5.3一元一次方程的应用（基础篇）2025-2026学年北师大版数学七年级上册

5.2一元一次方程的应用 5.3一元一次方程的应用 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 解一元一次方程的步骤 课前复习 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 新课探索 解决实际问题的一般步骤 新课探索 盈亏问题 工程问题 行程问题 题型练习 工程问题 题型练习 销售盈亏 方案选择 电水费问题 行程问题 古代问题 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 解一元一次方程的步骤 1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，注意别漏乘； 2.去括号：注意括号前的系数与符号； 3.移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，移项要改变符号； 4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式； 5.系数化为1:方程两边同除以x的系数，得z=6的形式 解一元一次方程-去分母 x + x-7=0 4x+2x-21=0 解一元一次方程-去括号 3x-(2x-1)=3(x+1) 3x-2x+1=3x+3 解一元一次方程-移项 3x-2x+1=3x+3 3x-2x-3x=3-1 解一元一次方程-合并同类项 3x-2x-3x=3-1 —2x=2 解一元一次方程-系数化为1 -3x=4 x= - 新课探索 一、解决实际问题的一般过程 二、销售盈亏 商品利润 = 商品售价一商品进价 利润率= ×100% 三、工程问题 工作时间、工作效率、工作量之间的关系： ①工作量=工作时间×工作效率. ②工作时间=工作量÷工作效率 ③工作效率=工作量÷工作时间. 四、行程问题 1.基本关系式：路程=速度×时间 2.基本类型：相遇问题；追及问题 (1)顺流(风)航行的路程 = 逆流(风)航行的路程 (2)顺水(风)速度=静水(无风)速 + 水(风)速 逆水(风)速度=静水(无风)速 一 水(风)速 题型练习 1、 工程问题 1．一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 2．一项工程，甲队单独施工需要6个月完成，乙队单独施工需要10个月完成．为了加快施工进度，在甲队施工2个月后，乙队加入与甲队共同施工，那么还需要几个月才能完成？ 2、 销售盈亏 3．某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 4．某商品按定价出售，每个可获得利润40元，如果按定价的出售10件与按定价每个减15元出售8件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 3、 方案选择 5．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 6．某市两超市分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折．已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实际付款分别是多少元？ (2)某顾客在乙超市购物实际付款428元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由． 4、 电水费问题 7． 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 8． 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 (1)已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ (2)如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ (3)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 5、 行程问题 9．甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 10．小华从A地步行到B地，然后从B地骑自行车返回A地，共用了2小时．已知小华骑自行车的速度为，步行的速度为，求A，B两地之间的距离． 6、 古代问题 11．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？” 12．我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 易错点 一、审题不清导致错误 1. 未正确理解题意：如将“比某数的3倍多2”误理解为“某数的3倍等于2”，从而列出错误方程。 2. 忽略单位换算：在涉及不同单位的问题中，如速度单位有米/秒和千米/小时，未进行单位统一就直接列方程。 二、设未知数不当 1. 设元不合理：例如在行程问题中，已知速度求时间，却设时间为未知数，使得方程复杂化。 2. 未知数设定不明确：没有准确指出未知数所代表的实际意义，可能导致后续解题过程混乱。 三、列方程出错 1. 等量关系找错：如在利润问题中，把“售价 - 成本 = 利润”错写成“成本 - 售价 = 利润”。 2. 符号使用错误：在移项或合并同类项时，未改变符号或者符号改变错误，像从“3x + 5 = 8”得到“3x = 8 + 5”。 四、解方程失误 1. 去分母错误：当方程中含有分数时，去分母过程中漏乘某些项，如对于方程，去分母时只乘了(x)而忽略了常数项。 2. 系数化为1错误：在将未知数系数化为1时，除法运算出错，比如由“- 2x = 6”得出“x = 3”。 五、检验环节缺失 1. 不检验解的合理性：得到方程的解后，不代入原题情境检查是否符合实际意义，如求得的人数为小数或负数等情况未察觉。 总结 一、解决实际问题的一般过程 二、销售盈亏 商品利润 = 商品售价一商品进价 利润率= ×100% 三、工程问题 工作时间、工作效率、工作量之间的关系： ①工作量=工作时间×工作效率. ②工作时间=工作量÷工作效率 ③工作效率=工作量÷工作时间. 四、行程问题 1.基本关系式：路程=速度×时间 2.基本类型：相遇问题；追及问题 (1)顺流(风)航行的路程 = 逆流(风)航行的路程 (2)顺水(风)速度=静水(无风)速 + 水(风)速 逆水(风)速度=静水(无风)速 一 水(风)速 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2一元一次方程的应用 5.3一元一次方程的应用 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 解一元一次方程的步骤 2 课前复习 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 新课探索 解决实际问题的一般步骤 2 新课探索 盈亏问题 工程问题 行程问题 题型练习 工程问题 4 题型练习 销售盈亏 方案选择 电水费问题 行程问题 古代问题 易错点 9 易错点 总结 10 总结 课前复习 解一元一次方程的步骤 1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，注意别漏乘； 2.去括号：注意括号前的系数与符号； 3.移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，移项要改变符号； 4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式； 5.系数化为1:方程两边同除以x的系数，得z=6的形式 解一元一次方程-去分母 x + x-7=0 4x+2x-21=0 解一元一次方程-去括号 3x-(2x-1)=3(x+1) 3x-2x+1=3x+3 解一元一次方程-移项 3x-2x+1=3x+3 3x-2x-3x=3-1 解一元一次方程-合并同类项 3x-2x-3x=3-1 —2x=2 解一元一次方程-系数化为1 -3x=4 x= - 新课探索 一、解决实际问题的一般过程 二、销售盈亏 商品利润 = 商品售价一商品进价 利润率= ×100% 三、工程问题 工作时间、工作效率、工作量之间的关系： ①工作量=工作时间×工作效率. ②工作时间=工作量÷工作效率 ③工作效率=工作量÷工作时间. 四、行程问题 1.基本关系式：路程=速度×时间 2.基本类型：相遇问题；追及问题 (1)顺流(风)航行的路程 = 逆流(风)航行的路程 (2)顺水(风)速度=静水(无风)速 + 水(风)速 逆水(风)速度=静水(无风)速 一 水(风)速 题型练习 1、 工程问题 1．一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 【答案】甲单独完成还需要4天半完成． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设甲单独完成还需要x天，根据题意，列出一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：设甲单独完成还需要x天，根据题意，得 ， 解得， 答：甲单独完成还需要4天半． 2．一项工程，甲队单独施工需要6个月完成，乙队单独施工需要10个月完成．为了加快施工进度，在甲队施工2个月后，乙队加入与甲队共同施工，那么还需要几个月才能完成？ 【答案】还需要个月才能完成 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设还需要几个月才能完成，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设还需要个月才能完成，根据题意得， ． 解得：． 答：还需要个月才能完成． 2、 销售盈亏 3．某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 【答案】商店打了八折 【分析】本题考查了折扣问题． 设商店打了x折，利用销售价减进价等于利润列方程求解即可． 【详解】设商店打了x折， 根据题意得：， 解得：． 答：商店打了八折． 4．某商品按定价出售，每个可获得利润40元，如果按定价的出售10件与按定价每个减15元出售8件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 【答案】100元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据按定价的出售10件，与按定价每个减价15元出售8件所获得的利润一样多，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：这种商品每件定价100元． 3、 方案选择 5．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 6．某市两超市分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折．已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实际付款分别是多少元？ (2)某顾客在乙超市购物实际付款428元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由． 【答案】(1)甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元 (2)该顾客的选择不划算，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用. （1）根据甲乙两超市的促销方式代入计算即可； （2）根据计算可得该顾客原购物金额不超过500元，甲超市八八折,乙超市九折比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一次性购物总额是400元时： 甲超市实付款：（元）， 乙超市实付款：（元）， 答：甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元． （2）解：∵（元），， ∴该顾客购物实际金额不多于500元， ∵甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：超过了200元而不超过500元一律打九折； ∴甲超市优惠， ∴该顾客的选择不划算. 4、 电水费问题 7．为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)该户这一年的水费是元 (3)该户去年一年的用水量是 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合进行列式化简，即可作答． （2）结合（1），得当时，，故代入进行计算，即可作答． （3）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时，； （2）解：由（1）得当时， 当时，， 答：该户这一年的水费是1040元； （3）解：依题意，；； ∵ ∴水费在第三档， 当时，可知， 令，即， 解得， 答：该户去年一年的用水量是． 8． 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 (1)已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ (2)如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ (3)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 【答案】(1)24元 (2)13吨 (3)11吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用-分段计费等知识，理解表格提供的分段计费标准是解题关键． （1）根据7月用水8吨用第一段计费标准，用自来水总费用加上污水处理费用即可求解； （2）先求出用水10吨时，应交水费元，用水25吨时，应交水费元，设小李家9月份用水x吨,列方程，解方程即可求解； （3）设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨．根据10月份用水超过25吨，得到．分和两种情况分别列方程，解方程，舍去不合题意情况即可求解． 【详解】（1）解：（元）． 答：小李家2025年7月用水8吨，应该交水费24元； （2）解：当用水10吨时，应交水费（元）， 当用水25吨时，应交水费（元）， 设小李家9月份用水x吨, 由题意得， 解得． 答：小李家9月份用水13吨； （3）解：设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨． ∵两个月一共用水40吨，其中10月份用水超过25吨， ∴． ①当时，列方程得， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，列方程得， 解得（符合题意）． 答：小李家11月份用水11吨． 5、 行程问题 9．甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者2小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据往返路程相等，列得方程，， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 答：水流的速度为． 10．小华从A地步行到B地，然后从B地骑自行车返回A地，共用了2小时．已知小华骑自行车的速度为，步行的速度为，求A，B两地之间的距离． 【答案】 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示小华从地步行到地所用的时间及从地骑自行车返回地所用的时间是解题的关键． 设A，B两地之间的距离为，则小华从A地步行到B地用小时，从B地骑自行车返回A地用小时，于是列方程得，解方程求出的值即可． 【详解】解：设A，B两地之间的距离为， 根据题意，得， 解得， 答：A，B两地之间的距离为． 6、 古代问题 11．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？” 【答案】斤 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键．设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】设原有生丝斤， ， 解得． 故原有生丝斤． 12．我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 【答案】20天 【分析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，列方程解决问题． 设良马天可以追上劣马，根据等量关系：劣马每天跑的里数（良马跑的天数劣马先走的天数）良马每天跑的里数良马跑的天数，列方程即可． 【详解】解：设良马天可以追上劣马，则可列方程为 ． 解得：， 答：良马20天可以追上劣马． 易错点 一、审题不清导致错误 1. 未正确理解题意：如将“比某数的3倍多2”误理解为“某数的3倍等于2”，从而列出错误方程。 2. 忽略单位换算：在涉及不同单位的问题中，如速度单位有米/秒和千米/小时，未进行单位统一就直接列方程。 二、设未知数不当 1. 设元不合理：例如在行程问题中，已知速度求时间，却设时间为未知数，使得方程复杂化。 2. 未知数设定不明确：没有准确指出未知数所代表的实际意义，可能导致后续解题过程混乱。 三、列方程出错 1. 等量关系找错：如在利润问题中，把“售价 - 成本 = 利润”错写成“成本 - 售价 = 利润”。 2. 符号使用错误：在移项或合并同类项时，未改变符号或者符号改变错误，像从“3x + 5 = 8”得到“3x = 8 + 5”。 四、解方程失误 1. 去分母错误：当方程中含有分数时，去分母过程中漏乘某些项，如对于方程，去分母时只乘了(x)而忽略了常数项。 2. 系数化为1错误：在将未知数系数化为1时，除法运算出错，比如由“- 2x = 6”得出“x = 3”。 五、检验环节缺失 1. 不检验解的合理性：得到方程的解后，不代入原题情境检查是否符合实际意义，如求得的人数为小数或负数等情况未察觉。 总结 一、解决实际问题的一般过程 二、销售盈亏 商品利润 = 商品售价一商品进价 利润率= ×100% 三、工程问题 工作时间、工作效率、工作量之间的关系： ①工作量=工作时间×工作效率. ②工作时间=工作量÷工作效率 ③工作效率=工作量÷工作时间. 四、行程问题 1.基本关系式：路程=速度×时间 2.基本类型：相遇问题；追及问题 (1)顺流(风)航行的路程 = 逆流(风)航行的路程 (2)顺水(风)速度=静水(无风)速 + 水(风)速 逆水(风)速度=静水(无风)速 一 水(风)速 1 学科网（北京）股份有限公司 $