15.3 等腰三角形 第2课时课件2025-2026学年人教版 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形判定定理，通过复习等腰三角形定义与性质，以画图测量等动手操作引导学生猜想“等角对等边”，搭建从性质到判定的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以探究活动为主线，通过动手操作培养数学眼光，逻辑证明发展数学思维，例2尺规作图与实践作业结合现实，引导学生用数学语言表达，提升应用意识，助力学生理解知识，方便教师高效教学。

等腰三角形 第2课时 第十五章 轴对称 数学人教版八年级上册 1.掌握等腰三角形的判定定理，能区分等腰三角形的性质定理与判定定理； 2.通过动手操作如(画图、测量等)、观察猜想、推理证明等过程，体验等腰三角形判定定理的探索与形成过程，能运用等腰三角形的判定定理解决简单的几何问题； 3.在探究等腰三角形判定定理的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学习数学的兴趣． 学习目标 2.等腰三角形具有哪些性质？ ①等腰三角形的两个底角相等 (简写成 “等边对等角”) ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一． 1.等腰三角形的定义是什么？ 有两条边相等的三角形是等腰三角形 3.如何判断一个三角形是等腰三角形？ 有两条边相等的三角形是等腰三角形． 复习回顾 活动一：探究等腰三角形的判定方法 从等腰三角形的性质中我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系? 猜想： 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等. 探究新知 活动一：探究等腰三角形的判定方法 (1)画一个△ABC，使其满足∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系？ 发现：AB=AC (2)画一个△ABC，其∠B=∠C，此时AB与AC的数量关系会改变吗？你能得出什么结论？ A B C 结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形． AB与AC的数量关系不变 你能证明这个结论吗? 探究新知 活动一：探究等腰三角形的判定方法 已知：如图，在ABC中，∠B=∠C．求证：AB＝AC． 分析： ∠B=∠C AB＝AC 全等 构造全等三角形 (辅助线) D 作AF⊥BC F 作∠BAC的角平分线AD A B C A B C A B C 探究新知 活动一：探究等腰三角形的判定方法 已知：如图，在ABC中，∠B=∠C．求证：AB＝AC． 方法一 证明：过点A作AD平分∠BAC． D A B C 探究新知 活动一：探究等腰三角形的判定方法 已知：如图，在ABC中，∠B=∠C．求证：AB＝AC． 方法二 证明：过点A作AF⊥BC，垂足为F． F A B C 探究新知 活动一：探究等腰三角形的判定方法 等腰三角形的判定方法： 符号语言： 在△ABC中， ∵∠B＝∠C ， ∴AB=AC．(等角对等边) 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 即△ABC为等腰三角形 A B C 探究新知 用“等角对等边”前提是在同一个三角形中. 注意 活动一：探究等腰三角形的判定方法 等腰三角形的判定方法： ∠B＝∠C AB=AC 判定方法1：定义法 判定方法2：等角对等边 A B C A B C 等腰三角形ABC 探究新知 等腰三角形的性质定理和判定定理有什么区别？ 等边 性质定理：等边对等角． 判定定理：等角对等边． 等角 等角 等边 活动一：探究等腰三角形的判定方法 探究新知 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 教材 例题 已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC. 求证：AB=AC. 分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系. A D B C E 1 2 应用新知 教材 例题 证明：∵ AD//BC， ∴ ∠1=∠B，∠2=∠C． 又AD平分∠CAE， ∴ ∠1=∠2． ∴ ∠B=∠C． ∴ AB=AC． 证明两条线段相等，除了证明线段所在的两个三角形全等外，还可以判定两条线段所在的三角形是等腰三角形． 总结 A D B C E 1 2 应用新知 例2 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形. 教材 例题 分析：根据等腰三角形“三线合一”的性 质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上.由此，作出底边的垂直平分 线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位 置，即可作出这个等腰三角形. a h 应用新知 B 教材 例题 作法：如图 (1)作线段AB=a； A (2)作线段AB的垂直平分线MN， 与 AB相交于点D； (3)在MN上取一点C，使DC=h； D M N C (4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. a h 应用新知 经典例题 例3 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD． 分析：要证明AB=AD，可先证明∠ABD=∠ADB.由已知条件，可分别得出∠ABD，∠ADB与∠DBC的关系. 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC． ∴∠ABD=∠ADB． ∴AB=AD． A B D C 应用新知 经典例题 例4　如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F. 求证：△CEF是等腰三角形． 分析： ①先找出△ABC和△ACD中的等角关系，推出∠B=∠ACD； ②根据角平分线定义得出∠BAE=∠EAC； ③再根据“三角形外角等于与它不相邻两内角和”，可推出∠CEF=∠CFE； ④最后“等角对等边”得出结论△CEF是等腰三角形． A C B D E F 应用新知 经典例题 “等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．． 总结 证明：在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠B+∠BAC=90°． ∵CD是AB边上高，∴∠ACD+∠BAC=90°， ∴∠B=∠ACD． ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE=∠EAC， ∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC， 即∠CEF=∠CFE． ∴CE=CF，∴△CEF是等腰三角形． A C B D E F 应用新知 1.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°． 分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形． 教材 练习 分析：以三角形内角和与三角形外角的性质相结合，再根据“等角对等边”，解题即可. D C B A 1 2 课堂练习 教材 练习 解：∵∠DBC=36°，∠C=72°． ∴∠1=180°-∠DBC-∠C=72°， ∵∠1是△ABD的一个外角，∴∠1=∠2+∠A． ∴∠2=∠1-∠A=36°． 又∵∠2=∠A=36°，∠1=∠C=72°． ∴∠ABC=∠C=72°． ∵∠2=∠A，∠1=∠C，∠ABC=∠C． ∴AD=BD，BC=BD，AB=AC． 图中共有3个等腰三角形，即△ABD，△BDC，△ABC． D C B A 1 2 课堂练习 2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? 教材 练习 如图，∵长方形ABCD沿对角线折叠， ∴△BCD≌△BFD．∴∠1=∠2． 又∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC． ∴∠2=∠3，∴∠1=∠3 ∴BE=DE． 即重合部分△BDE是一个等腰三角形． A D 2 C B F E 1 3 解：是等腰三角形．理由如下： 课堂练习 3.如图，AC和BD相交于点O，且AB//CD，OA=OB． 求证：OC=OD． 教材 练习 分析：先根据两直线平行，内错角相等，推出∠B=∠D，∠A=∠C． 再根据等腰三角形的性质和判定定理，可得OC=OD． 证明：∵AB//CD， ∴∠B=∠D，∠A=∠C． 又∵OA=OB，∴∠A=∠B．(等边对等角) ∴∠C=∠D． ∴OC=OD．(等角对等边) O D C A B 课堂练习 限时训练 1.辩一辩：如图，下列推理正确吗? ∵∠1=∠2， ∴BD=DC．(等角对等边) ∵∠1=∠2， ∴BC=DC．(等角对等边) 错，因为都不是在同一个三角形中． A B D C 1 2 A B C D 1 2 课堂练习 限时训练 2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，则这个三角形是( ) A.钝角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析:根据题意由右图可知：∠B=130°÷2=65°. ∵∠ACB=180°-130°=50°，∴∠A=180°-65°-50°=65°. ∴∠A= ∠B ，AC=BC，即这个三角形是等腰三角形. B A C B 课堂练习 限时训练 3.已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D．求证:BC=CD． 解析：借助辅助线，找到角的等量关系，在根据等腰三角形的判定定理解题即可. B C D A ∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB． ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB． 即∠DBC=∠BDC，∴BC=CD． 证明：连接BD， 课堂练习 限时训练 解析：根据三角形的外角性质，推出∠C的度数，再根据等腰三角形的判定定理得出BA=BC，最后按照路程=速度×时间，可求出B处到灯塔C的距离. 4. 如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°．求从B处到灯塔C的距离． A B N C 80° 40° 北 课堂练习 限时训练 4. 如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°．求从B处到灯塔C的距离． 解：∵∠NBC=∠A+∠C， ∴∠C=80°-40°=40°，∴∠C=∠A， ∴BA=BC(等角对等边)． ∵AB=20×(12-10)=40(海里)． ∴BC=40海里． 答：从B处到灯塔C的距离为40海里． A B N C 80° 40° 北 课堂练习 判定方法 等角对等边 注意：是指同一个三角形中． 等腰三角形的判定 定义法 有两条边相等的三角形是等腰三角形． 总结归纳 实践作业：找找身边的等腰三角形 任务： 请你观察身边的物体(如屋顶、红领巾、三角尺等)． 要求： 找出1-2个等腰三角形，并用“等角对等边”的判定方法验证它是否为等腰三角形(可拍照或画图记录，简要写出验证过程)． $