专题04 圆9大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期人教版

专题04 圆（期末真题汇编，安徽专用） 9大高频考点概览 考点01 垂径定理 考点02 圆心角与圆周角 考点03 切线的性质与判定 考点04 正多边形和圆 考点05 弧长和扇形面积的计算 考点06 圆的综合 考点07 圆中常见的辅助线 考点08圆中的最值问题 考点09 不规则图形面积的求法 地 城 考点01 垂径定理 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理及其推论判断即可． 【详解】解：∵是的直径与弦交于点，， 根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点， ∴， ， 但不能证明，故选项说法错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，为的一条弦，垂直平分交于点C，若，则的半径为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．连接，，设的半径为，根据垂径定理得点在半径上，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接，，设的半径为， ∵垂直平分，， ∴点在半径上，， ， 在中，，即． 解得，． 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过圆心O作交于点D，交于点C，连接，先利用垂径定理求出，进而在中利用勾股定理求出，再求出的长即可解答． 【详解】解：如图所示，过圆心O作交于点D，交于点C，连接， ， ， 的直径为， ， 在中，， ， ， 水的最大深度为． 故选：B． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，半径为6的沿弦折叠，弦恰好经过圆心，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，过点作于交于，勾股定理求出，然后再进一步求解即可． 【详解】解：连接，，过点作于交于． ∴，    由题意垂直平分线段，， ， ∴， ， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，作半径于，连接， 由垂径定理得，， ∵直径为， ∴， 在中，， 当水位上升到圆心以下时，水面宽为，则， 在中，， 此时水面上升的高度为； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为； 综上可得，水面上升的高度为或， 故答案为：或． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在圆O中，弦长，点C是弧中点，交弦于点D，．则圆O的半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 如图．设.利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，设. ∵C是的中点， ， 在中，， ， 解得． 故答案为：4． 三、解答题 7．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，半径弦于点C，交于点D，是的直径，连接，若，，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，易证是的中位线，求出，再根据勾股定理求出，即可作答． 【详解】解：由题意可知．垂直平分，． 点是中点， 又∵是的直径．即点是中点， ∴是的中位线． ∴． 在中， ∵． ∴． ∴． 8．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？ 【答案】这根圆形木材的直径为26寸 【分析】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．解决问题的关键是从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解． 【详解】解：由题可知， ∵为半径， ∴尺寸， 设， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴这根圆形木材的直径为26寸． 地 城 考点02 圆心角与圆周角 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，线段是的直径，弦于点．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理等知识点，掌握圆的基本性质定理是解题的关键． 如图：连接，根据垂径定理可得，继而得到，再根据圆周角定理求解即可， 【详解】解：如图：连接， ∵线段是的直径，弦于点．， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，点，，，在上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的性质，求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵点，，，在上，， ∴， ∴； 故选B． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键． 根据，以点为圆心的半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，以点为圆心的半圆的直径和重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，内接于，若，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．连接，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据圆周角的定理求的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 5.（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，是的直径，点，，均在上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先求解，再证明，再结合角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为： 6．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，内接于，，于点，若，，则的半径为 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质，连接和，根据，于点，推出，算出，根据勾股定理算出，证是等腰直角三角形，根据代入计算即可，，掌握知识点计算是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接和， ，于点，，， ，，， ， ， ，（同弧所对圆周角是圆心角的一半） 又， 是等腰直角三角形， ， 故答案为： 三、解答题 7．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据弧与弦的关系，得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，是四边形的一个外角，得出，进而得出，根据，即可得证． 【详解】证明：， ∴ ， ∵四边形是圆内接四边形， ， ， 由圆周角定理得，， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，弦与弧的关系，掌握以上知识是解题的关键． 8．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等，可求得，进一步可推得，再根据同弧所对的圆周角相等，即得答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， 平分， ， ． 地 城 考点03 切线的性质与判定 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的值．根据切线长定理求出，，，得出等边三角形，推出，根据，求出，进而求出，即可求出答案． 【详解】解：∵与三边分别切于三点， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，切线的判定和性质．利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质即可判断选项A、B、D正确；假设成立，证明是等边三角形，推出是的切线，与题设相矛盾，可判断选项C不正确． 【详解】解：连接， ∵平分， ∴设， 若， ∴， 则，选项A正确，不符合题意； 若，又∵， ∴， ∴，选项B正确，不符合题意； 若切于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，选项D正确，不符合题意； 连接，假设成立， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，即， ∴切于点， 而题设并没有是的切线这一条件， ∴假设不成立，选项C不正确，符合题意． 故选：C． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，与边长为的正方形的边相切，且A、B两点在上，则圆的半径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，切线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．设切点为E，连接交于点F，求出，，连接交于点G，则，，设半径为r，则，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，设切点为E，连接交于点F， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴， 连接交于点G， ∴， ∴．， 设半径为r，则， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得，即的半径长是． 故选B． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长． 【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，， ，，， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的半径为4，与相切，切点为B．若，则的周长为 ．    【答案】 【分析】如图，连接，则，，则，，由勾股定理得，由，可得，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，则，    ∵与相切，切点为B， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，含的直角三角形，等角对等边，勾股定理等知识．熟练掌握切线的性质，含的直角三角形，等角对等边，勾股定理是解题的关键． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径；连接，根据切线性质得，再根据直角三角形的锐角互余得，根据圆周角定理进而求得，然后根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：连接， 与圆O相切于点M， ； ∵， ； ∵， ， ， ； ∵， ； 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图1，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，为的切线，点F在延长线上， (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、垂径定理等知识． （1）连接，证明，则，由为的切线，得到，则，进一步证明，即可得到结论； （2）设，则，在中，，解得，得到，，则，即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ （2）如图， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的外接圆．是的直径，过点O作于点E，延长至点D，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、勾股定理、三角形的面积公式、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据垂线的定义得到，求得，根据等腰三角形的性质得出，推出，根据切线的判定定理即可得出结论； （2）由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，最后再由垂径定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 地 城 考点04 正多边形和圆 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，正八边形内接于，且的半径为，则的面积为（    ）    A．8 B． C． D．16 【答案】C 【分析】本题考查多边形面积．根据题意将正八边形对角线依次连接后再连接，先求出中间正方形面积，再求出周边四个三角形面积后相加即可得到本题答案． 【详解】解：将正八边形对角线依次连接后再连接，使与交点为，如下图：    ∵的半径为，正八边形每个内角为，即， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴在中应用勾股定理：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴四边形的面积为：， ∴， ∴面积为：， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽黄山·期末）如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键． 由圆的面积求出，证明是等边三角形，得到，由垂径定理得到，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴ ∵六边形为正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 二、解答题 4．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）仔细阅读以下画图过程，并解决问题： 如图1，已知及圆上一点.作法： ①如图2，连接并以为边作交于点； ②在圆上依次取点，点，点，点，使得； ③顺次连接各点，得到六边形； ④如图3，过点作的切线，交延长线于点，作直线．             解决问题： (1)若六边形的面积为，求的半径的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)的半径为2 (2)直线与相切，理由见解析 【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的判定； （1）根据题意得出六边形为圆内接正六边形，过作于点， 设的半径为，进而根据的面积为即个等边三角形的面积，得出的半径的长； （2）连接，证明，得出即可得证． 【详解】（1）解：∵在中，且，      ， ，； 又 六边形为圆内接正六边形， 过作于点， 设的半径为， 则有， ， ， 解得． 答：的半径为2． （2）直线与相切．   理由：连接． 为的切线， ， ，     与相切 ． 地 城 考点05 弧长和扇形面积的计算 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，圆锥的底面半径是，母线长是．如果点是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆锥的计算；首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】解：连接，过作于， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ，， ， 由，可求得， ， ， 即这根绳子的最短长度是， 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，直径为6的半圆，绕点逆时针旋转，此时点到了点处，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算．根据阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积．即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积． 则阴影部分的面积是：， 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和弧长、轨迹，根据弧长公式先求一段弧的长，再根据滚动一周等于一段弧长乘以即可得中心点所经过的路径长．解题的关键是掌握正六边形的性质． 【详解】解：如图， ∵正六边形的内角为， ∴， 又∵边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周， ∴， ∴，， ∴， ∴边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周， 则它的中心点所经过的路径长为：． 故选：B． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，圆锥的母线，底面圆的半径，则这个圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．解题的关键是掌握：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积．据此列式解答即可．也考查了扇形的面积公式：（为弧长）． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，圆锥的母线， ∴圆锥的底面圆的周长：， ∴圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据题意可得圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，由（是扇形的弧长，是扇形所对圆心角的度数，为扇形半径）可得扇形半径为，再根据扇形面积即可求解． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为，即圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，且扇形的圆心角的度数是， ∴扇形半径为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为： ． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，，两点在以为直径的上，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．利用圆周角定理得到，连接求出，然后根据弧长公式求出的长． 【详解】解： 连接， ∵，， ∴， ∴， ， ∴, ∴的长． 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，A是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点， (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，直角三角形斜边中线的性质，扇形的面积： （1）利用等边对等角证明，，推出，即可证明为的切线； （2）作于点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质及垂径定理求出、的长，结合求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴为的切线； （2）解：作于点F，连接， ∵， ∴， ∴是斜边的中线 ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∵过圆心，， ∴， ∴． 地 城 考点06 圆的综合 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，正六边形的边长为为正六边形的外接圆，连接，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正六边形的性质得到，，再由等腰三角形性质得到，，在中，利用含的直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 在正六边形中，，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线及角平分线， ，， 在中，，，则， 由勾股定理可得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查圆中正多边形求线段长，涉及正六边形性质、等腰三角形判定与性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形内接于，经过圆心O，过点D作的切线，交的延长线于点E，.若，则的大小等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，证明和为等边三角形求出，即可解答． 【详解】解：连接，，如图，    ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的切线的性质，三角形内角和等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． 二、填空题 3．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时， ； （2）当的一边与相切时，的长为 ． 【答案】 【分析】（1）先利用对称的性质得到，则可判断四边形为矩形，再根据圆周角定理，由为直径得到，则，由于点与点关于对称，则于，如图，设，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，接着利用正方形的性质得，则，所以，解得，于是得到； （2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则，先证明，得到，同时有，，设，则，，所以，在中，可表示出，，然后根据30度的直角三角形得，即，解方程求出即可得到的长． 【详解】解：（1）∵点与点关于对称，点与点关于点对称， ∴，， ∵点与点关于对称，点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵为直径， ∴， 在中， ∵， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴于，如图， 设， 在中， ∵，则， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 而， ∴，解得， ∴； 故答案为：； （2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则， ∵四边形为矩形， ∴，， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，则， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了圆周角定理、切线的性质和矩形的判定与性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，正方形的性质等，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 三、解答题 4．（20-21九年级上·安徽六安·期末）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数． 【答案】54° 【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】 如图，连接． ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴90°-36°=54°， ∴的余角的度数为54°． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为的直径，C为上一点，于点D，P为延长线上一点，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析; (2) 【分析】本题考查切线的证明，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积． （1）根据圆周角定理可得，从而，根据可得，从而，进而，即，因此得证为的切线； （2）设的半径为r，在中，由勾股定理有，代入即可求得半径r的值，根据三角形的面积有，从而可求得的长，进而在中，求得的长，进而得到的长，在中，根据勾股定理即可求解线段的长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴，即， ∴半径于点C， ∴为的切线； （2）设的半径为r， 在中，，， 由勾股定理有， 即， 解得， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（22-23九年级上·安徽·期末）如图1，在矩形中，，，E，F分别是对角线上的点（点不与点重合，点可以与点重合），已知点A，F关于点对称，是的中点，以为圆心，长为半径在的下方作半圆，设． (1)若，求半圆的半径． (2)如图2，当点与点重合时，设半圆与交于另一点，求的长． (3)当半圆与矩形的边相切时，求的值．（参考数据：，，） 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）由勾股定理可得，根据线段和差和线段中点定义可得，进而即可求解； （2）设半圆与交于另一点，连接，，此时是的中点，是的中点，根据矩形的性质和相似三角形的判定易证，继而可得，由此可得，根据正切求得，继而可得出，根据弧长公式即可求解； （3）分当圆与矩形的边相切和圆与矩形的边相切两种情况分析解答． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵，， 由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵点A，F关于点对称， ∴， ∴， 即半圆的半径为5； （2）半圆与交于另一点，连接，， 此时是的中点，是的中点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①如图所示，当圆与矩形的边相切时，设切点为，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵， 即， 解得：， ②如图所示，当圆与矩形的边相切时，设切点为，连接， 由①得：，， ∴， ∵，即， 解得： 综上所述，当半圆与矩形的边相切时，的值为或． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及矩形的性质、三角函数、弧长公式等知识点，注意利用数形结合的数学思想，解题的关键是熟练掌握并综合运用所学知识点． 地 城 考点07 圆中常见的辅助线 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，内接于，，，则半径为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由圆周角定理可求出，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴半径为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是四边形的内切圆，若，则四边形的周长是（    ） A．22 B．64 C．52 D．44 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解本题的关键．设切点分别为，，，，连接，，，，根据四边形是的外切四边形，得出，，，，证得，再根据，即可得出四边形的周长． 【详解】解：设切点分别为，，，，连接，，，， ∵四边形是的外切四边形， 由切线长定理可得，，，， ， ， 所以四边形的周长． 故选：D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中半径互相垂直，点在劣弧上．若，则为 °． 【答案】29 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径互相垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为29． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在圆O中，弦长，点C是弧中点，交弦于点D，．则圆O的半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．如图．设.利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设. ∵C是弧中点， ， 在中，， ， 解得． 故答案为：4． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，求出，然后由直径得到是的切线； （2）连接，首先得到，然后由得到，然后结合菱形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ． ， ． 又为的直径， 是的切线． （2）证明：如图1，连接， ，是的直径， ，， ， 即． 又， ． ∵四边形是菱形， ， 则， ，． 【点睛】本题考查了圆与四边形综合题，切线的判定，圆周角定理，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及勾股定理，等腰三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点，连接．，先根据圆周角定理得出，再由点为的中点可知，故可得出，再由得出，故，进而得出结论； （2）设的半径为，则，再证明是的中位线，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接． 为的直径， ，即． ∵点为的中点， ， ， ． ， ， ， ． （2）解：设的半径为，则，． ，， 是的中位线， ， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 直径的长为． 地 城 考点08 圆中的最值问题 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，是等边三角形，，点是内一点，且，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质得到，，继而推出，可得点P在以为直径的圆上，得知当C，D，P三点共线时，最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 则， ∴点P在以为直径的圆上， 如图，设的中点为D，连接，即长度不变，      ∴， ∴当C，D，P三点共线时，最小，此时， ∵， ∴，， ∴的最小值为， 故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是根据已知条件推出，得到点P在以为直径的圆上． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，，是平面内一动点，且，取的中点，连接，则线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明点在以为直径的上，连接，的延长线与交于点，此时就是的最大值，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：取的中点，以为圆心，为直径作圆，连接，的延长线与交于点，如图， 此时就是的最大值为：， 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵为的中点，， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时，最大，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为． 故选A 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆外一点与圆的最短距离问题，连接，由是直径得，即得，得到点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，利用勾股定理求出即可求解，找到点P的运动轨迹是圆是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，．    （1）当时，的长为 ； （2）在滑动过程中，的最大值是 ． 【答案】 3 3 【分析】（1）如图所示，连接，可得是等边三角形，可证四边形是矩形，则，即可求解； （2）如图所示，延长交于点，连接，可证是的中位线，当为直径时，即，的值最大，则的值最大，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接，    ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （2）如图所示，延长交于点，连接，    ∵，是直径， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当为直径时，即，的值最大，则的值最大， ∴的最大值是； 故答案为：①；② ． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键 地 城 考点09 不规则图形面积的求法 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知是的直径，弦，垂足为E，且，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理求出，解直角三角形求出，求出，，求出是等边三角形，求出，再求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵，过，， ∴，， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 2．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图，的斜边与半圆相切，，，已知，，则阴影部分的面积为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出，，然后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵斜边与半圆相切， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求扇形的面积，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 3．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，、是半圆弧的三等分点，点是直径所在直线上任意一点，若半圆的直径为，那么图中阴影部分的面积为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不规则图形面积的求法，涉及圆的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、扇形面积公式等知识，连接、、，由圆周角定理、等边三角形的判定与性质得，从而与同底等高，即，则阴影部分的面积扇形的面积进而求出即可，本题中能够将不规则图形的面积进行转换成规则图形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接、、，如图所示： 、是半圆弧的三等分点， ， ， ， 是等边三角形， ， ，则， ， 故选：D． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，．点D为边的中点，以点D为圆心，长为直径画半圆，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的特征、勾股定理、扇形的面积，根据含角的直角三角形的特征得，再利用勾股定理得，，进而可得，，再利用阴影部分的面积即可求解，熟练掌握基础知识，利用分割法解决问题是解题的关键． 【详解】解：连接、，如图： 在中，，，，点D为边的中点， ，， ，， ，， ，， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 5．（22-23九年级上·安徽·期末）如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 三、解答题 6．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线： (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等等： （1）连接，根据得到，结合得到即可得到，从而得到，即可得到证明； （2）连接，由为直径，得到，进而求出，再求出，则，，证明是等边三角形，得到，最后根据进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 7．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，平行四边形中，是上一点，平分，以为圆心，为半径的圆与相切于点，连接，作于点． (1)求证：与相切； (2)若，，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由相切得，由平分，，得，即可得证； （2）设的半径为；由平行四边形的性质及角平分线的性质得，从而得 ，即，；在中，由勾股定理建立方程求得的值；由确定r的值，根据阴影面积为梯形面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：与相切， ． 平分，， ． 与相切． （2）解：设的半径为，则． ∵四边形是平行四边形，，，， ． 平分， ， ， ． ，， ， ，． 在中，， ，解得或3． 当时，；当时，． ，， ， ， ， 即，． ，， ， 即， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，角平分线的性质定理，平行四边形的性质，勾股定理及不规则图形面积等知识，正确掌握这些知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆（期末真题汇编，安徽专用） 9大高频考点概览 考点01 垂径定理 考点02 圆心角与圆周角 考点03 切线的性质与判定 考点04 正多边形和圆 考点05 弧长和扇形面积的计算 考点06 圆的综合 考点07 圆中常见的辅助线 考点08圆中的最值问题 考点09 不规则图形面积的求法 地 城 考点01 垂径定理 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，为的一条弦，垂直平分交于点C，若，则的半径为（   ） A．2 B． C．3 D． 3．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，半径为6的沿弦折叠，弦恰好经过圆心，则弦的长为 ． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升 ． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在圆O中，弦长，点C是弧中点，交弦于点D，．则圆O的半径为 ． 三、解答题 7．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，半径弦于点C，交于点D，是的直径，连接，若，，求的长． 8．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？ 地 城 考点02 圆心角与圆周角 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，线段是的直径，弦于点．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，点，，，在上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，内接于，若，则 ． 5.（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，是的直径，点，，均在上，若，则的度数为 ． 6．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，内接于，，于点，若，，则的半径为 三、解答题 7．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：． 8．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，求的度数． 地 城 考点03 切线的性质与判定 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，与边长为的正方形的边相切，且A、B两点在上，则圆的半径长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 5．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的半径为4，与相切，切点为B．若，则的周长为 ．    6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图1，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，为的切线，点F在延长线上， (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的外接圆．是的直径，过点O作于点E，延长至点D，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 地 城 考点04 正多边形和圆 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，正八边形内接于，且的半径为，则的面积为（    ）    A．8 B． C． D．16 2．（24-25九年级上·安徽黄山·期末）如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 二、解答题 4．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）仔细阅读以下画图过程，并解决问题： 如图1，已知及圆上一点.作法： ①如图2，连接并以为边作交于点； ②在圆上依次取点，点，点，点，使得； ③顺次连接各点，得到六边形； ④如图3，过点作的切线，交延长线于点，作直线．             解决问题： (1)若六边形的面积为，求的半径的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 地 城 考点05 弧长和扇形面积的计算 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，圆锥的底面半径是，母线长是．如果点是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，直径为6的半圆，绕点逆时针旋转，此时点到了点处，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，圆锥的母线，底面圆的半径，则这个圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为 （结果保留）． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，，两点在以为直径的上，，，则的长为 ． 三、解答题 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，A是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点， (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留） 地 城 考点06 圆的综合 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，正六边形的边长为为正六边形的外接圆，连接，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形内接于，经过圆心O，过点D作的切线，交的延长线于点E，.若，则的大小等于（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时， ； （2）当的一边与相切时，的长为 ． 三、解答题 4．（20-21九年级上·安徽六安·期末）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数． 5．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为的直径，C为上一点，于点D，P为延长线上一点，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求线段的长． 6．（22-23九年级上·安徽·期末）如图1，在矩形中，，，E，F分别是对角线上的点（点不与点重合，点可以与点重合），已知点A，F关于点对称，是的中点，以为圆心，长为半径在的下方作半圆，设． (1)若，求半圆的半径． (2)如图2，当点与点重合时，设半圆与交于另一点，求的长． (3)当半圆与矩形的边相切时，求的值．（参考数据：，，） 地 城 考点07 圆中常见的辅助线 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，内接于，，，则半径为（   ） A． B． C． D．5 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是四边形的内切圆，若，则四边形的周长是（    ） A．22 B．64 C．52 D．44 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中半径互相垂直，点在劣弧上．若，则为 °． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在圆O中，弦长，点C是弧中点，交弦于点D，．则圆O的半径为 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 地 城 考点08 圆中的最值问题 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，是等边三角形，，点是内一点，且，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，，是平面内一动点，且，取的中点，连接，则线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，．    （1）当时，的长为 ； （2）在滑动过程中，的最大值是 ． 地 城 考点09 不规则图形面积的求法 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知是的直径，弦，垂足为E，且，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图，的斜边与半圆相切，，，已知，，则阴影部分的面积为(   ) A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，、是半圆弧的三等分点，点是直径所在直线上任意一点，若半圆的直径为，那么图中阴影部分的面积为( ) A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，．点D为边的中点，以点D为圆心，长为直径画半圆，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 5．（22-23九年级上·安徽·期末）如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题 6．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线： (2)若，，求阴影部分的面积． 7．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，平行四边形中，是上一点，平分，以为圆心，为半径的圆与相切于点，连接，作于点． (1)求证：与相切； (2)若，，且，求阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $