期中模拟检测试卷（解析版+原卷版+压轴题动图讲解视频+评分标准）-2025-2026学年人教版九年级数学上册（章节基础过关卷+单元提优验收卷+重难点易错题突破卷+月考期中期末仿真卷）

九年级数学上期中模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2024秋•冠县月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•莱西市月考）一元二次方程4y2﹣4y﹣3＝0配方后可化为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•瑞安市月考）如图，在⊙O中，C是的中点，D是优弧ADB上一点，若∠AOB＝110°，则∠D的度数为（　　） A．70° B．55° C．40° D．27.5° 4．（2024秋•弥勒市期末）将抛物线C1：y＝x2+1向左平移3个单位长度得到抛物线C2，抛物线C2向上平移1个单位长度得到抛物线C3，则抛物线C3的解析式为（　　） A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x+3）2+2 5．（2024•渝中区二模）如图，⊙O的半径是6，直线EF与⊙O相切于点P，连接OE、OF分别交⊙O于点B、点C，若点A为圆周上一点且∠BAC＝37.5°，∠E＝60°，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2023春•七星区期中）如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转后点P的落点坐标为（　　） A． B．（2，0） C． D．（3，1） 7．（2023春•泰山区期中）关于x的一元二次方程x2+2kx﹣1＝0（k为实数）根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 8．（2024秋•硚口区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点I为△ABC的内心，若∠BIO＝2∠AIO，IO＝1，则AO的长是（　　） A． B． C． D． 9．（2024秋•海安市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△ADE，G为EC的中点．则DG的长是（　　） A．1 B． C．3 D． 10．（视频讲解）（2024秋•崇川区期中）在平面直角坐标系中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，抛物线的对称轴是直线x＝t，若m＜c＜n，则t的取值范围是（　　） A．t＜1 B．0＜t＜1 C． D． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～16题每题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（2025秋•西城区月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧BC上一点，∠CEA＝32°，则∠ABD＝ 　 　 ． 12．（2025秋•黄埔区月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 　 　 ． 13．（2024秋•崇川区期中）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 14．如图，正五边形的边，与分别相切于点，，点在上，连接，，则的度数为 　　． 15．（2024秋•海安市期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了 　 　 米． 16．（动图讲解视频）（2024•曲江区三模）如图，等边△ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共98分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）（2025春•义乌市月考）解下列方程： （1）（x+3）2＝5（x+3）； （2）3x2﹣5x﹣8＝0． 18．（10分）（2024秋•海安市期中）如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD于点D，连接CB． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，AB＝5，求BD的长． 19．（10分）（2024秋•海安市期中）如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，5），B（4，6），C（2，3）． （1）将△ABC绕点（0，3）逆时针旋转90°得到△A1B1C1，画出旋转后的图形； （2）若△ABC与△A2B2C2成中心对称，其中点A与点A2是对称点，且A2（﹣3，﹣1），则对称中心的坐标为 　 　 ． 20．（10分）（2022秋•庐阳区期中）抛物线y＝ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0），B（0，4）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知另一点C（m，m+1）在抛物线y＝ax2+bx﹣4a上，求m的值． 21．（12分）（2024•西湖期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． ①当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？ ②求此停车场的月租金收入最多为多少元？ 22．（10分）（2024秋•崇川区期中）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图1中，画出劣弧AB的中点D； （2）在图2的⊙O上找一点E，使（点E与点A不重合）． 23．（10分）（2023秋•启东市期中）如图，△ABC中，DC为⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，A为切点，且AC＝AB， （1）求∠ACB的度数； （2）若BD＝6，求图中阴影部分的面积． 24．（14分）（2024秋•崇川区期中）已知抛物线y＝x2﹣2ax+2a经过A，B，M三点，其中，定点M的坐标为（m，1），A，B两点的横坐标分别为﹣a，﹣a+2，且﹣a≤m≤﹣a+2． （1）若抛物线过点（2，3），则它的对称轴是 　 　 ； （2）当﹣2≤x≤1时，二次函数的最大值为1，求a的取值范围； （3）记﹣a≤x≤﹣a+2时二次函数的最大值为y1，最小值为y2，求y1+y2的取值范围． 25．（14分）（2024秋•崇川区期中）小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． （1）【学习心得】如图1，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC＝AD，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，可得∠BDC＝ 　 　 °； （2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD．求证：∠1+∠2＝90°； （3）【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点．若点B（1，0），C（7，0）．当∠BAC最大时，求点A的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $同学你好，今天我们学习已知函数值大小关系，求参数范围。含参二次函数比较抽象，做题时往往原理痛在物理，茫茫然无从下手。只要你认真跟着老师学，你一定会豁然开朗，大彻大悟。我们来看题，在平面直角坐标系中点EM3N在抛物线Y等于AX平方加BX加CA大于零上，抛物线的对称轴是直线X等于T若M大于C小若M小于C小于A则T的取值范围是？我们先看抛物线的变化。我们看到当对称轴X等于T小于零时，在对称轴的右边Y随X的增大而增大。对于X0C0C1M3N我们可以得到，因为零小于一小于3，所以C。小瑞姆孝顺，爱你。而我们已知M小于C小于0，所以不合题意。好，下面我们来看当TW0时。当T大于0时0C这儿也有一个点是纵坐标是C如果它的横坐标是X那么X加0除以2就等于T因为这个点和这个点关于X的T对称，得到X等于RT所以这个点的坐标是RTC也可以这样求，这个长是T这个长也是TT加T等于RT我们把这个点叫做A点，横坐标是RTC所以3A银这个点就在因为A银大于C所以就在这个上面运动，或者在这个上面这个地方横坐标小于0，所以不可能。所以我们就可以得到RT小于33，一定是在Y等于C的上方的抛物线上。因为N因为M小于C因为M小于C所以点EM在Y等于C下方的抛物线上运动，也就是说在这个上面。所以一的范围就是大于0，小于2T我们把它组成不等式组，很容易求出T小于2分之3，大于2分之1，你学会了吗？ 同学你好，欢迎来到勾3股4微课堂。今天我们一起来学习九年级数学上形元及引源的最值问题。今天我们学习利用对角互补构造辅助圆，再利用垂线段最短求一条线段的最小值。如图等边三角形ABC中，AB等于6P为AB上一动点，PD垂直BCPE垂直AC则DE的最小值为多少？因为PD垂直BCPE垂直AC所以角PDC等于角PEC等于90度，所以角PDC加角PDC180度，所以四边形PDCE4鼎公园，而且直径为PC。我们假设PC的圆心为O连接ODOE。因为三角形ABC是等边三角形，所以角ACB等于60度，所以叁角EOD等于RB的角ACB等于120度，所以三角形ODE是顶角为120度的等腰三角形。顶角为120度的等腰三角形，三边之比是1比1比根号3，也就是说DE等于根号3OD也就是说等于根号3OP，OP等于2分之1PC等于二分之根号3PC所以要求DE的最小值，我们只要求到PC的最小值。我们知道C点是顶点，P点是在AB3运动。所以当CP垂直AB的时候CP最短，当CP垂直AB的时候，CP也就是AB边的中性。也是三等边三角形AB边上的高。所以AP就等于2分之1，AB等于3，所以CP等于根号3，CP的最小值就等于根号3，所以DE的最小值就等于二分之根号3乘以根号3。二分之根号3乘以3根号3。PC的最小值是三根号三等于2分之9。最低的最小值就是2分之9。 九年级数学上期中模拟试卷人教版 参考答案与评分标准 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D C A A D B D 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～16题每题4分，共22分．） 11．32° 12．1 13．2π 14．144 15． 16．． 三．解答题（共9小题） 17．（10分） 【解析】（1）原方程移项得（x+3）2﹣5（x+3）＝0， （x+3）（x+3﹣5）＝0， x+3＝0或x+3﹣5＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝2；（5分） （2）原方程因式分解得（3x﹣8）（x+1）＝0， 3x﹣8＝0或x+1＝0， 解得：．（10分） 18． （10分） 【解析】（1）证明：连接OC，如图， ∵DC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∵BD⊥CD， ∴OC∥BD， ∴∠OCB＝∠DBC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝OBC， ∴∠OBC＝∠DBC， ∴BC平分∠ABD；（5分） （2）解：过C点作CH⊥AB于H点，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC， ∵CH•ABBC•AC， ∴CH2， 在Rt△BCH中，BH1， ∵BC平分∠ABD，CH⊥BA，CD⊥BD， ∴CH＝CD， 在Rt△BCH和Rt△BCD中， ， ∴Rt△BCH≌Rt△BCD（HL）， ∴BH＝BD＝1． （10分） 19．（10分） 【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （5分） （2）由图知，对称中心的坐标为（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，2）．（10分） 20．（10分） 【解析】解：（1）将点A和点B的坐标代入y＝ax2+bx﹣4a得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4．（5分） （2）将点C（m，m+1）代入y＝﹣x2+3x+4得：m+1＝﹣m2+3m+4， 整理得：m2﹣2m﹣3＝0，（m﹣3）（m+1）＝0，m1＝3，m2＝﹣1． ∴m的值为3或﹣1．（10分） 【点评】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数解析式，解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法以及解二元一次方程的方法和步骤． 21．（12分）【解析】解：（1）根据道路的宽为x米， 根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640， 整理，得：x2﹣40x+204＝0， 解得：x1＝34（舍去），x2＝6， 答：道路的宽是6米；（4分） （2）①设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为10000元， 根据题意得：， 整理，得：a2﹣50a＝0， 解得：a1＝0（舍去），a2＝50． 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入为10000元；（8分） ②设月租金上涨b元，停车场的月租金收入为y元， 根据题意得：， 整理，得：， 所以：当b＝25时，y有最大值为10125． 答：此停车场的月租金收入最多为10125元．（12分） 22． （10分） 【解析】解：（1）取格点K，连接OK交于点D，OK⊥AB，由垂径定理可知，，点D即为所求； （5分） （2）作直径AE交⊙O于点E，点E即为所求． （10分） 23．（10分） 【解析】解：（1）连接OA， ∵AB是⊙O的切线，点A为切点， ∴∠BAO＝90°， 又∵AB＝AC，OA＝OC， ∴∠B＝∠ACB＝∠OAC， 设∠ACB＝x°，则在△ABC中， x°+x°+x°+90°＝180°， 解得：x＝30， ∴∠ACB的度数为30°；（5分） （2）∵∠ACB＝∠OAC＝30°， ∴∠AOC＝120°， ∵∠BAO＝90°，BD＝6，∠B＝30°， ∴OB＝2OA＝2OD， ∴OD＝BD＝6＝OA， ∴CD＝12， ∴ADCD＝6， ∴ACAD＝6， ∴S△AOCS△ACDAC•AD66＝9， ∴阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣三角形AOC的面积912π﹣9． （10分） 24．（14分） 【解析】解：（1）由题意，∵抛物线过点（2，3）， ∴3＝22﹣4a+2a． ∴a． ∴抛物线为y＝x2﹣x+1． ∴对称轴是直线． 故答案为：直线．（4分） （2）由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2ax+2a＝x2﹣2a（x﹣1）， ∴无论a为何值时，当x＝1时，总有y＝1． ∴定点M的坐标为（1，1）． ∴m＝1． 又对称轴是直线xa， ∴M的对称点为（2a﹣1，1）． ∵当﹣2≤x≤1时，二次函数的最大值为1， ∴2a﹣1≤﹣2， ∴， 又由﹣a≤1≤﹣a+2， ∴﹣1≤a≤1． ∴．（10分） （3）（i）当﹣1≤a＜0时，，， ∴， 当a＝﹣1时，y1+y2＝14， 当a＝0时，y1+y2＝4， ∴4＜y1+y2≤14． （ii）当时，，， ∴， 当a＝0时，y1+y2＝4， 当时，， ∴． （iii）当时，，， ∴， 当a＝1时，y1+y2＝6， 当时，， ∴． 综上，．（14分） 25．（14分） 【解析】（1）解：如图：若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A， 则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角， 而∠BDC是圆周角，可得∠BDCABC＝30°， 故答案为：30°；（5分） （2）证明：如图1，∵AB＝AC＝DA， ∴点B、C、D是在以A圆心， 以AB为半径的圆上，构建如图所示的图形， 延长CA交圆于点P，连接PB， 则∠1＝∠P， ∵∠2+∠P＝90°， ∴∠1+∠2＝90°；（10分） （3）解：如图2，当∠BAC最大时， 过B、C两点的⊙O'与y轴相切，切点为点A． 过点O'作O'H⊥BC，垂足为点H． ∵线段BC的中点坐标为（4，0），圆心O'在BC的垂直平分线上， ∴点O'横坐标为4， ∵O'A＝O'B＝4，BH＝3，∠O'HB＝90°， ∴， ∴点A的坐标为或．（14分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上期中模拟试卷（含压轴题动图讲解视频） 试 题 解 析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•冠县校级月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形进行判断即可． 详解】解：A是中心对称图形，不是轴对称图形；B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C是轴对称图形，不是中心对称图形；D是中心对称图形，不是轴对称图形； 故选：B． 【点精】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形是解题的关键． 2．（2024春•莱西市月考）一元二次方程4y2﹣4y﹣3＝0配方后可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答． 详解】解：4y2﹣4y﹣3＝0， y2﹣y0， y2﹣y， y2﹣y， （y）2＝1， 故选：B． 【点精】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键． 3．（2023秋•瑞安市月考）如图，在⊙O中，C是的中点，D是优弧ADB上一点，若∠AOB＝110°，则∠D的度数为（　　） A．70° B．55° C．40° D．27.5° 【答案】D 【分析】根据圆周角定理即可得答案． 详解】解：连接OC， ∵在⊙O中，C是的中点， ∴， ∴55°， ∴∠D27.5°． 故选：D． 【点精】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对圆周角是它所对圆心角一半是解题关键． 4．（2022秋•弥勒市期末）将抛物线C1：y＝x2+1向左平移3个单位长度得到抛物线C2，抛物线C2向上平移1个单位长度得到抛物线C3，则抛物线C3的解析式为（　　） A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x+3）2+2 【答案】D 【分析】利用平移的规律求抛物线C2与C3的解析式．平移的规律：左加右减，上加下减． 详解】解：抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线； 抛物线C2向上平移1 个单位长度得到抛物线． 故选：D． 【点精】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键． 5．（2024•渝中区校级二模）如图，⊙O的半径是6，直线EF与⊙O相切于点P，连接OE、OF分别交⊙O于点B、点C，若点A为圆周上一点且∠BAC＝37.5°，∠E＝60°，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OP，根据切线的性质得到RtOEP和RtOFP，解直角三角形求出PE，PF，即可求出EF． 详解】解：连接OP， ∵直线EF与⊙O相切于点P， ∴OA⊥EF， ∴∠OPE＝∠OPF＝90°， ∵∠BAC＝37.5°，∠E＝60°， ∴∠POE＝30°，∠EOF＝2∠BAC＝75°， ∴∠POF＝75°﹣30°＝45°， ∴∠PFO＝90°﹣45°＝45°＝∠POF， ∴PF＝OP＝6， 在RtOEP中，tan∠POE＝tan30°，OP＝6， ∴PE＝62， ∴EF＝PE+PF＝26． 故选：C． 【点精】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据切线的性质证得RtOEP和RtOFP是解决问题的关键． 6．（2023春•七星区校级期中）如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转后点P的落点坐标为（　　） A． B．（2，0） C． D．（3，1） 【答案】A 【分析】先根据点A的坐标，求出点P的坐标，再依次求出每次旋转后点P对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 详解】解：∵四边形ABOC是矩形， ∴点P是AO的中点， 又∵点A坐标为， ∴点P的坐标为（）． 令第1次旋转后点P的对应点为点P′， 分别过点P和点P′作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， OP＝OP′，∠POP′＝90°， ∴∠POM+∠P′ON＝∠POM+∠OPM＝90°， ∴∠OPM＝∠P′ON． 在△OPM和△P′ON中， ， ∴△OPM≌△P′ON（AAS）， ∴ON＝PM，P′N＝OM＝1， ∴点P′的坐标为（﹣1，）． 同理可得， 第2次旋转后，点P的对应点的坐标为（）； 第3次旋转后，点P的对应点的坐标为（）； 第4次旋转后，点P的对应点的坐标为（）； 第5次旋转后，点P的对应点的坐标为（）； …， 由此可见，每旋转4次，点P的对应点坐标按（﹣1，），（），（），（）循环出现， 又因为2023÷4＝505余3， 所以旋转2023次旋转后点P的落点坐标为（1，）． 故选：A． 【点精】本题考查点的坐标变化规律，能通过计算发现每旋转4次，点P的对应点坐标按（﹣1，），（），（），（）循环出现是解题的关键． 7．（2023春•泰山区期中）关于x的一元二次方程x2+2kx﹣1＝0（k为实数）根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求． 详解】解： 由根的判别式得，Δ＝b2﹣4ac＝4k2+4＞0， 故有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点精】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立． 8．（2024秋•硚口区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点I为△ABC的内心，若∠BIO＝2∠AIO，IO＝1，则AO的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长BI交⊙O于点D，连接AD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D＝90°，求得∠CAB∠CBA＝45°，由I为△ABC的内心，得到∠IAB＝∠IAC∠CAB，∠IBA＝∠IBC∠CBA，推出AD＝ID，得到∠AIO＝45°，求得∠BIO＝90°，根据三角形的中位线定理得到AD＝2OI＝2，根据勾股定理即可得到结论． 详解】解：延长BI交⊙O于点D，连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∴∠CAB∠CBA＝45°， ∵I为△ABC的内心， ∴∠IAB＝∠IAC∠CAB，∠IBA＝∠IBC∠CBA， ∴∠DIA＝∠IAB+∠IBA∠CAB∠CBA＝45°， ∴∠DAI＝∠DIA＝45°，∠AIB＝180°﹣∠DIA＝135°， ∴AD＝ID， ∵∠BIO＝2∠AIO，∠AIO+∠BIO＝∠AIB＝135°， ∴∠AIO+2∠AIO＝135°， ∴∠AIO＝45°， ∴∠BIO＝90°， ∴OI⊥BD， ∴AD＝ID＝IBBD， ∵AO＝OB， ∴AD＝2OI＝2， ∴BD＝4， ∴AB2， ∴AO， 故选：D． 【点精】此题重点考查直径所对的圆周角是直角、三角形的内切圆的定义与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂径定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（2024秋•海安市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△ADE，G为EC的中点．则DG的长是（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】推导出四边形ABFD为正方形，进而得到DF＝BF＝AB＝3，∠F＝90°，FH＝2，CF＝2，进而得到△CFH是等腰直角三角形，利用勾股定理求得CH＝2，由中线的性质求得DG即可． 详解】解：如图，延长BC、ED交于点F，在DF上取点H使得DE＝DH，连接CH， 由旋转的性质得：DE＝BC＝1，AD＝AB＝3，∠BAD＝90°，∠ADE＝∠ABC＝90°， ∴∠ADF＝∠BAD＝∠ABF＝90°， ∴四边形ABFD为矩形， 又∵AB＝AD， ∴四边形ABFD为正方形， ∴DF＝BF＝AB＝3，∠F＝90°， ∵DE＝DH＝1，BC＝1， ∴FH＝DF﹣DH＝2，CF＝BF﹣BC＝2， ∴△CFH是等腰直角三角形， 在直角三角形CFH中，由勾股定理： ， ∵点D、G分别为EH、EC的中点， ∴DG为△ECH的中线， ∴， 故选：B． 【点精】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，求得三角形CFH是等腰直角三角形是解答本题的关键． 10．（讲解视频）（2024秋•崇川区期中）在平面直角坐标系中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，抛物线的对称轴是直线x＝t，若m＜c＜n，则t的取值范围是（　　） A．t＜1 B．0＜t＜1 C． D． 【答案】D 【分析】由m＜c＜n，可得﹣3a＜b＜﹣a，即知，故t． 详解】解：∵m＜c＜n， ∴a+b+c＜c＜9a+3b+c， 解得﹣3a＜b＜﹣a， ∴a＜﹣b＜3a， ∵a＞0， ∴， 即t， 故选：D． 【点精】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据已知求出b与a的关系． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～16题每题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（2025秋•西城区月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧BC上一点，∠CEA＝32°，则∠ABD＝ 　32°　 ． 【答案】32°． 【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理解答即可． 详解】解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴， ∴∠ABD＝∠CEA＝32°． 故答案为：32°． 【点精】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等、垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 12．（2025秋•黄埔区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 　1　 ． 【答案】1． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，4），则对称轴是直线x＝﹣1，又图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，从而根据对称性可得，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：﹣1+（﹣1+3）＝1，进而可以得解． 详解】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，4）， ∴对称轴是直线x＝﹣1． 又∵图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：﹣1+（﹣1+3）＝1． 故答案为：1． 【点精】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 13．（2024秋•崇川区期中）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为　2π　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OD，根据菱形的性质得到OA＝AB，得到△OAB为等边三角形，根据切线的性质得到OD⊥AB，根据余弦的定义求出OD，根据菱形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案． 详解】解：连接OD， ∵四边形OABC为菱形， ∴OA＝AB， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝AB， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠A＝∠AOB＝60°， ∵AB是⊙O的切线， ∴OD⊥AB， ∴OD＝， 同理可知，△OBC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴图中阴影部分的面积＝22π， 故答案为：2π． 【点精】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键． 14．如图，正五边形的边，与分别相切于点，，点在上，连接，，则的度数为 　144　． 【答案】144． 【解答】解：如图，连接，，在优弧上取一点，连接，， 五边形是正五边形， 正五边形的边，与分别相切于点，， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ． 故答案为：144． 15．（2024秋•海安市期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了 　　 米． 【答案】． 【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论． 详解】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t）2， ∴汽车刹车后到停下来前进了米． 故答案为：． 【点精】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键． 16．（动图讲解视频）（2024•曲江区三模）如图，等边△ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为 　　 ． 【分析】如图，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，过点O作OH⊥DE于H．首先证明△ODE是顶角为120°的等腰三角形，当OE的值最小时，DE的值最小，求出PC的最小值，可得结论． 【详解】解：如图，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，过点O作OH⊥DE于H． ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝6， ∵PD⊥BC，PE⊥AC， ∴∠PEC＝∠PDC＝90°， ∵OP＝OC， ∴OE＝OP＝OC＝OD， ∴C，D，P，E四点共圆， ∴∠EOD＝2∠ECD＝120°， ∴当OE的值最小时，DE的值最小， 根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，PC＝3，此时OE的值最小，OE， ∵OE＝OD，OH⊥DE， ∴DH＝EH，∠DOH＝∠EOH＝60°， ∴DH＝EH， ∴DE＝2DH， ∴DE的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当CP⊥AB时DE最小是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．（10分）（2025春•义乌市校级月考）解下列方程： （1）（x+3）2＝5（x+3）； （2）3x2﹣5x﹣8＝0． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝2； （2）． 【分析】（1）先移项，再用因式分解法求解； （2）直接利用因式分解法求解． 详解】（1）原方程移项得（x+3）2﹣5（x+3）＝0， （x+3）（x+3﹣5）＝0， x+3＝0或x+3﹣5＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝2； （2）原方程因式分解得（3x﹣8）（x+1）＝0， 3x﹣8＝0或x+1＝0， 解得：． 【点精】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 18．（10分）（2024秋•海安市期中）如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD于点D，连接CB． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，AB＝5，求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OC，如图，先根据切线的性质得到OC⊥CD，再证明OC∥BD，所以∠OCB＝∠DBC，然后证明∠OBC＝∠DBC得到结论； （2）过C点作CH⊥AB于H点，如图，先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC，再利用面积法求出CH＝2，则可计算出BH＝1，接着根据角平分线的性质得到CH＝CD，然后证明Rt△BCH≌Rt△BCD得到BH＝BD． 详解】（1）证明：连接OC，如图， ∵DC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∵BD⊥CD， ∴OC∥BD， ∴∠OCB＝∠DBC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝OBC， ∴∠OBC＝∠DBC， ∴BC平分∠ABD； （2）解：过C点作CH⊥AB于H点，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC， ∵CH•ABBC•AC， ∴CH2， 在Rt△BCH中，BH1， ∵BC平分∠ABD，CH⊥BA，CD⊥BD， ∴CH＝CD， 在Rt△BCH和Rt△BCD中， ， ∴Rt△BCH≌Rt△BCD（HL）， ∴BH＝BD＝1． 【点精】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 19．（10分）（2024秋•海安市期中）如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，5），B（4，6），C（2，3）． （1）将△ABC绕点（0，3）逆时针旋转90°得到△A1B1C1，画出旋转后的图形； （2）若△ABC与△A2B2C2成中心对称，其中点A与点A2是对称点，且A2（﹣3，﹣1），则对称中心的坐标为 　（﹣1，2）　 ． 【答案】（1）见解答；（2）（﹣1，2）． 【分析】（1）分别作出三个顶点绕点（0，3）逆时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质求解即可． 详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）由图知，对称中心的坐标为（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，2）． 【点精】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质． 20．（10分）（2022秋•庐阳区校级期中）抛物线y＝ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0），B（0，4）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知另一点C（m，m+1）在抛物线y＝ax2+bx﹣4a上，求m的值． 【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4； （2）3或﹣1． 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入y＝ax2+bx﹣4a，用待定系数法求解即可； （2）将点C（m，m+1）代入（1）中求得的函数表达式即可求出m的值． 详解】解：（1）将点A和点B的坐标代入y＝ax2+bx﹣4a得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4． （2）将点C（m，m+1）代入y＝﹣x2+3x+4得：m+1＝﹣m2+3m+4， 整理得：m2﹣2m﹣3＝0，（m﹣3）（m+1）＝0，m1＝3，m2＝﹣1． ∴m的值为3或﹣1． 【点精】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数解析式，解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法以及解二元一次方程的方法和步骤． 21．（12分）（2023春•西湖区校级期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． ①当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？ ②求此停车场的月租金收入最多为多少元？ 【答案】（1）道路的宽是6米； （2）①当每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入为10000元；②此停车场的月租金收入最多为10125元． 【分析】（1）由题意知，道路的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答； （2）①设车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量是个，根据“月租金＝每个车位的月租金×车位数”列出方程并解答； ②设车位的月租金上涨b元，则租出的车位数量是个，根据“月租金＝每个车位的月租金×车位数”列出函数表达式，进而求解． 详解】解：（1）根据道路的宽为x米， 根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640， 整理，得：x2﹣40x+204＝0， 解得：x1＝34（舍去），x2＝6， 答：道路的宽是6米； （2）①设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为10000元， 根据题意得：， 整理，得：a2﹣50a＝0， 解得：a1＝0（舍去），a2＝50． 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入为10000元； ②设月租金上涨b元，停车场的月租金收入为y元， 根据题意得：， 整理，得：， 所以：当b＝25时，y有最大值为10125． 答：此停车场的月租金收入最多为10125元． 【点精】考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程或函数关系式是解题关键． 22．（10分）（2024秋•崇川区期中）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图1中，画出劣弧AB的中点D； （2）在图2的⊙O上找一点E，使（点E与点A不重合）． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【分析】（1）取格点K，连接OK交于点D，根据网格图可知，OK⊥AB，由垂径定理可知，，点D即为所求； （2）作直径AE交⊙O于点E，点E即为所求． 详解】解：（1）取格点K，连接OK交于点D，OK⊥AB，由垂径定理可知，，点D即为所求； （2）作直径AE交⊙O于点E，点E即为所求． 【点精】本题考查作图﹣应用与设计作图，圆心角、弧、弦的关系，三角形的外接圆与外心，熟练应用垂径定理是解题的关键． 23．（10分）（2023秋•启东市期中）如图，△ABC中，DC为⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，A为切点，且AC＝AB， （1）求∠ACB的度数； （2）若BD＝6，求图中阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据切线的性质证明∠B＝∠ACB＝∠OAC，进而求得∠ACB的度数； （2）根据阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣三角形AOC的面积即可解决问题． 详解】解：（1）连接OA， ∵AB是⊙O的切线，点A为切点， ∴∠BAO＝90°， 又∵AB＝AC，OA＝OC， ∴∠B＝∠ACB＝∠OAC， 设∠ACB＝x°，则在△ABC中， x°+x°+x°+90°＝180°， 解得：x＝30， ∴∠ACB的度数为30°； （2）∵∠ACB＝∠OAC＝30°， ∴∠AOC＝120°， ∵∠BAO＝90°，BD＝6，∠B＝30°， ∴OB＝2OA＝2OD， ∴OD＝BD＝6＝OA， ∴CD＝12， ∴ADCD＝6， ∴ACAD＝6， ∴S△AOCS△ACDAC•AD66＝9， ∴阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣三角形AOC的面积912π﹣9． 【点精】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握切线的性质和扇形面积公式是解题关键． 24．（14分）（2024秋•崇川区期中）已知抛物线y＝x2﹣2ax+2a经过A，B，M三点，其中，定点M的坐标为（m，1），A，B两点的横坐标分别为﹣a，﹣a+2，且﹣a≤m≤﹣a+2． （1）若抛物线过点（2，3），则它的对称轴是 　直线　 ； （2）当﹣2≤x≤1时，二次函数的最大值为1，求a的取值范围； （3）记﹣a≤x≤﹣a+2时二次函数的最大值为y1，最小值为y2，求y1+y2的取值范围． 【答案】（1）直线；（2）；（3）． 【分析】（1）依据题意，由抛物线过点（2，3），可得3＝22﹣4a+2a，从而求出a的值，故抛物线为y＝x2﹣x+1，进而计算可以得解； （2）依据题意，由抛物线为y＝x2﹣2ax+2a＝x2﹣2a（x﹣1），可得定点M的坐标为（1，1），故m＝1，又对称轴是直线xa，则M的对称点为（2a﹣1，1），结合当﹣2≤x≤1时，二次函数的最大值为1，从而2a﹣1≤﹣2，则，又由﹣a≤1≤﹣a+2，进而﹣1≤a≤1，最后可以判断得解； （3）依据题意，可分：当﹣1≤a＜0时、当时和当时三种情形进行讨论，然后逐个计算可以得解． 详解】解：（1）由题意，∵抛物线过点（2，3）， ∴3＝22﹣4a+2a． ∴a． ∴抛物线为y＝x2﹣x+1． ∴对称轴是直线． 故答案为：直线． （2）由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2ax+2a＝x2﹣2a（x﹣1）， ∴无论a为何值时，当x＝1时，总有y＝1． ∴定点M的坐标为（1，1）． ∴m＝1． 又对称轴是直线xa， ∴M的对称点为（2a﹣1，1）． ∵当﹣2≤x≤1时，二次函数的最大值为1， ∴2a﹣1≤﹣2， ∴， 又由﹣a≤1≤﹣a+2， ∴﹣1≤a≤1． ∴． （3）（i）当﹣1≤a＜0时，，， ∴， 当a＝﹣1时，y1+y2＝14， 当a＝0时，y1+y2＝4， ∴4＜y1+y2≤14． （ii）当时，，， ∴， 当a＝0时，y1+y2＝4， 当时，， ∴． （iii）当时，，， ∴， 当a＝1时，y1+y2＝6， 当时，， ∴． 综上，． 【点精】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 25．（14分）（2024秋•崇川区期中）小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． （1）【学习心得】如图1，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC＝AD，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，可得∠BDC＝ 　30　 °； （2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD．求证：∠1+∠2＝90°； （3）【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点．若点B（1，0），C（7，0）．当∠BAC最大时，求点A的坐标． 【答案】（1）30°； （2）证明见解答； （3）点A的坐标为或． 【分析】（1）如图：若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，即可求解； （2）以AB为半径的圆上，构建如图所示的图形，延长CA交圆于点P，连接PB，则∠1＝∠P，即可求解； （3）如图2，当∠BAC最大时，线段BC的中点坐标为（4，0），圆心O'在BC的垂直平分线上，即可求解． 详解】（1）解：如图：若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A， 则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角， 而∠BDC是圆周角，可得∠BDCABC＝30°， 故答案为：30°； （2）证明：如图1，∵AB＝AC＝DA， ∴点B、C、D是在以A圆心， 以AB为半径的圆上，构建如图所示的图形， 延长CA交圆于点P，连接PB， 则∠1＝∠P， ∵∠2+∠P＝90°， ∴∠1+∠2＝90°； （3）解：如图2，当∠BAC最大时， 过B、C两点的⊙O'与y轴相切，切点为点A． 过点O'作O'H⊥BC，垂足为点H． ∵线段BC的中点坐标为（4，0），圆心O'在BC的垂直平分线上， ∴点O'横坐标为4， ∵O'A＝O'B＝4，BH＝3，∠O'HB＝90°， ∴， ∴点A的坐标为或． 【点精】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，判断四点共圆是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $