第十六章 整式的乘法 专题三 多项式化简求参 专项练习 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题三 多项式化简求参专项练习 1．如果计算（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，求m的值． 2．若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2项和x3项，求m，n的值． 3．已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值 4．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m与n的值． （2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 5．将多项式（x﹣2）（x2+ax﹣b）展开后不含x2项和x项．试求：2a2﹣b的值． 6．数学课堂上，王老师给同学们出了道题：若（x2﹣px+3）（x﹣q）中不含x2项，请同学们探究一下p与q的关系．请你根据所学知识帮助同学们解决一下． 7．当m、n为何值时，x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展开式中，不含有x2和x3的项？ 8．若关于x的多项式2x+a与﹣x2+bx﹣2的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求a，b的值． 9．在（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）的积中，x3项的系数为﹣5，x2项的系数为﹣6，求a，b的值． 10．已知（x2+mx+n）（x+2）的结果中不含x2项和x项，求m、n的值． 11．若（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q）的展开式中不含有x2和x3项，求p、q的值． 12．若（x2﹣3x﹣2）（x2+px+q）展开后不含x3和x2项，求p，q的值． 13．若（x2+2ax﹣b）（3x2﹣2x+4）的积中，x3的系数为4，x2的系数为﹣6，求a，b． 14．已知（x3+mx+n）（x2﹣x+1）展开式中不含x3和x2项． （1）求m、n的值； （2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 15．已知ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积不含x3项，也不含x项，求a与b的值． 参考答案 1．如果计算（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，求m的值． 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，合并同类项，根据已知得出方程2m﹣24＝0，求出即可． 【解答】解：（mx+8）（2﹣3x） ＝2mx﹣3mx2+16﹣24x ＝﹣3mx2+（2m﹣24）x+16， ∵（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项， ∴2m﹣24＝0， ∴m＝12． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键． 2．若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2项和x3项，求m，n的值． 【分析】将已知的式子利用多项式乘以多项式的法则变形，合并后根据乘积中不含x2和x3项，得到这两项系数为0，列出关于m与n的方程，求出方程的解即可得到m与n的值． 【解答】解：（x2+nx+3）（x2﹣3x+m） ＝x4+nx3+3x2﹣3x3﹣3nx2﹣9x+mx2+mnx+3m ＝x4+（n﹣3）x3+（3﹣3n+m）x2+（mn﹣9）x+3m， ∵乘积中不含x2和x3项， ∴n﹣3＝0，3﹣3n+m＝0， 解得：m＝6，n＝3． 【点评】本题主要考查多项式的乘法，运用不含某一项就是该项的系数等于0是解本题的关键，熟练掌握运算法则也很重要． 3．已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值 【分析】先算乘法，合并同类项，即可得出关于a、b的方程，求出即可 【解答】解：原式＝2ax2+4ax﹣6x﹣12﹣x2﹣b ＝（2a﹣1）x2+（4a﹣6）x+（﹣12﹣b）， ∵不含x2项和常数项， ∴2a﹣1＝0，﹣12﹣b＝0， ∴a，b＝﹣12． 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中． 4．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m与n的值． （2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值； （2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可． 【解答】解：（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n， 根据展开式中不含x2和x3项得：， 解得：． 即m＝﹣4，n＝﹣12； （2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2） ＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3 ＝m3+n3， 当m＝﹣4，n＝﹣12时， 原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792． 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．将多项式（x﹣2）（x2+ax﹣b）展开后不含x2项和x项．试求：2a2﹣b的值． 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据展开后不含x2项和x项求出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：原式＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a+b）x+2b， 由展开后不含x2项和x项，得到a﹣2＝0，2a+b＝0， 解得：a＝2，b＝﹣4， 则原式＝8+4＝12． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．数学课堂上，王老师给同学们出了道题：若（x2﹣px+3）（x﹣q）中不含x2项，请同学们探究一下p与q的关系．请你根据所学知识帮助同学们解决一下． 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x2项，求出p与q的关系即可． 【解答】解：原式＝x3﹣（p+q）x2+（pq+3）x﹣3q， 由结果不含x2项，得到p+q＝0， 则p与q的关系为p＝﹣q． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．当m、n为何值时，x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展开式中，不含有x2和x3的项？ 【分析】原式去括号得到最简结果，根据结果中不含x2和x3的项，求出m与n的值即可． 【解答】解：x[x（x+m）+nx（x+1）+m]x（x2+mx+nx2+nx+m）（1+n）x3（m+n）x2mx， 根据结果中不含x2和x3的项，得到1+n＝0，m+n＝0， 解得：m＝1，n＝﹣1． 【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．若关于x的多项式2x+a与﹣x2+bx﹣2的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求a，b的值． 【分析】先计算2x+a与﹣x2+bx﹣2的乘积，根据常数项为20可求出a值，再根据展开式中没有二次项，则二次项系数为0可求出b值． 【解答】解：∵（2x+a）（﹣x2+bx﹣2） ＝﹣2x3+2bx2﹣4x﹣ax2+abx﹣2a ＝﹣2x3+（2b﹣a）x2+（ab﹣4）x﹣2a， ∴由题意得2b﹣a＝0，﹣2a＝20， ∴a＝﹣10， 把a＝﹣10代入2b﹣a＝0得，2b+10＝0， 解得b＝﹣5， ∴a，b的值分别为﹣10，﹣5． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，要求熟练掌握多项式乘多项式的法则，理解展开式中不含二次项即二次项的系数为0是解题的关键． 9．在（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）的积中，x3项的系数为﹣5，x2项的系数为﹣6，求a，b的值． 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据x3项的系数为﹣5，x2项的系数为﹣6即可求出a与b的值． 【解答】解：（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1） ＝2x4﹣3x3﹣x2+2ax3﹣3ax2﹣ax+2bx2﹣3bx﹣b ＝2x4+（2a﹣3）x3+（2b﹣3a﹣1）x2﹣（a+3b）x﹣b， 根据题意得：2a﹣3＝﹣5，2b﹣3a﹣1＝﹣6， 解得：a＝﹣1，b＝﹣4． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．已知（x2+mx+n）（x+2）的结果中不含x2项和x项，求m、n的值． 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，得出方程，求出即可． 【解答】解：（x2+mx+n）（x+2） ＝x3+2x2+mx2+2mx+nx+2n ＝x3+（2+m）x2+（2m+n）x+2n， ∵（x2+mx+n）（x+2）的结果中不含x2项和x项， ∴2+m＝0，2m+n＝0， 解得：m＝﹣2，n＝4． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，能得出关于m、n的方程是解此题的关键． 11．若（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q）的展开式中不含有x2和x3项，求p、q的值． 【分析】直接利用多项式乘法将原式变形，进而得出p，q的等式，即可得出答案． 【解答】解：（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q） ＝x4﹣3x3﹣qx2+px3﹣3px2﹣pqx+8x2﹣24x﹣8q ＝x4+（﹣3+p）x3+（﹣q﹣3p+8）x2+（﹣pq﹣24）x﹣8q， 展开式中不含有x2和x3项， ∴ ∴解得：． 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 12．若（x2﹣3x﹣2）（x2+px+q）展开后不含x3和x2项，求p，q的值． 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则先把式子展开，找到所有x2和x3项的系数，令其为0，可求出p，q的值． 【解答】解：∵（x2﹣3x﹣2）（x2+px+q）＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣2）x2﹣（3p+2q）x﹣2q． 又∵乘积中不含x3与x2项， ∴p﹣3＝0，q﹣3p﹣2＝0， ∴p＝3，q＝11． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 13．若（x2+2ax﹣b）（3x2﹣2x+4）的积中，x3的系数为4，x2的系数为﹣6，求a，b． 【分析】将原式展开，合并同类项后，令﹣2+6a＝4，4﹣4a﹣3b＝﹣6，求出a、b即可． 【解答】解：（x2+2ax﹣b）（3x2﹣2x+4）， ＝3x4﹣2x3+4x2+6ax3﹣4ax2+8ax﹣3bx2+2bx﹣4b， ＝3x4+（﹣2+6a）x3+（4﹣4a﹣3b）x2+（8a+2b）x﹣4b， ﹣2+6a＝4，4﹣4a﹣3b＝﹣6， ∴a＝1，b＝2． 【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 14．已知（x3+mx+n）（x2﹣x+1）展开式中不含x3和x2项． （1）求m、n的值； （2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，即可得出1+m＝0，﹣m+n＝0，求出即可； （2）先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，最后代入求出即可． 【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣x+1） ＝x5﹣x4+x3+mx3﹣mx2+mx+nx2﹣nx+n ＝x5﹣x4+（1+m）x3+（﹣m+n）x2+（m﹣n）x+n， ∵（x3+mx+n）（x2﹣x+1）展开式中不含x3和x2项， ∴1+m＝0，﹣m+n＝0， 解得：m＝﹣1，n＝﹣1； （2）当m＝﹣1，n＝﹣1时，（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3+n3＝（﹣1）3+（﹣1）3＝﹣2． 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键． 15．已知ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积不含x3项，也不含x项，求a与b的值． 【分析】由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令三次项与一次项系数为0，即可求出a与b的值． 【解答】解：根据题意列得：（ax2+bx+1）（2x2﹣3x+1）＝2ax4+（2b﹣3a）x3+（a+2﹣3b）x2+（b﹣3）x+1， ∵不含x3的项，也不含x的项， ∴2b﹣3a＝0，b﹣3＝0， 解得a＝2，b＝3． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $