15.2 画轴对称的图形 第2课时 教案 2025--2026学年人教版八年级数学上册

第15章 轴对称 15.2《画轴对称的图形》 第2课时 用坐标表示轴对称   一、教材分析 本节课是人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十五章轴对称15.2画轴对称的图形第2课时《用坐标表示轴对称》. 《用坐标表示轴对称》是初中数学八年级上册的重要内容，承接了之前轴对称图形和平面直角坐标系的学习，为后续函数图象的学习奠定基础，是数形结合思想的重要体现，起到了承上启下的作用. 教材先通过具体的点在平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的实例，引导学生观察、分析对称点坐标的变化规律，进而归纳出一般结论.随后，通过例题和练习，让学生运用规律在坐标系中画出简单图形关于坐标轴的对称图形，巩固所学知识，培养学生的动手能力和应用意识.   二、教学目标 1.理解在平面直角坐标系中，已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标的变化规律； 2.能利用坐标的变化规律在平面直角坐标系中画出一个图形的轴对称图形，加深对轴对称的理解和掌握； 3.在探索坐标轴对称点坐标规律以及绘制轴对称图形的过程中，充分体验到学习数学的乐趣，激发对数学学科的浓厚兴趣和探索欲望．   三、教学重难点 重点：理解在平面直角坐标系中，已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标的变化规律． 难点: 能利用坐标的变化规律在平面直角坐标系中画出一个图形的轴对称图形，加深对轴对称的理解和掌握．   四、教学过程 · 复习回顾 已知点A和一条直线l ，你能画出这个点关于已知直线l的对称点吗? 1.过点A作直线 l 的垂线，在垂线上截OA′ = OA，垂足为点O； 2.点A′ 就是点A关于直线 l 的对称点. 思考：在平面直角坐标系中，分别以 x 轴和 y 轴为对称轴时，一对对称点的坐标之间有什么关系呢？ 师生活动： 教师展示回顾的内容，学生回答问题. 设计意图：通过引导学生回顾画轴对称图形的方法，引导学生思考当 x 轴和 y 轴为对称轴时，在平面坐标系中如何画轴对称图形，为后面学习做铺垫，吸引学生的课堂注意力:由浅入深，激发学习兴趣. · 探究新知 活动一：探究关于x 轴对称的规律 问题1： 在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于x 轴对称的点，把它们的坐标填入表格中，观察每对对称点的坐标，你能发现什么规律？ 师生活动:教师提出问题，学生小组合作画出每对对称点的坐标并回答问题. 答： 总结：关于x轴对称的每对对称点：横坐标相等，纵坐标互为相反数. 问题2：画一画在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点. 师生活动： 教师呈现问题，学生独立画图操作. 答： 关于 x 轴对称 (x，y) ( x， - y) 设计意图：通过画关于x轴的对称点，引导学生理解关于x 轴对称的点的坐标的变化规律，同时培养学生的动手能力. 关于x 轴对称的点的坐标的变化规律： 横坐标不变，纵坐标变为相反数.简称：横同纵反 关于 x 轴对称 (x，y) (x，- y ) 活动二：探究关于y轴对称的规律 问题3：在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于y轴对称的点，把它们的坐标填入表格中，观察每对对称点的坐标，你能发现什么规律？ 师生活动:教师提出问题，学生思考画出每对对称点的坐标并回答问题. 答： 总结：关于y 轴对称的每对对称点：横坐标互为相反数，纵坐标相等. 问题4：画一画在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点. 师生活动:教师引导学生画出关于y轴的对称点，通过观察分析，关于 y 轴对称的点的坐标的变化规律. 答： 关于y轴对称 (x，y) ( -x，y) 关于 y 轴对称的点的坐标的变化规律： 横坐标_相反数 ，纵坐标变为_不变_.简称：横反纵同 关于y轴对称 (x，y) (-x，y) 归纳： 点 (x，y)关于x轴对称的点的坐标为 (x，－y)； 点 (x，y)关于y轴对称的点的坐标为 (－x，y)． ①在平面直角坐标系中，我们可以利用上述规律画出与一个图形关于x轴或 y轴对称的图形． ②对于一些规则的几何图形，只要先求出已知图形中的一些关键点 (如三角形的顶点)关于坐标轴对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于坐标轴对称的图形． 设计意图：通过画关于y轴的对称点，引导学生理解关于y 轴对称的点的坐标的变化规律，同时培养学生的动手能力. · 应用新知 【教材练习】 师生活动：教师展示例题，提示学生仔细审题. 学生思考并尝试解答.教师讲解完后，询问学生是否理解每一步的操作，鼓励学生提出疑问. 例1 如图，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(-5，1)，B(-2，1)，C(-2，5)，D(-5，4)，画出与四边形ABCD 关于 y 轴对称的图形. 分析：在平面直角坐标系中，确定点的位置需依据其横、纵坐标，根据关于y轴对称的点的坐标规律解题即可. 解：点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，因此四边形ABCD 的顶点A，B，C，D 关于y轴对称的点分别为： A′( 5，1)， B′(2，1)， C′( 2，5)， D′(5，4)， 依次连接 A′B′ ，B′C′， C′D′ ，D′A′就可得到与四边形ABCD 关于y轴对称的四边形A′B′C′D′ 追问：你能画出与四边形ABCD关于x轴对称的图形吗？ 解：点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标为(x，-y)，因此四边形ABCD 的顶点A，B，C，D 关于x 轴对称的点分别为： A′′(-5， -1)， B′′ (-2，-1)， C′′( -2，-5)， D′′( -5，-4)， 依次连接 A′′B′′ ，B′′C′′ ， C′′D′′ ，D′′A′′就可得到与四边形ABCD 关于x轴对称的四边形A′′B′′C′′D′′ 【经典例题】 例2 平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，4)，B(2，4)，C(3，-1). (1)试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； (2)若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标. 分析：在平面直角坐标系中，确定点的位置需依据其横、纵坐标，根据关于 x 轴对称的点的坐标规律解题即可. 解：如图所示： 师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答. 设计意图：出示例题，引导学生运用新学的知识解决简单的问题，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标： (-2，6)，(1，-2)，(-1，3)，(-4，-2)，(1，0) ． 分析：点 (x，y)关于x轴对称的点的坐标为 (x，－y)； 点 (x，y)关于y轴对称的点的坐标为 (－x，y)． 解：关于x轴对称的点的坐标： (-2，-6)，(1，2)，(-1，-3)，(-4，2)，(1，0)． 关于y轴对称的点的坐标： (2，6)，(-1，-2)，(1，3)，(4，-2)，(-1，0)． 2. 如图△ABO关于x轴对称，点A的坐标为 (1，-2)， 写出点B的坐标. 分析：平面直角坐标系中，任意一点(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x，-y)，即横坐标不变，纵坐标变为相反数. 解：∵△ABO关于x轴对称， ∴点B和点A关于x轴对称， 即B的坐标为 (1，2)． 3.如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC 关于x轴和y轴对称的图形. 分析：首先要求出三角形的顶点关于坐标轴对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于坐标轴对称的图形． 解：如图所示 师生活动：学生独立完成练习，教师巡视，了解学生的掌握情况，对有困难的学生进行个别辅导.完成后，教师进行讲解和总结. 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力. 【限时训练】 1.点P(–5， 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________. 2.点M(a，–5)与点N(–2， b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____. 3.已知点A(2a＋3b，–2)和点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，则a＋b＝ ． 分析：3.根据任意一点(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x，-y)，所以可得2a+3b=8，3a+2b=2，最后求解方程组可得a+b=2. 答：1. (5，6 )； 2. a=2，b =-5； 3. a+b=2. 4.已知点A(2a+b，-4)，B(3，a-2b)关于y轴对称，求点C(a，b)在第几象限？ 分析：根据题意点A(2a+b，-4)，B(3，a-2b)关于y轴对称，所以可得2a+b=-3，a-2b=-4，最后求解方程组即可. 解：∵点A(2a+b，-4)，B(3，a-2b)关于y轴对称， ∴2a+b=-3，a-2b=-4．解得a=-2，b=1 ∴C(-2，1)在第二象限． 5.已知点P(a＋1，2a–1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围． 分析：P点关于x轴的对称点在第一象限，故P点在第四象限，所以a＋1>0，2a–1<0． 解：依题意得点P在第四象限， 解得－1＜a＜ 即a的取值范围是－1＜a＜. 总结：解决此类题，一般先写出对称点的坐标或判断已知所在的象限，再由各象限内点的坐标的符号，列不等式(组)求解． 设计意图：加深学生对知识进一步理解的同时，并学会运用知识解题. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.关于坐标轴对称的点的坐标特征是什么？ 3.在坐标系中作已知图形的对称图形作图方法是什么？ 设计意图：通过小结学生能够进一步熟悉巩固本节课所学的知识 学科网（北京）股份有限公司 $