21.1 二次根式 课件 2025-2026学年华东师大版（2012）九年级数学上册

第21章 二次根式 21.1 二次根式 1 学习目标 1.理解二次根式的概念; 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围; (重点) 3.探索二次根式的性质; (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点) 2 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. 0的算术平方根是0. a的平方根是 . 用　 (a≥0)表示. 观察与思考 3 新课学习 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)面积为3的正方形的边长为　 ，面积为S的正方形的边长为　 . S (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为　 　 m. 130 新课学习 思考一下：这些式子分别表示什么意义？ 分别表示65，S，3， 的算术平方根． 思考一下：这些式子有什么共同特征？ 1.根指数都为2; 2.被开方数为非负数. 新课学习 二次根式的概念 (a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说(a≥0) 是一个非负数，它的平方等于a，即有: （1）≥0 (a≥0); （2）()²= a(a≥0). 形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 概括归纳 (a>0)表示非负数a的算术平方根，也就是说(a≥0) 是一个非负数，它的平方等于a，即有: （1）≥0 (a≥0); （2）()²= a(a≥0). 形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 注意：在 中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. 典例精析 x是怎样的实数时，二次根式 有意义? 分析：要使二次根式有意义,被开方数必须是非负数. 解：被开方数≥0，即x≥1. 所以，当x≥1时,二次根式有意义. 4 2 0 1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据． 二次根式的性质1及应用 二 9 一般地，有 归纳 由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下：a2, ︱a︱, 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数. 10 这里a的取值没有限制，因为a²是非负数，所以a既可以取正数或0,也可以取负数如当a=3时, ==3；当a=0时, =0；当a=-3时, ==3……从中可以发现：当a取任意实数时，=|a|. 概括归纳 当a≥0时, =a; 当a<0时, =-a. 这是二次根式的又一重要性质. 如果二次根式的被开方数是一个完全平方数，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的。 合作探究二 2.从取值范围来看,     1:从运算顺序来看, 先开方,后平方 先平方,后开方     =   3.从运算结果来看:   区 别 解：由 x－1≥0，得 x≥1 1. 当 x 取何值时， 二次根式有意义? 当 x≥1 时， 在实数范围内有意义. 试求当 x = 5 时，二次根式 的值. 当 x = 5 时， 思考：当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ x为全体实数. 当堂练习 1.计算: (1)()²; (2) ()²; (3) ; (4) =8 =9 = =9 =10 3、 二次根式的性质 3.填一填： 0 2 4 ...... 0 4 16 ...... 0 2 4 ...... 算数平方根 平方运算 17 3、 二次根式的性质 思考：当＜0时，=？ ﹣0.1 ﹣ ﹣2 ﹣4 ...... 0.01 4 16 ...... 0.1 2 4 ...... 算数平方根 平方运算 18 3、 二次根式的性质 性质3: = 即任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 19 3、 二次根式的性质 练习 1）化简： 解： ＝＝ 2）求值： 解： ＝2- 20 3、 二次根式的性质 性质1: 双重非负性 ≥0 （≥0） 性质2: 性质3: = 21 3 、 二次根式的性质 取值范围 运算顺序 运算结果 22 课堂巩固 课堂总结 1.二次根式的定义 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的性质 性质1.( EQ \R(,a) )2=a (a≥0) 6.若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是______. 解析：由二次根式 在实数范围内有意义可得： ，解得： ； 故答案为 . $