2.2二次函数的图象与性质 自主达标测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．比较二次函数与的图象，则（     ） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 2．已知是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 6．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是（   ） A．B．C．D． 7．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．阴影部分的面积为4 D．若，则 8．已知二次函数中自变量的部分取值和对应的函数值如表所示： … 0 1 2 … … 5 0 … 下列说法中正确的个数有（   ） ①函数图象开口向上；②函数图象与轴的交点坐标是，；③当时，随的增大而增大；④顶点坐标是． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（满分24分） 9．点是抛物线上的一点，则 ． 10．将二次函数化为的形式，其结果是 ． 11．二次函数的图象关于直线对称，则 ． 12．已知二次函数的图象在轴上方，则整数的最小值是 ． 13．已知二次函数图象上有两点、，则当时，二次函数的值是 ． 14．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，关于抛物线对称轴对称，且，则点坐标为 ，的值为 ． 16．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的负半轴交于点．下列结论：①；②；③；④（为任意实数）．其中正确的结论为 （填序号）． 三、解答题（满分72分） 17．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上； (2)求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标． 18．把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 19．已知二次函数（a是常数）． (1)当时，求二次函数的对称轴． (2)若点都在二次函数的图象上． ①证明：． ②求的最大值． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中． (1)求证：不论m取何值，抛物线过定点； (2)点在抛物线上，当时，y有最小值，试求出m的值； (3)抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，当时，求m的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为，D是抛物线上一点，点D的横坐标为m，且在x轴上方，的面积为S． (1)请求出S关于m的函数关系式； (2)求面积的最大值是多少？ 22．请用无刻度的直尺分别按下列要求画图，每个问题的画线不得超过五条（保留画图痕迹）． (1)如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，轴交抛物线于点，作出抛物线的对称轴；并在上画出点，使得最小； (2)如图2，抛物线，交于点且关于直线对称，两抛物线分别交轴于点，和点，，作出直线． 23．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 参考答案 1．解：开口大小由决定，越大，开口越小，中，中，不相等，开口大小不同，A错误； 中，开口向下，中，开口向上，方向不同，B错误； 对称轴为直线，对称轴为直线，两函数对称轴均为直线，C正确； 顶点坐标为，顶点坐标为，顶点坐标不同，D错误； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据距离对称轴越远的点的纵坐标越大，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线， ∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵， ∴． 故选：B． 3．C 【分析】将抛物线表达式化为顶点式，即可进行解答． 【详解】解：， ∴该抛物线的顶点坐标为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点坐标，解题的关键是将抛物线表达式化为顶点式．二次函数的顶点坐标为． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的特征找出的取值范围是解题的关键．根据一元二次函数的顶点式可知，当时，取得最小值，最小值为，由，可得当或时，，最后结合题意即可得解． 【详解】， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，有， 解得，，， 当或时，， 当时，的最小值为，最大值为， 结合图象可知，． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是，即， 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象综合，熟练二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数与一次函数的图象及性质进行排除选项即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知经过第一、三、四象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，故符合题意； B、由一次函数的图象可知经过第一、二、四象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，故该选项不符合题意； C、由一次函数的图象可知经过第一、二、三象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，故该选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知经过第一、三、四象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，故该选项不符合题意； 故选A． 7．C 【分析】首先根据抛物线开口向上，可得；然后根据对称轴为直线，可得，据此判断A；根据抛物线的图象，可得时，，即，据此判断B；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积底高，求出阴影部分的面积即可判断C；根据函数的最小值是，判断出时，a、b的关系即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故A不正确； ∵时，， ∴，故B不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴阴影部分是平行四边形，且平行四边形的底是2， ∵函数顶点C的纵坐标为， ∴最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：，故C正确； ∵，， ∴，故D不正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，平行四边形的性质等知识，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识点． 8．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据当时和当时的函数值相同，得到对称轴为直线，则顶点坐标为，即可判断④，再由顶点处的函数值小于其他处的函数值得到该函数开口向上，则当时，y随x的增大而增大，即可判断①③，再由表格中的数据即可判断②． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为，故④正确； ∵，即顶点处的函数值小于当的函数值， ∴该函数开口向上，故①正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由表格可得函数图象过，再关于对称得， 所以函数图象与轴的交点坐标是，，故②正确； 综上，说法正确的共有4个． 故选：D． 9．9 【分析】本题考查了二次函数上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解题的关键．将代入，然后解方程即可得到答案． 【详解】解：点是抛物线上的一点， ， 故答案为：9． 10． 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，直接利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．2 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，熟练掌握对称轴是解题的关键． 根据对称轴为直线，解方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意可知二次函数的对称轴为直线， ， 即， 解得． 故答案为：2． 12． 【分析】本题考查了二次函数的概念以及二次函数图象与坐标轴交点情况得判别式的范围．根据二次函数定义二次项系数，与轴没有交点，分别求解不等式取公共部分即可． 【详解】解：∵二次函数的图象在轴上方， ∴开口向上，与轴没有交点， ∴，， 解得，，， ∴整数的最小值是， 故答案为：． 13．2025 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征． 根据题意得出，代入函数的解析式即可求得二次函数的值． 【详解】解：二次函数的图象上有两点和， 、是方程的两个根， ， 当时， 二次函数， ． 故答案为：2025． 14． 【分析】本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象，写出二次函数的图象在一次函数的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【详解】解：如图：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，可以得到，进而得到的值，设点C的坐标为，则点D的坐标为，得到c的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， ∵两点关于直线对称， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为，， ∴， ∴ 把点代入抛物线得：， 解得． 故答案为：； ． 16．②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向和与y轴的交点位置可得，由对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据抛物线与x轴交于可得，进而可得，据此可判断②③；根据对称轴为直线，可得函数的最大值为，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵对称轴为直线， ∴函数的最大值为， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有②③④， 故答案为：②③④． 17．(1)不在此抛物线上 (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数的图象性质，函数解析式与图象上的点之间的关系：点在图象上，则点的坐标满足函数解析式；反之，不在函数图象上则点的坐标不满足函数解析式． （1）把点代入解析式，即可判断； （2）把代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 ∴点不在此抛物线上； （2）解：把代入，得 ， 解得：，， ∴抛物线上纵坐标为的点的坐标或． 18．(1)，2， (2)函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的性质，可得答案； （3）计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到， ∵二次函数与是同一函数， ∴，，， 解得． 故答案为：，2，； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； （3）解：∵， ∴的最小值为； ∴时，， ∵时，， ∴当时，． 19．(1)直线 (2)①证明见解析；②的最大值为4 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，当时，二次函数为，从而可以判断得解； （2）①依据题意，由点都在二次函数的图象上，则对称轴是直线，则，进而可以计算得解； 依据题意可得，，进而根据二次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，二次函数为， 对称轴是直线； （2）证明：由题意，点都在二次函数的图象上， 对称轴是直线． ． ． 由题意可得， ． 当时，的最大值为4． 20．(1) (2)m的值为 (3)m的值为或 【分析】本题考查抛物线与几何综合问题，涉及抛物线过定点，抛物线的最值，勾股定理，直角三角形的性质等， 熟练掌握相关知识点，数形结合、分类讨论是解题的关键； （1）将函数解析式化为，再列方程组求解，可得定点坐标； （2）根据题中条件确定当时，，代入求解即可； （3）先确定A，B，C三点的坐标，再分，，讨论，利用等腰三角形的判定，直角三角形的性质和勾股定理求解，综合可得m的值． 【详解】（1）将化为， 由，解得． 不论m取何值，抛物线过定点． （2）抛物线开口向上，对称轴， 当时，y有最小值， 函数的对称轴在的右侧，即，， 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）． m的值为． （3）当时，，故． 当时，，解得，． 不妨设，，则． 当时，如图1：过点A作交延长线于点D，则． ，， ，， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， 又， ， 由，解得，（舍去）， ． 当时，如图2：过点A作于点E，则． 同理可得，，，． ， ， ， 由勾股定理得， ， ， 又， ． 由，解得（舍去），， ． 当时，如图3所示： ， ，不存在的情况． 综上可知，m的值为或． 21．(1) (2)15 【分析】本题主要考查了菱形的性质、求二次函数解析式、勾股定理、利用二次函数的性质求最值等知识点，熟练掌握菱形、二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意可得，根据顶点C的坐标为以及菱形的顶点A在x轴正半轴上，得且轴，再根据三角形的面积公式即可得到S关于m的函数关系式； （2）根据（1）得到的S关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵D是抛物线上一点，点D的横坐标为m，且在x轴上方， ∴， ∵顶点C的坐标为 ∴ ∵菱形的顶点A在x轴正半轴上， ∴，轴 ∴，即． （2）解： ∵ ∴当时，S有最大值为15，即面积的最大值是15． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数图像的性质——对称性，理解对称性和尺规作图是解答本题的关键． （1）连接，相交于一点，连接，并延长相交于一点，连接两点的直线即为 交于点， （2）连接并延长交抛物线一点，再连接与该点，并延长；同理作的这条直线，两直线相交于，过，作出的直线即为． 【详解】（1）如图所示，直线，点即为所求；    （2）如图所示，直线即为所求． 23．(1)， (2)①该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，解直角三角形，求一次函数解析式等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）将变形为顶点式，可得顶点P的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点D的坐标． （2）①过点作轴，垂足为点H．设，得新抛物线解析式，进而可得．再根据推出，列式求出m的值，进而即可求解；②设，根据平移方式得出，再将代入求出c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴点D的坐标为； （2）解：①过点作轴，垂足为点H． 顶点落在线段的延长线上，直线的解析式为， ∴设． ∴新抛物线的解析式为， ∴． ∵x轴轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位． ② 被y轴平分，， 设， 原抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位得到新抛物线， ∴， ∵点A在原抛物线上， ∴， 解得，(舍)． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $