，进而可得出答案． 【解答】解：根据题意，{a，b}+{a，c}＝{a，bc}， 设{4，2}＝x，{4，32}＝y，{4，2×32}＝{4，64}＝z， ∴4x＝2，4y＝32，4z＝64， ∵4x•4y＝4x+y＝64＝4z＝43， ∴x+y＝z＝3， ∴原式＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，有理数的混合运算，同底数幂的除法，掌握相应的运算法则是关键． 12．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）＝c，如果ac＝b．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m•3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（5，1）＝　0　 ；（3，27）＝　3　 ． （2）计算（5，2）+（5，7）＝　（5，14）　 ，并说明理由． 【分析】（1）读懂题意，利用新定义计算； （2）读懂新定义，利用新定义解答． 【解答】解：（1）（5，1）＝0；（3，27）＝3； 故答案为：0；3； （2）设（5，2）＝a，（5，7）＝b， ∴5a＝2，5b＝7， ∴5a5b＝2×7， ∴5a+b＝14， ∴（5，14）＝a+b， ∴（5，14）＝（5，2）+（5，7）， 故答案为：（5，14）． 【点评】本题考查了新定义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的应用． 13．规定两数a，b之间的一种运算．记作（a，b），如果am＝b，则（a，b）＝m．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m•3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　3　 ；（﹣3，1）＝　0　 ． （2）计算（5，8）﹣（5，2）＝　（5，16）　 ，并说明理由． 【分析】（1）利用“雅对”的意义解答即可； （2）利用题干中的方法类比解答即可． 【解答】解：（1）∵53＝125， ∴（5，125）＝3； ∵（﹣3）0＝1， ∴（﹣3，1）＝0． 故答案为：3；0； （2）（5，8）﹣（5，2）＝（5，16），理由： 设（5，8）＝m，（5，2）＝n， 则5m＝8，5n＝2， ∵5m÷5n＝5m﹣n＝8÷2＝4， ∴（5，4）＝m﹣n， ∴（5，8）﹣（5，2）＝（5，4）． 故答案为：（5，4）． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算，本题是新定义型，熟练掌握新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． 14．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： （5，125）＝　3　 ，（﹣3，1）＝　0　 ，（﹣2，）＝　﹣5　 ． （2）令（4，6）＝a，（4，7）＝b，（4，42）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42） 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可． （2）分别表示各式，再判断． 【解答】解：（1）∵如果ac＝b，那么（a，b）＝c，53＝125，（﹣3）0＝1，（﹣2）﹣5， ∴（5，125）＝3，（﹣3，1）＝0，（﹣2，）＝﹣5． 故答案为：3，0，﹣5． （2）由题意得：4a＝6，4b＝7，4c＝42． ∵42＝6×7， ∴4c＝4a×4b＝4a+b， ∴a+b＝c． ∴（4，6）+（4，7）＝（4，42）． 【点评】本题考查用新定义解题，理解新定义内涵是求解本题的关键． 15．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果am＝b，则（a，b）＝m．我们称（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”的定义来说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m•3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　3　 ； （2）如果（3，5）＝n，（9，m）＝n，那么（3，m+2）＝　3　 ； （3）计算（5，3）+（5，7）＝　（5，21）　 ； （4）利用“雅对”定义说明：（3n，2n）＝（3，2）对于任意自然数n都成立． 【分析】（1）利用“雅对”定义解答即可； （2）利用“雅对”定义和已知条件求得m值，再利用“雅对”定义解答即可； （3）利用题干中：利用“雅对”的定义来说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立的方法解答即可； （4）设（3n，2n）＝a，利用幂的乘方和等式的性质得到3a＝2，再利用“雅对”定义得到（3，2）＝a，则结论可得． 【解答】解：（1）∵43＝64， ∴（4，64）＝3． 故答案为：3． （2）∵（3，5）＝n，（9，m）＝n， ∴3n＝5，9n＝m＝32n， ∴32n＝（3n）2＝m， ∴m＝25． ∴m+2＝27． ∴（3，m+2）＝（3，27）， ∵33＝27， ∴（3，m+2）＝3． 故答案为：3； （3）设（5，3）＝m，（5，7）＝n， 则5m＝3，5n＝7， ∵5m•5n＝5m+n＝3×7＝21， ∴（5，21）＝m+n，即（5，3）+（5，7）＝（5，21）． 故答案为：（5，21）； （4）（3n，2n）＝（3，2）对于任意自然数n都成立，理由： 设（3n，2n）＝a， ∴（3n）a＝2n， ∴3an＝2n， ∵n为任意自然数， ∴3a＝2． ∴（3，2）＝a． ∴对于任意自然数n，（3n，2n）＝（3，2）都成立． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，同底数幂的乘法法则，幂的乘方，本题是新定义型，理解并熟练掌握新定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $