精品解析：江西省南昌市南昌二中初中部2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025－2026学年第一学期期中阶段性学习质量检测 初二数学 说明：1．本卷共六题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上做答，否不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 5. 如图，，是的两条中线，连接．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6. 如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则________． 8. 如图，在与中，E在边上，，，，若，则的度数为______． 9. 如图．在中，，平分，于，周长为，，则的周长是______． 10. 若对任意的x恒成立，则n的值是________． 11. 小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离_______． 12. 在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简：． （2）先化简，再求值：，其中． 14. 如图，，，，求证：． 15. 有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较，的大小． 解：设， 那么，． 因为，所以． 看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若，，试比较，的大小． 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点都是格点，点是线段上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用线表示． （1）在图1中，画出的中线和高； （2）在图2中，在线段上取一点，使得． 17. 小莹将两把完全相同的长方形直尺和如图放置，两把直尺的接触点为，的延长线经过点且与相交于点． （1）试说明点在的角平分线上； （2）已知点，在直尺上的刻度读数分别是和，求的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 19. 如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角，求帽子顶角的度数． （2）设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则________． ②当时，帽子比较美观，求此 时y的值． 20. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到数学中常用到的一个公式：请解答下列问题： （1）观察图2，写出图2中所表示的等式 ； （2）已知上述等式中的三个字母，，可取任意数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值； （3）如图3，将边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 五．（本大题2小题，共18分） 21. 【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 22. 如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时， ， ； （2）线段的长度为何值时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 六．（本大题1小题，共12分） 23. （1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期中阶段性学习质量检测 初二数学 说明：1．本卷共六题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上做答，否不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，利用判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式乘法法则；单项式除法法则，积的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A． 与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B． 应为，故本选项不符合题意； C． ，故本选项符合题意； D． 应为，故本选项不符合题意． 故选C． 【点睛】考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，比较基础，掌握运算法则是解题的关键． 4. 如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，分割法求三角形的面积，根据作图可知，平分，根据角平分线的性质，得到点到的距离相等，均为的长，再根据分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∴； 故选B． 5. 如图，，是的两条中线，连接．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先求出，进而可得． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线，即D为的中点， ∴是的中线， ∴， 故选C． 6. 如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 8. 如图，在与中，E在边上，，，，若，则的度数为______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理．证明得到，再根据三角形内角和定理和平角的定义可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9. 如图．在中，，平分，于，周长为，，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果． 【详解】解：是的平分线，，， ， 周长为8， ， 在和中， ， ∴ ， 的周长为：． 故答案为：． 10. 若对任意的x恒成立，则n的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘法去括号，得出关于m的关系式进而求出m的值，进一步求出n的值． 【详解】解：∵ 而 ∴ ∴， ∴ 故答案为：1． 11. 小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离_______． 【答案】##5米 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，先过点作于点F，再证明，可得，再由可得答案． 【详解】解：过点作于点F， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为___________． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定，对称图形点坐标变化，取线段的垂直平分线，根据成轴对称的两个图形全等求解即可． 【详解】解：如图，取线段的垂直平分线，作关于直线的对称点，分别作和关于轴的对称点，， ∵， ∴线段的垂直平分线为， ∴和关于直线对称， ∵作关于直线的对称点， ∴，与关于直线对称， ∴，此时，  ∵关于轴的对称点是，关于轴的对称点是， ∴，， 综上所述，以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为，，， 故答案为：，，． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，幂的乘方，同底数幂相乘， 对于（1），根据幂的乘方计算，再合并同类项即可； 对于（2），先根据整式的乘法法则计算，再将数值代入计算． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当时， 原式． 14. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证明是解题的关键； 根据可得，根据可得，证明，即可得到结论． 【详解】略 15. 有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较，的大小． 解：设， 那么，． 因为，所以． 看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若，，试比较，的大小． 【答案】 解：学会了，此时，的大小关系为， 设， 则， ， ， ； ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算，解题关键是正确理解题意，掌握题目所给将较大数值计算问题转化为整式混合运算的方法和步骤． 设，则，，根据整式混合 运算的法则，分别计算出，的值即可比较大小． 【详解】略 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点都是格点，点是线段上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用线表示． （1）在图1中，画出的中线和高； （2）在图2中，在线段上取一点，使得． 【答案】（1） 为所求； 即为所求； （2）点Q即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形是平行四边形，设交点为M，根据平行四边形的性质，得这个交点是对角线的中点，连接，则即为所求； 易证，，故，故为所求； （2）取的中点R，连接，，交于点O，则直线是线段的垂直平分线，连接，并延长交于点Q，，解答即可． 本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握性质，灵活作图是解题的关键． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， 设交点为M，根据平行四边形的性质，得这个交点是对角线的中点， 连接， 则即为所求； 如图，易证， 得， 根据题意，， 故， 故， 故为所求； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 取的中点R，连接，，交于点O， 则直线是线段的垂直平分线， 故， 连接，并延长交于点Q， 根据题意，， 得， 故， 于是， 即， 则点Q即为所求． 17. 小莹将两把完全相同的长方形直尺和如图放置，两把直尺的接触点为，的延长线经过点且与相交于点． （1）试说明点在的角平分线上； （2）已知点，在直尺上的刻度读数分别是和，求的长． 【答案】（1） 解：如图，作于点，连接， ∵四边形和四边形是完全相同的长方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴点在的平分线上， （2）． 【解析】 【分析】（）作 于点，连接，由四边形和四边形是完全相同的长方形，可知，，则点在的平分线上； （）连接，则平分，所以，而，则，所以； 本题考查了等角对等边，角平分线的判定，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求作： （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； 【小问3详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 19. 如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角，求帽子顶角的度数． （2）设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则________． ②当时，帽子比较美观，求此 时y的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由可求得，再由折叠的性质得，在中，即可求得答案； （2）①由题意可知，，因此，，进而可得，在中，即可用含x的代数式表示y； ②由①知，，根据，可求得，代入即可求出y的值． 【小问1详解】 由题意可知， ， 又， ， 由折叠的性质得：， ， 由折痕角可知： 在中，； 【小问2详解】 ①由题意可知，， ，， ， 设度，度，则度， 在中，， ； ②由①知，， ，， 由， ， ， 即， 由①知， ． 20. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到数学中常用到的一个公式：请解答下列问题： （1）观察图2，写出图2中所表示的等式 ； （2）已知上述等式中的三个字母，，可取任意数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值； （3）如图3，将边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． （1）由图形面积很容易得出； （2）直接套用（1）中结论即可得解； （3）由图形可发现，再将边长代入，然后利用完全平方公式变形即可得解． 【小问1详解】 解：由图形可得等式：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，，，且， ∴ ， ∴． 【小问3详解】 解： ， ∵，， ∴． 五．（本大题2小题，共18分） 21. 【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 【答案】（1）3，4； （2）24，计算过程： 设，，则，， ∵， ∴， ∴； （3）6，理由如下： 设，，则，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设，，则，，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：3，4； （2）略 （3）略 22. 如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时， ， ； （2）线段的长度为何值时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）25，65 （2） 解：当时，， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）可以，或 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：25；65． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， 此时，点D与点B重合，不合题意； ③当时，， ∴； 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等判定方法，证明． 六．（本大题1小题，共12分） 23. （1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 【答案】（1）； （2），理由如下： ， ， ， ， 由（1）可知： , ； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）由“”可证，可得，，，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：（1）在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2） 略 （3）如图，在上取一点，使 ，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 且， ， ， ， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $