精品解析：四川省成都市蓉城联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025～2026学年度上期高中2025级期中考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列集合符号运用不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，结合各数集的定义来判断各选项中集合符号的运用是否正确. 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确；  ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确；  ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ）． A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定规则来求出给定命题的否定形式. 【详解】原命题“”是特称命题，存在量词为“”，将其改为全称量词“”；  原命题的结论是“”，其否定为“”. 故选：A. 3. 下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】分别分析各选项中两个函数的定义域和对应关系，判断是否同时相同以确定同一函数. 【详解】A选项，对于，；对于，，所以不是同一函数. B选项，，所以是同一函数. C选项，对于，时，；对于，时，， 所以不是同一函数. D选项，对于，由解得； 对于，由解得或， 所以不是同一函数. 故选：B 4. 已知幂函数的图象过点，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意设，代入点，即可得解. 【详解】设则，解得. 故选：D 5. 已知命题，，则p是q的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题通过分析命题和之间的推出关系判断充分、必要条件. 【详解】若，则一定成立，故； 若，则或，不一定有，故. 因此，是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知函数，且，则的值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用换元法求出的解析式，再计算即可得解. 【详解】令，则， 因为，所以， 又，即，解得， 所以的值为2. 故选：B 7. 已知，，，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】巧妙地利用“1”将变形为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，所以. 又因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16. 故选：C 8. 已知函数的定义域为，且，当，时，恒成立．若，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造奇函数，分析其单调性与奇偶性，结合特殊点求解不等式. 【详解】令，则，故是奇函数. 由时，恒成立，知在上单调递减. 因为是奇函数，故在上也单调递减. 由，得，则. 解不等式，即. 当时，，因在上单调递减，故； 当时，，因在上单调递减，故. 综上，解集为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质分析判断A；利用作差法判断BD；利用不等式性质求解范围判断C. 【详解】对于A，因为，，所以，错误； 对于B，，因为，所以，所以，所以，正确； 对于C，因为，，所以，错误； 对于D，由，，得， 所以，正确. 故选：BD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）． A. 直线是曲线的对称轴 B. 若函数在单调递减，则 C. 当时，值域为 D. 对，不等式成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过特殊值法、函数单调性分析、值域求解、作差比较法分别判断每个选项的对错. 【详解】选项A，取，； 取，，， 故直线不是对称轴，A错误. 选项B，当时，，其单调递减区间为， 故若在单调递减，则，B正确. 选项C，当时，，当时，取得最小值-4； 当或时，取得最大值0，故值域为，C正确. 选项D，设，计算， ，则， ， ， 故，D正确. 故选：BCD 11. 已知，，且，下列说法正确的是（ ）． A. 的最小值为8 B. 的最大值为32 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式将条件变形为，解不等式求出即可判断A；利用，求出，即可判断B；由条件得，再利用“1”的变形及，求出的最大值即可判断C；由条件得，利用它将变形为，再利用基本不等式求出其最小值即可判断D. 【详解】，，， 即， 当且仅当，即时取等号. 令，则，即， 解得或（舍），即，的最小值为8，故A正确； 由选项A知，， 当且仅当时取等号，的最小值为32，故B错误； ，即， ，即 由选项A知，，当且仅当时取等号. 的最大值为，故C正确； ，. ，，，， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题通过偶函数的性质求出时的函数解析式，再解一元二次不等式得到解集. 【详解】设，则，由时，得. 因是偶函数，故. 解不等式（），因式分解得， 结合，得，即. 故答案为： 14. 若对，不等式恒成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式恒成立条件确定与的关系，再通过换元法将代数式转化为二次函数形式，利用基本不等式求最小值. 【详解】由于，不等式恒成立， 所以，且与有相同解，即， 令，则，. 将，代入，得： ， 设，由得，当且仅当时等号成立， 则上式变为， 当（即）时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）通过代入确定集合，再分别求交集和并集的补集. （2）由并集关系转化为子集关系，列出不等式组求解参数范围. 【小问1详解】 当时， ，， 故或. 【小问2详解】 由，得，则，解得， 即实数的取值范围是. 16. 已知命题，，命题q：集合中至多有一个元素． （1）若p为真命题，求实数m取值范围； （2）若q为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，求出答案； （2）分别讨论、解的个数，求出答案. 【小问1详解】 因为命题为真命题，即在上恒成立， 则判别式， 即，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 当时，(满足题意)， 当时，由集合A中至多有一个元素， 得，即， 综上所述：的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系求出、的值，再代入新的不等式求解； （2）先将表示出来，然后对进行分类讨论求解不等式. 【小问1详解】 已知，且的解集为， 说明和是方程的两个根；  根据韦达定理对于方程，两根为和， 则有 ， 解得， 解不等式，即，， 其对应方程的根为或， 所以不等式的解集是； 【小问2详解】 ， 即解不等式，其中，需对分类讨论： 情况1：时： 不等式变为，解得，因此解集为； 情况2：时： 则， 方程的根为和，需比较和的大小； 当时，，不等式变为，无实数解，解集为；  当时，，不等式的解集是； 当时，，不等式的解集是； 综上，不等式的解集： 当时，；  当时，；  当时，；  当时， 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求n的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）设，解不等式． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数求； （2）通过单调性定义证明函数单调性； （3）分析的奇偶性与单调性，将原不等式转化为关于的不等式组求解． 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，即，解得. 【小问2详解】 在上单调递增. 证明：由（1）知，任取且， 则， 因为，所以；又，故，， 因此，即，所以在上单调递增. 【小问3详解】 由，结合的奇偶性与单调性，知是偶函数， 且在上单调递增，在上单调递减. 不等式等价于且，. 解：平方得，解得或； 解：得； 解：得. 取交集得或. 所以不等式的解集为. 19. 已知函数． （1）若方程恰有两个不等的负根，求实数k的取值范围； （2）若， ①求在上的最大值； ②在①的条件下，对，总存在，使得成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）将条件转化为恰有两个不等的负根，根据判别式及韦达定理列出不等式组，求解即可； （2）①设，，分三种情况分别求出的取值范围，再根据的范围即可得到的解析式； ②由的范围求出的范围，设，分析出要使条件成立须满足的值域是值域的子集，然后对函数分一次函数和二次函数讨论，在二次函数的前提下，再根据开口方向及对称轴的位置，分别列出不等式组，计算即可. 【小问1详解】 设方程的两根为， 由，可得，即， 因为方程恰有两个不等的负根， 即恰有两个不等的负根， 所以可得，解得， 所以实数k的取值范围； 【小问2详解】 ①设函数，. 当时，，易知； 当时，，根据对勾函数的性质， 可知在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，所以， 所以， 即； 当时，易知在上单调递增， 即的取值范围为，所以， 由，解得或（舍去）， 所以. 综上，.. ②由①知当，， 设， 对，总存在，使得成立， 即的值域是值域的子集. 当时，，不满足是的子集； 当时，是二次函数，图象开口向上，对称轴为，， （i）若，在上单调递减， 所以，即，该不等式组无解； （ii）若，在上单调递减，在单调递增， 所以，，该不等式组无解； （iii）若，在上单调递减，在单调递增， 所以，即，解得； 当时，是二次函数，图象开口向下，对称轴为， 在上单调递减， ，即，该不等式组无解. 综上，实数t的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度上期高中2025级期中考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列集合符号运用不正确的是（ ）． A B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知幂函数的图象过点，则（ ）． A. B. C. D. 5. 已知命题，，则p是q的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，且，则的值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，，，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 10 8. 已知函数的定义域为，且，当，时，恒成立．若，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题是（ ）． A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）． A. 直线是曲线的对称轴 B. 若函数在单调递减，则 C. 当时，的值域为 D 对，不等式成立 11. 已知，，且，下列说法正确的是（ ）． A. 的最小值为8 B. 的最大值为32 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 13. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，解集为______． 14. 若对，不等式恒成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知命题，，命题q：集合中至多有一个元素． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若q为真命题，求实数m的取值范围． 17. 已知函数． （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若，求不等式的解集． 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求n的值； （2）判断在上单调性，并用单调性的定义证明； （3）设，解不等式． 19. 已知函数． （1）若方程恰有两个不等的负根，求实数k的取值范围； （2）若， ①求在上的最大值； ②在①的条件下，对，总存在，使得成立，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $