第04讲 二次函数+二次函数的图象与性质（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

第04讲 二次函数+二次函数的图象与性质（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：二次函数的定义 知识点02：建立二次函数的模型表示变量间的关系 知识点03：二次函数y=x2的图象的画法 知识点04：二次函数y=x2和y=－x2 的图象与性质 知识点05：二次函数y=ax2 的图象与性质 知识点06：二次函数y=ax2+c的图象 知识点07：二次函数y=a(x－h)2 的图象 知识点08：二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与性质 知识点09：二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k之间的关系 知识点10：二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x－h)2+k之间的关系 知识点11：二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 典例分析 （举三反三） 考点1：根据二次函数的定义求字母的值 考点2：利用二次函数图象的增减性比较大小 考点3：在规定范围内与二次函数的最值有关的问题 考点4：二次函数y=a+bx+c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（5） 【知识点01】二次函数的定义 1. 定义 一般地，若两个变量x，y 之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a ≠ 0)的形式，则称y 是x 的二次函数. 其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2. 确定二次函数的“三要素” (1)含有自变量的代数式必须是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于0. 【知识点02】建立二次函数的模型表示变量间的关系 建立二次函数的模型的一般步骤 (1)审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言. (2)找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式. (3)列二次函数表达式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式. 【知识点03】二次函数y=x2的图象的画法 画二次函数y=x2 的图象，一般用描点法，具体步骤如下： (1)列表：先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地各取2个点. (2)描点：在直角坐标系中，先将y 轴右侧的2 个点描出 来，然后根据对称关系找到y 轴左侧的2个点. (3)连线：按照自变量由小到大(或由大到小)的顺序，把所描各点用光滑的曲线顺次连起来. 【知识点04】二次函数y=x2和y=－x2 的图象与性质 二次函数y=－x2 的图象可类比y=x2 的图象来画，二者的图象与性质的区别与联系如下表. 二次函数 y=x2 y=－x2 图象 图象形状 抛物线 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 顶点坐标 原点(0，0) 增减性 当x<0 时，y 的值随x 值的增大而减小；当x>0 时，y 的值随x 值的增大而增大 当x<0 时，y 的值随x 值的增大而增大；当x>0 时，y 的值随x 值的增大而减小 最值 当x=0 时，y 最小值=0 当x=0 时，y 最大值=0 联系 (1)自变量x 的取值范围都是全体实数； (2)若把函数y=x2 的图象和函数y=－x2 的图象画在同一平面直角坐标系中，则两图象既关于x 轴成轴对称，又关于原点成中心对称 【知识点05】二次函数y=ax2 的图象与性质 二次函数y=ax2(a ≠ 0)的图象与性质 y=ax2 a ＞ 0 a ＜ 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 (0，0) 对称轴 y 轴(或直线x=0) 增减性 在对称轴的左侧，即x＜ 0时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即x ＞ 0时，y 随x 的增大而增大 在对称轴的左侧，即x＜0 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即x ＞ 0 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x=0 时，y 最小值=0 当x=0 时，y 最大值=0 【知识点06】二次函数y=ax2+c的图象 1. 二次函数y=ax2+c 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位置不同，二次函数y=ax2+c 的图象可由二次函数y=ax2 的图象上下平移|c| 个单位长度得到. 2. 二次函数y=ax2+c 的图象 y=ax2+c a>0 a<0 c ＞ 0 c ＜ 0 c ＞ 0 c ＜ 0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) 对称轴 y 轴 【知识点07】二次函数y=a(x－h)2 的图象 1. 二次函数y=a(x－h)2 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是左、右位置不同，二次函数y=a(x－h)2 的图象可由二次函数y=ax2 的图象左右平移|h| 个单位长度得到. 2. 二次函数y=a(x－h)2 的图象 函数 y=a(x－h)2(a>0) y=a(x－h)2(a<0) 图象 顶点坐标 (h，0) 对称轴 直线x=h 顶点位置 当h>0 时，顶点在y 轴的右侧(即x 轴的正半轴上)；当h<0 时，顶点在y 轴的左侧(即x 轴的负半轴上) 开口方向 向上 向下 【知识点08】二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与性质 1. 二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是位置不同；二次函数y=a(x－h)2+k 的图象可由二次函数y=ax2 的图象平移得到. 2. 二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与性质 函数 y=a(x－h)2+k(a>0) y=a(x－h)2+k(a<0) 图象 顶点位置 当h>0，k>0 时，顶点在第一象限；当h<0，k>0 时，顶点在第二象限；当h<0，k<0 时，顶点在第三象限；当h>0，k<0 时，顶点在第四象限 对称轴 直线x=h 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧，y 随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大； 在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小 最值 当x=h 时，y 最小值=k 当x=h 时，y 最大值=k 【知识点09】二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k之间的关系 1. 位置关系 2. 图象与性质关系 函数 y=a(x－h)2+k y=a(x－h)2 y=ax2+k y=ax2 相同点 形状 图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同 对称性 图象都是轴对称图形 增减性 当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y 随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小 不同点 顶点 (h，k) (h，0) (0，k) (0，0) 对称轴 直线x=h y 轴 【知识点10】二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x－h)2+k之间的关系 1. 二次函数的一般式 y=ax2+bx+c 与顶点式y=a(x－h)2+k 的互化即y=ax2+bx+c=a 2+ . 2. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象的画法 把二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x－h)2+k 的形式. 方法一：描点法. 利用顶点，对称轴，与x，y 轴的交点画图象. 方法二：平移法. 作出二次函数y=ax2 的图象，然后平移，使其顶点平移到(h，k). 【知识点11】二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 函数 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a ≠ 0) a>0 a>0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=－ 顶点坐标 增减性 当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－ 时，y 随x的增大而增大 当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小 最值 当x=－时，y最小值= 当x=－时，y 最大值= 【题型一】根据二次函数的定义求字母的值 【典例1-1】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 【典例1-2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键． 根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， 综上所述：m的值为4． 故答案为：4． 【典例1-3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1)，函数的表达式是 (2)二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0 【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 【变式1-1】（22-23九年级下·四川达州·阶段练习）若是关于x的二次函数，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得出且，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， 解得：， 故选：B． 【变式1-2】（2025九年级下·全国·专题练习）若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的解法．首先根据二次函数的定义可得：、，首先解方程可以得到或，再根据，可得． 【详解】解：∵函数是二次函数， ， 解一元二次方程， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 又， ， ． 故答案为： ． 【变式1-3】（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）根据二次函数的概念得，且，求解即可； （2）根据一次函数的概念得且，，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得，且， 解得 ∴时，该函数为二次函数； （2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时， 且， 解得， 当首项系数为零时，， 解得和， 综上，，和时，该函数为一次函数． 【题型二】利用二次函数图象的增减性比较大小 【典例2-1】（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）已知点，，在抛物线上，且，则m的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为，分两种情况讨论，根据图象上点的坐标特征，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线， 对称轴为， ∵点，，在抛物线上，且， 当，则且，不存在； 当，则， 解得或 故选：C． 【典例2-2】（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质．根据二次函数的对称轴及增减性求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【典例2-3】（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且 (1)当时，求的值； (2)若，求的取值范围；若点，，在抛物线上，判断，与的大小关系且说明理由． 【答案】(1)1 (2)； 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的对称轴， 对于（1），根据时，可得，再根据抛物线的对称轴得出答案； 对于（2），先根据，可得，再根据，可得，进而得出答案；然后求出点关于对称轴对称的点，进而确定自变量的取值范围，接下来结合二次函数图象的性质得出答案. 【详解】（1）解：当时，， 即. ∵抛物线的对称轴是； （2）解：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即； 点关于对称轴对称的点的坐标是， ∵， ∴. ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴左侧函数值y随着x的增大而增大. ∵， ，在对称轴的左侧， ∴. 【变式2-1】（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）点，，均在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质（抛物线的对称性、增减性），解题的关键是利用二次函数的对称轴判断点到对称轴的距离，结合函数的增减性比较函数值的大小． 分析二次函数的开口方向（向下）和对称轴轴）；根据抛物线关于对称轴对称，可得与到对称轴距离相等，故根据对称轴右侧y随x增大而减小，结合在对称轴右侧且横坐标大于2，可得，进而得出大小关系． 【详解】： ∵函数是二次函数，且 ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴． ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧随x的增大而增大；在对称轴右侧随x的增大而减小；且抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大． ∵点到对称轴的距离均为2， ∴根据抛物线的对称性，． ∵点在对称轴右侧，且， ∴在对称轴右侧，x越大，y值越小，故． 综上，． 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）已知点是抛物线上的两点，则m，n的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，关于直线的对称点为， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（2025九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入，求出，得出抛物线的顶点式； （2），理由：把代入，得到，得出，得到，得到． 【详解】（1）解：∵ 抛物线经过点，， ， 解得：， ， 化成顶点式为， 故答案为：； （2）解∶将代入得， ， ， ， ，， 抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ． 【题型三】在规定范围内与二次函数的最值有关的问题 【典例3-1】（24-25九年级下·陕西汉中·阶段练习）若当时，二次函数的最小值为0，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先求出抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：①和②，利用二次函数的性质求出最小值，建立方程，解方程即可得． 【详解】解：二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ①当时， ∴在内，随增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为， 解得，符合题设； ②当时， 在内，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大， ∴当时，的值最小，最小值为， 解得或（均不符合题设，舍去）； 综上，， 故选：C． 【典例3-2】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先将解析式配方成顶点式，根据二次函数的增减性和最值问题解答． 【详解】解：，抛物线顶点坐标，开口向上，对称轴为直线， ∵时，函数y的最大值是6，最小值是2， 当函数值为2时，， 解得， 当函数值为6时，， 解得：或． ∴． 故答案为：． 【典例3-3】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数（b、c为常数）． (1)当，时，求函数的最小值； (2)当时，函数的最小值为，求b的值； (3)当且时，函数有最小值，求二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题： （1）根据题意得到解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据题意得到解析式，再把解析式化为顶点式求出最小值，再根据最小值为建立方程求解即可； （3）先求出解析式为，则函数开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此分对称轴在直线左侧，在直线右侧，和在直线和之间三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当，时，二次函数解析式为， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∵当时，函数的最小值为， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大， 当，即时，则当时，函数有最小值， ∴， 解得（舍去）； 当，即时，则当时，函数有最小值， ∴， ∴（舍去）； 当，即时，函数的最小值为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，， ∴函数解析式为． 【变式3-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（   ） A．1 B． C．或2 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，本题中不知道是正数还是负数，所以要分情况讨论．二次函数的对称轴为，所以可知当时，二次函数有最大值；当时，二次函数有最小值，因为，所以可知当时，二次函数有最大值，可得关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 当时，二次函数有最大值， 解得：， 当时，二次函数有最小值， 二次函数的对称轴为， ， 当时，有最大值， 可得：， 解得：， 综上所述的值为或． 故选：D． 【变式3-2】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解决问题的关键． 根据二次函数的对称轴为直线，若，当时，函数y取得最大值，得；若，根据与关于对称轴对称，得当时，y随x增大而增大，得当时，y取得最大值，得． 【详解】∵二次函数， ∴对称轴为直线． ∴当时， 在范围内，当时，函数y取得最大值． ∴； 当时， ∵与关于对称轴对称，当时，y随x增大而增大，且， ∴在范围内，当时，y取得最大值． ∴． ∴a的值为2或． 故答案为：2或． 【变式3-3】（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上． (1)求的值： (2)当时，求的取值范围； (3)若时，函数的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，熟悉二次函数的图象与性质是关键，第三问注意分类讨论． （1）把点的坐标代入二次函数解析式中即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，确定抛物线的对称轴，结合二次函数图像的特点即可求解； （3）分三种情况讨论：，，，结合二次函数图像的特点即可完成． 【详解】（1）解：把点的坐标代入二次函数中，得， ∴； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，且，开口向上， ∴当时，函数在时取得最小值，在时取得最大值， 即的取值范围为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，则， 当时，函数值随自变量的增大而减小，函数在时取得最小值， 即， ∴， 而，不符合题意； 当时，则， 当时，函数在时取得最小值， 即，解得：（舍去） ∴； 当时，则， 当时，函数值随自变量的增大而增大，函数在时取得最小值， 即， ∴； 综上，或3． 【题型四】二次函数y=a+bx+c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系 【典例4-1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据所给函数图象，可得出的的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：A．根据函数图象可知，函数图象开口向下，故，说法错误，不符合题意； B．图象与轴交于，关于对称，所以，说法正确，符合题意； C．由抛物线的解析式可知对称轴，故当时，取得最大值，说法错误，不符合题意； D．当时，随的增大而增大，说法错误，不符合题意； 故选：B． 【典例4-2】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时， D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，逐项分析判断，只有选项符合题意，由此选出答案． 【详解】解：∵开口向上， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故B错误； 根据图象可得当时，，故C正确； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故D错误； 故选：C． 【典例4-3】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（）的大致图象如图所示. （）；（）；（）；（）关于的方程有两个不相等的实数根．则下列结论正确的是 ．（填序号） 【答案】（）（）/（4）（1） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象可得，，，即得，即可判断（）；由对称轴位置可判断（）；由抛物线与轴的一个交点坐标为可判断（）；由抛物线与直线有两个不同的交点可判断（），综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于负半轴上， ∴，， ∵抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故（）正确； 由图象可知，对称轴，故（）错误； ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴，故（）错误； 由图象可知，抛物线的顶点的纵坐标为， ∴函数值的最大值为， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故（）正确； 综上，结论正确的是（）（）， 故答案为：（）（）． 【变式4-1】（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想．根据函数图象即可判断①②；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，进而对结论③④进行判断． 【详解】解：由图象可知，当时，，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线与x轴的交点是和，其中， ∴对称轴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确． 故正确的有3个． 故选：B． 【变式4-2】（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c的正负，根据对称轴判断a与b的关系式，根据特殊值和判断与的正负，根据判断a、b、c的关系，然后综合分析即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点为，， ∴，， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，，，， ∴函数图象大致如图所示： 由图象可知，， 所以， 故①正确； ②∵， ∴，， 故②正确； ③由图象可知，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 当时，， 由，得， ∴，即， ∴， 两个不等式相加，得， 由②，则， ∴， 解得， ∵， ∴，又， ∴． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③，一共3个． 故选：C． 【变式4-3】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④设直线与抛物线的两个交点横坐标分别为，则．其中结论正确的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次函数图象和性质的综合运用，有一定难度，解题的关键是根据图像判断a、b、c的符号，再根据题意表示出a、b、c的关系，最后结合函数与方程，不等式的知识进行解答．根据题意得到a、b、c的关系式，可以用a表示出b、c，进而得到含a的二次函数关系式，结合图像确定符号，对选项逐一判断即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，经过点， ∴，， ， ， ， 且，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，又经过点， ∴和关于对称轴对称， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴的另一个交点为， 时，， ∴， ∵， ∴， 即，故③错误； ∵直线与抛物线的两个交点横坐标分别为， 方程0的两个根分别为， ， ，故④正确． 综上分析可知：正确的有②④． 故答案为：②④． 一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的二次项系数不为，最高次数为次，得出，即可求解． 【详解】解：由二次函数定义得， 解得． 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向上，对称轴为，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越小，求出点，，到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越小， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：A． 3．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）若存在实数时，使成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．通过将不等式恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最值问题，进而求解参数的取值范围；关键通过二次函数的对称轴公式，以及根据二次项系数的正负判断函数图象的开口方向和单调性． 【详解】解：∵存在实数时，使成立 ∴移项，得， 即：要大于函数，，在上的最大值， ∵，，， ∴对称轴为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴函数在对称轴处取得最小值，在对称轴右侧函数单调递增， ∴当时，函数取得最大值， 将代入函数可得： ， ∵，在上的最大值， ∴的取值范围是． ∴当时，函数取得最小值， 将代入函数可得： ， ∵，在上的最小值， ∴的取值范围是， 综上，若存在实数时，使成立，则的取值范围为． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知抛物线（m为常数），当时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（   ） A．4 B． C．或4 D．或6 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据题意得到当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，然后分，和三种情况讨论，然后分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴①若，时，取得最小值7， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最小值7， 可得：， 解得：或（舍）； ③若时，当时，取得最小值为，不是7， ∴此种情况不符合题意，舍去． 综上，的值为或6， 故选：D． 5．（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数，的图象经过点图象上有三个，若当时，均有，则下列说法中正确的是（　　） A． B．时，有最大值 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象上的y值与点离对称轴距离与开口方向的关系是解题的关键．由时，均有可知抛物线开口向上，由抛物线开口向上，可知时，y有最小值可判定B选项；再结合抛物线对称轴即可判定A选项；当有，可判定C选项；根据二次函数的性质可判定D选项． 【详解】解：∵当时，均有， ∴该抛物线的开口方向向上，即， ∴，有最小值，故B错误； ∵二次函数的图象经过点、， ∴对称轴为直线， ∴，则， ∴，故A错误； ∵二次函数的图象经过点、，对称轴为直线， ∴， ∴，C错误； ∵时，均有， ∴点与对称轴直线的对称点为距离大于点与对称轴直线的距离， ∴， ∴或， ∴或， ∴时，符合当时，均有，即D正确． 故选：D． 6．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据图表在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，根据图象进行判断即可． 【详解】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义得到，，进行求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·四川自贡·阶段练习）已知二次函数，其中，则有最大值为 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质及最值的求法，解题的关键是熟练应用二次函数的图象及性质． 根据二次函数的解析式可知图象开口向下，对称轴为直线，根据二次函数的增减性，求出当时，的值即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 即当时，． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 【详解】解：∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：0或3． 10．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． 直接利用配方法求出二次函数最小值，进而利用二次函数增减性得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， 整理得：， 故当时，有最小值为； ∵， ∴当时，有最大值为； 故； 故答案为：． 11．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若二次函数的图象经过、、、、，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的增减性，二次函数的最值问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键．根据题意可得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，即距离对称轴越近函数值越大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象经过、， 二次函数图象开口向下，对称轴为直线， 距离对称轴越近函数值越大， ， 、、三点中，点离对称轴最近，点离对称轴最远， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，根据所给函数图像，得出，，的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可．熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图像可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则． 故②正确． 因为点坐标为， 由得，， 所以点的坐标为， 则， 所以． 因为抛物线的对称轴为直线，且点坐标为， 所以点的坐标为． 由得， ， 所以． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，二次函数有最大值， 即对于抛物线上的任意一点（横坐标为，总有，即． 故④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴． 14．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)若，求该函数图像的顶点坐标； (2)若当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的值； (3)若函数，点，都在函数的图像上，且，求n的取值范围．（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数的性质得出关于m的方程，解方程即可； （3）利用配方法求出可得该函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后画出图象，根据图象可得结论． 【详解】（1）解：若，则， ∵， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵中， ∴抛物线开口向上， ∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴该函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对应点为， 如图所示，    由图象得：n的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次图象上点的坐标特征，解答此类问题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)若，当时，y的最小值为的最大值为4，求的值； (3)若该二次函数的图象经过点和，当时，y的最大值与最小值的差8，求m的值． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)2 (3)m的值为或 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象的点的坐标特征及二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据对称轴公式即可求出对称轴， （2）根据图象的性质即可列出方程式； （2）用待定系数法求出二次函数的表达式，根据在对称轴的同侧和异侧进行分类讨论． 【详解】（1）解：∵，对称轴， 故这个二次函数的对称轴为直线， （2）解：∵，对称轴为直线， ∴当时，有最小值， 当时，有最大值， 即， 解得：， ． （3）解：由题意可知，， 解得：， 则二次函数的表达式为， 则对称轴为，顶点坐标为， ， （1）当在对称轴的左侧时，即时， ∵的最大值与最小值的差8， ∴， 解得：（舍去）， （2）当在对称轴的右侧时，即时， ∵的最大值与最小值的差8， ∴， 解得：（舍去）， （3）当在对称轴的两侧时，即时， ∵的最大值与最小值的差8， ∴或， 解得：（舍去）或（舍去）， 综上所述，的值为或． 16．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系； (2)点在该抛物线上． ①当时，若，则a的值为______； ②若对于都有，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）直接把解析式化为顶点式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则离对称轴越远函数值越大，据此求解即可； （2）①根据，抛物线的对称轴为直线，即可求解；②分两种情况结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴； （2）解：①当时，点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 故答案为：； ②对于任意的都满足， 点A、B、C存在如下情况： 情况1，如示意图，当时，有， 解得：． 情况2：如示意图；当时，， 解得． 综上所述，或． 17．（24-25九年级下·广东佛山·期中）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．请用代数推理的方法解决以下问题： 已知二次函数，且． (1)若该二次函数图象的对称轴是直线，求a与b的数量关系； (2)在（1）的条件下，若点，在该函数图象上，判断m，n的大小关系并加以证明． 【答案】(1) (2)当时，；当时，，证明见解析 【分析】·本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据二次函数的性质可得，由此计算即可得解； （2）由（1）可得，从而得出，求出，，从而得出，再分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵该二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴； （2）解：当时，；当时，，证明如下： 由（1）可得， ∴， ∵点，在该函数图象上， ∴，， ∴， 当时，，故，即， 当时，，故，即， 综上所述，当时，；当时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次函数+二次函数的图象与性质（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：二次函数的定义 知识点02：建立二次函数的模型表示变量间的关系 知识点03：二次函数y=x2的图象的画法 知识点04：二次函数y=x2和y=－x2 的图象与性质 知识点05：二次函数y=ax2 的图象与性质 知识点06：二次函数y=ax2+c的图象 知识点07：二次函数y=a(x－h)2 的图象 知识点08：二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与性质 知识点09：二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k之间的关系 知识点10：二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x－h)2+k之间的关系 知识点11：二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 典例分析 （举三反三） 考点1：根据二次函数的定义求字母的值 考点2：利用二次函数图象的增减性比较大小 考点3：在规定范围内与二次函数的最值有关的问题 考点4：二次函数y=a+bx+c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（5） 【知识点01】二次函数的定义 1. 定义 一般地，若两个变量x，y 之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a ≠ 0)的形式，则称y 是x 的二次函数. 其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2. 确定二次函数的“三要素” (1)含有自变量的代数式必须是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于0. 【知识点02】建立二次函数的模型表示变量间的关系 建立二次函数的模型的一般步骤 (1)审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言. (2)找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式. (3)列二次函数表达式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式. 【知识点03】二次函数y=x2的图象的画法 画二次函数y=x2 的图象，一般用描点法，具体步骤如下： (1)列表：先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地各取2个点. (2)描点：在直角坐标系中，先将y 轴右侧的2 个点描出 来，然后根据对称关系找到y 轴左侧的2个点. (3)连线：按照自变量由小到大(或由大到小)的顺序，把所描各点用光滑的曲线顺次连起来. 【知识点04】二次函数y=x2和y=－x2 的图象与性质 二次函数y=－x2 的图象可类比y=x2 的图象来画，二者的图象与性质的区别与联系如下表. 二次函数 y=x2 y=－x2 图象 图象形状 抛物线 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 顶点坐标 原点(0，0) 增减性 当x<0 时，y 的值随x 值的增大而减小；当x>0 时，y 的值随x 值的增大而增大 当x<0 时，y 的值随x 值的增大而增大；当x>0 时，y 的值随x 值的增大而减小 最值 当x=0 时，y 最小值=0 当x=0 时，y 最大值=0 联系 (1)自变量x 的取值范围都是全体实数； (2)若把函数y=x2 的图象和函数y=－x2 的图象画在同一平面直角坐标系中，则两图象既关于x 轴成轴对称，又关于原点成中心对称 【知识点05】二次函数y=ax2 的图象与性质 二次函数y=ax2(a ≠ 0)的图象与性质 y=ax2 a ＞ 0 a ＜ 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 (0，0) 对称轴 y 轴(或直线x=0) 增减性 在对称轴的左侧，即x＜ 0时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即x ＞ 0时，y 随x 的增大而增大 在对称轴的左侧，即x＜0 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即x ＞ 0 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x=0 时，y 最小值=0 当x=0 时，y 最大值=0 【知识点06】二次函数y=ax2+c的图象 1. 二次函数y=ax2+c 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位置不同，二次函数y=ax2+c 的图象可由二次函数y=ax2 的图象上下平移|c| 个单位长度得到. 2. 二次函数y=ax2+c 的图象 y=ax2+c a>0 a<0 c ＞ 0 c ＜ 0 c ＞ 0 c ＜ 0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) 对称轴 y 轴 【知识点07】二次函数y=a(x－h)2 的图象 1. 二次函数y=a(x－h)2 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是左、右位置不同，二次函数y=a(x－h)2 的图象可由二次函数y=ax2 的图象左右平移|h| 个单位长度得到. 2. 二次函数y=a(x－h)2 的图象 函数 y=a(x－h)2(a>0) y=a(x－h)2(a<0) 图象 顶点坐标 (h，0) 对称轴 直线x=h 顶点位置 当h>0 时，顶点在y 轴的右侧(即x 轴的正半轴上)；当h<0 时，顶点在y 轴的左侧(即x 轴的负半轴上) 开口方向 向上 向下 【知识点08】二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与性质 1. 二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是位置不同；二次函数y=a(x－h)2+k 的图象可由二次函数y=ax2 的图象平移得到. 2. 二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与性质 函数 y=a(x－h)2+k(a>0) y=a(x－h)2+k(a<0) 图象 顶点位置 当h>0，k>0 时，顶点在第一象限；当h<0，k>0 时，顶点在第二象限；当h<0，k<0 时，顶点在第三象限；当h>0，k<0 时，顶点在第四象限 对称轴 直线x=h 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧，y 随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大； 在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小 最值 当x=h 时，y 最小值=k 当x=h 时，y 最大值=k 【知识点09】二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k之间的关系 1. 位置关系 2. 图象与性质关系 函数 y=a(x－h)2+k y=a(x－h)2 y=ax2+k y=ax2 相同点 形状 图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同 对称性 图象都是轴对称图形 增减性 当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y 随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小 不同点 顶点 (h，k) (h，0) (0，k) (0，0) 对称轴 直线x=h y 轴 【知识点10】二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x－h)2+k之间的关系 1. 二次函数的一般式 y=ax2+bx+c 与顶点式y=a(x－h)2+k 的互化即y=ax2+bx+c=a 2+ . 2. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象的画法 把二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x－h)2+k 的形式. 方法一：描点法. 利用顶点，对称轴，与x，y 轴的交点画图象. 方法二：平移法. 作出二次函数y=ax2 的图象，然后平移，使其顶点平移到(h，k). 【知识点11】二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 函数 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a ≠ 0) a>0 a>0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=－ 顶点坐标 增减性 当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－ 时，y 随x的增大而增大 当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小 最值 当x=－时，y最小值= 当x=－时，y 最大值= 【题型一】根据二次函数的定义求字母的值 【典例1-1】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【典例1-2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【典例1-3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【变式1-1】（22-23九年级下·四川达州·阶段练习）若是关于x的二次函数，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式1-2】（2025九年级下·全国·专题练习）若函数是二次函数，则的值是 ． 【变式1-3】（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【题型二】利用二次函数图象的增减性比较大小 【典例2-1】（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）已知点，，在抛物线上，且，则m的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【典例2-2】（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”表示）． 【典例2-3】（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且 (1)当时，求的值； (2)若，求的取值范围；若点，，在抛物线上，判断，与的大小关系且说明理由． 【变式2-1】（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）点，，均在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）已知点是抛物线上的两点，则m，n的大小关系为 ． 【变式2-3】（2025九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； 【题型三】在规定范围内与二次函数的最值有关的问题 【典例3-1】（24-25九年级下·陕西汉中·阶段练习）若当时，二次函数的最小值为0，则（   ） A． B． C． D．或 【典例3-2】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是 ． 【典例3-3】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数（b、c为常数）． (1)当，时，求函数的最小值； (2)当时，函数的最小值为，求b的值； (3)当且时，函数有最小值，求二次函数的解析式． 【变式3-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（   ） A．1 B． C．或2 D．1或 【变式3-2】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为 ． 【变式3-3】（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上． (1)求的值： (2)当时，求的取值范围； (3)若时，函数的最小值为，求的值． 【题型四】二次函数y=a+bx+c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系 【典例4-1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【典例4-2】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时， D． 【典例4-3】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（）的大致图象如图所示. （）；（）；（）；（）关于的方程有两个不相等的实数根．则下列结论正确的是 ．（填序号） 【变式4-1】（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-2】（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④设直线与抛物线的两个交点横坐标分别为，则．其中结论正确的是 ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）若存在实数时，使成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知抛物线（m为常数），当时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（   ） A．4 B． C．或4 D．或6 5．（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数，的图象经过点图象上有三个，若当时，均有，则下列说法中正确的是（　　） A． B．时，有最大值 C． D． 6．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数，则 ． 8．（24-25九年级下·四川自贡·阶段练习）已知二次函数，其中，则有最大值为 9．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 ． 11．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若二次函数的图象经过、、、、，则、、的大小关系是 ． 12．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若是关于的二次函数，求的值． 14．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)若，求该函数图像的顶点坐标； (2)若当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的值； (3)若函数，点，都在函数的图像上，且，求n的取值范围．（用含m的代数式表示） 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)若，当时，y的最小值为的最大值为4，求的值； (3)若该二次函数的图象经过点和，当时，y的最大值与最小值的差8，求m的值． 16．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系； (2)点在该抛物线上． ①当时，若，则a的值为______； ②若对于都有，求a的取值范围． 17．（24-25九年级下·广东佛山·期中）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．请用代数推理的方法解决以下问题： 已知二次函数，且． (1)若该二次函数图象的对称轴是直线，求a与b的数量关系； (2)在（1）的条件下，若点，在该函数图象上，判断m，n的大小关系并加以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $