第05讲 位似（知识详解+2典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年人教版数学九年级下册重难点讲义与测试

第05讲 位似（知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：位似图形的定义 知识点02：位似图形的性质 知识点03：位似图形的画法 知识点04：平面直角坐标系中的位似变换 典例分析 （举三反三） 考点1：位似图形的判定 考点2：位似变换作图与应用 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】位似图形的定义 位似图形 与位似中心 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点, 并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心 位似多边形 对于两个多边形, 如果它们的对应顶点的连线相交于一点, 并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形 位似多边形 如图①，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形；如图②，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′ 是以点A(A′)为位似中心的位似图形；如图③，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是以点O为位似中心的位似图形 位似与相 似的区别 与联系 (1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例; (2)位似图形是相似图形的特例，如果两个图形是位似图形, 那么这两个图形一定是相似图形, 但相似的两个图形不一定是位似图形 【知识点02】位似图形的性质 性质1 位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比 性质2 位似图形上任意一组对应点的连线都经过位似 中心 性质3 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上 性质4 位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质 示例 若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，则＝＝＝＝k；直线A′A，B′B，C′C，D′D相交于点O；AB∥A′B′，BC∥B′C′，CD∥C′D′，AD∥A′D′；四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k 【知识点03】位似图形的画法 1. 位似变换: 利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小叫做位似变换. 2. 位似图形的画法 【知识点04】平面直角坐标系中的位似变换 1. 位似变换时对应点的坐标的变化规律 一般地, 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点 的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky). 如图27.3－8，已知点A(6 ，4)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小， 则其位似图形上对应点的坐标分别为A′(3 ，2)，B′(3 ，0)或A″(－3，－2)，B″(－3 ，0). 2. 位似变换与平移、轴对称、中心对称三种变换的异同： 变换方式 点P(x，y)的坐标变化规律 平移 当点P向左平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x－a，y) 当点P向右平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x＋a，y) 当点P向上平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x，y＋a) 当点P向下平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x，y－a) 轴对 称 当点P 关于x 轴对称时，点P 的坐标变为(x，－y) 当点P 关于y 轴对称时，点P 的坐标变为(－x，y) 中心 对称 当点P 关于原点对称时，点P 的坐标变为(－x，－y) 位似 变换 当位似图形与原图形的相似比为k，且原图形上的点P 与其对应点在原点同侧时，点P 的坐标变为(kx，ky) 当位似图形与原图形的相似比为k，且原图形上的点P 与其对应点在原点异侧时，点P 的坐标变为(－kx，－ky) 【题型一】位似图形的判定 【典例1-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 【答案】C 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵对应点的连线交于点， 点为位似中心， 故选：C． 【典例1-2】（24-25九年级上·吉林·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴①与是位似图形， 正确； ∵位似是相似的特殊形式， ∴②与是相似图形， 正确； ∴③与周长之比等于相似比为，正确； ∴④与的面积之比等于相似比的平方为， 错误； ∴正确的为：①②③． 故答案为：①②③． 【典例1-3】如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高． （1）求证：； （2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？ 【答案】（1）见解析；（2）不是，理由见解析 【分析】（1）利用三角形相似可求得各对应边成比例； （2）根据两三角形不是相似三角形，即可判断不是位似图形． 【详解】解：（1）证明：、是高， ， ， ， ； （2）解：如图， ∵△CDE与△CAB不一定是相似三有形， ∴与不是位似图形． 【点睛】本题考查了相似三角形，位似三角形，解题的关键是知道求各边成比例，一般应证明所在的三角形相似；位似三角形的前提一定是相似三角形，且任意两对应点的连线交于一点． 【变式1-1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、相似三角形的性质，根据中点定义得到，进而证明与位似，，可判断①④正确；根据相似三角形的性质可判断②③，进而可得答案． 【详解】解：∵D，E，F是、、的中点， ∴，又、、相交于O， ∴与位似，故①正确； ∴，故④正确， ∴与的相似比为， ∴与周长比为，与面积比为， 故②正确，③错误； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 【变式1-2】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 【答案】 / 【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比． 【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 【变式1-3】如图，矩形的对角线与相交于点O，E，F，G，H分别是，，，的中点，那么矩形与四边形是不是位似图形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，请说明理由． 【答案】是位似图形，位似中心是点O，相似比为2 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质以及位似的相关知识，根据矩形的性质可得对应线段的平行和比值，继而判定四边形是矩形，结合对应得比值即可得到位似比，结合对应点和交点即可确定位似中心． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形与矩形相似，且相似比为2． 又∵两个图形的对应点所在直线都经过点O， ∴它们是位似图形，位似中心是点O，相似比为2． 【题型二】位似变换作图与应用 【典例2-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．以原点为位似中心，在第一象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】图见解析，， 【分析】本题考查了位似图形的性质以及作位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，延长至原来的2倍，找到点，顺次连接得到，根据坐标系即可得出点、的坐标． 【详解】解：如图所示，即为所求： 由图可得，，． 【典例2-2】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于x轴成轴对称的； (2)请在轴左侧，画出以点为位似中心，位似比为的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形． （1）作出点、、分别关于轴的对称点，然后再连接对称后的各个顶点即可得到； （2）以点为位似中心，根据位似的性质找到，，的坐标，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，为所求． 【典例2-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）把点A，点B，点C的横纵坐标分别乘以可得它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为； （3）解：∵以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴． 【变式2-1】．（24-25九年级下·安徽六安·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题考查了利用位似变换作图，确定位似中心，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）连接并延长与的延长线相交，交点即为位似中心P； （2）延长到，使，延长到，使，连接，再根据平面直角坐标系写出点的坐标． 【详解】（1）解：点的位置如图所示 ； （2）解：如图，即为所求； ∴. 【变式2-2】（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位）    (1)以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为2:1； (2)写出点的坐标及的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查位似图形，利用网格求三角形的面积，熟练掌握位似图形是解题的关键． （1）根据位似比画出图形即可； （2）利用网格即可求出面积． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示，， ． 【变式2-3】（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移个单位得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查作图位似变换、作图平移变换，熟练掌握位似的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质找到对应点作图，即可得出答案． （2）根据位似的性质找到对应点作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作． 一、单选题 1．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，与是点O为位似中心的位似图形，．若，则的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的定义得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的同侧，则A点的两个坐标分别乘即得D的坐标． 【详解】解：∵与位似，且原点O为位似中心，其位似比，点， ∴其对应点D的坐标为，即． 故选：A 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，和是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 4．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中和是以点O为位似中心的位似图形，若位似比为，则和的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面积比为相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中和是以点O为位似中心的位似图形，若位似比为， ∴和的面积比是； 故选：C 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由位似图形的概念得出，，，，从而得出，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：∵ 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，，，，故A选项正确； ∴，， ∴，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误； 若，则， ∴，故B选项正确． 故选：D． 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 7．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．根据位似与相似的关系得出相似比，再由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 故选：． 二、填空题 8．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 9．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 10．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形相似及相似比即可得出结果． 【详解】∵点的坐标为，点的坐标为， 与关于原点的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握相似三角形的性质；由题可知两个三角形相似，且大的三角形的边长是短的2倍，进而得到答案即可； 【详解】解：∵在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为 ．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 14．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质判断③正确；①错误；②正确；再由，可得，可得，可判断④正确． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，且相似比为，点，，三点在同一条直线上，故③正确； ∴，，，故①错误；②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题 15．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． （1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求； （2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，位似中心即为所求． ． （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查位似变换的概念、相似三角形的判定与性质， （1）由与的相似比为，可得，再求的长即可； （2）先求出的度数，再根据位似图形的性质求解即可． 掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与的相似比为，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）∵，， ∴， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 17．（24-25九年级上·广西·期中）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大两倍，画出图形； (2)直接写出（1）中B、C两点的对应点、的坐标； 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】本题考查了画位似图形及求对应点坐标．画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）延长到，使，延长到，使，连接，则即为所求． （2）根据（1）中图象写出点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵B，C两点的坐标分别为、， ∴，． 18．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积是； （3）解：∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴． 19．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画出将△放大为原来的2倍后的位似图形； (2)点的坐标是 ； (3)在（1）的条件下，已知△的面积为，则△的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)14 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接并延长至,使得，顺次连接，则即为所求； （2）根据（1）中图形即可得出点的坐标； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）由（1）得：点的坐标是， 故答案为：； （3）∵和关于原点位似， ∴， 故答案为：14． 20．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为． (1)请在网格内画出变换后图形，并写出各顶点的坐标； (2) ． 【答案】(1)画图见解析，，，，，，； (2) 【分析】本题考查的是画位似图形，求解位似对应点的坐标，位似图形的性质； （1）分别确定的三个顶点的位似对应点，再顺次连接即可，再根据点的位置可得其坐标； （2）根据位似图形的性质可得答案. 【详解】（1）解：如图，，即为所求； ； ∴，，，，，； （2）解：∵以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为． ∴； 21．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为； 故答案为：； （2）解：当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 位似（知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：位似图形的定义 知识点02：位似图形的性质 知识点03：位似图形的画法 知识点04：平面直角坐标系中的位似变换 典例分析 （举三反三） 考点1：位似图形的判定 考点2：位似变换作图与应用 习题巩固 一、单选题（7） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 【知识点01】位似图形的定义 位似图形 与位似中心 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点, 并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心 位似多边形 对于两个多边形, 如果它们的对应顶点的连线相交于一点, 并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形 位似多边形 如图①，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形；如图②，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′ 是以点A(A′)为位似中心的位似图形；如图③，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是以点O为位似中心的位似图形 位似与相 似的区别 与联系 (1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例; (2)位似图形是相似图形的特例，如果两个图形是位似图形, 那么这两个图形一定是相似图形, 但相似的两个图形不一定是位似图形 【知识点02】位似图形的性质 性质1 位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比 性质2 位似图形上任意一组对应点的连线都经过位似 中心 性质3 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上 性质4 位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质 示例 若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，则＝＝＝＝k；直线A′A，B′B，C′C，D′D相交于点O；AB∥A′B′，BC∥B′C′，CD∥C′D′，AD∥A′D′；四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k 【知识点03】位似图形的画法 1. 位似变换: 利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小叫做位似变换. 2. 位似图形的画法 【知识点04】平面直角坐标系中的位似变换 1. 位似变换时对应点的坐标的变化规律 一般地, 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点 的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky). 如图27.3－8，已知点A(6 ，4)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小， 则其位似图形上对应点的坐标分别为A′(3 ，2)，B′(3 ，0)或A″(－3，－2)，B″(－3 ，0). 2. 位似变换与平移、轴对称、中心对称三种变换的异同： 变换方式 点P(x，y)的坐标变化规律 平移 当点P向左平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x－a，y) 当点P向右平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x＋a，y) 当点P向上平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x，y＋a) 当点P向下平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x，y－a) 轴对 称 当点P 关于x 轴对称时，点P 的坐标变为(x，－y) 当点P 关于y 轴对称时，点P 的坐标变为(－x，y) 中心 对称 当点P 关于原点对称时，点P 的坐标变为(－x，－y) 位似 变换 当位似图形与原图形的相似比为k，且原图形上的点P 与其对应点在原点同侧时，点P 的坐标变为(kx，ky) 当位似图形与原图形的相似比为k，且原图形上的点P 与其对应点在原点异侧时，点P 的坐标变为(－kx，－ky) 【题型一】位似图形的判定 【典例1-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 【典例1-2】（24-25九年级上·吉林·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【典例1-3】如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高． （1）求证：； （2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？ 【变式1-1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 【变式1-3】如图，矩形的对角线与相交于点O，E，F，G，H分别是，，，的中点，那么矩形与四边形是不是位似图形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，请说明理由． 【题型二】位似变换作图与应用 【典例2-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．以原点为位似中心，在第一象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【典例2-2】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于x轴成轴对称的； (2)请在轴左侧，画出以点为位似中心，位似比为的． 【典例2-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 【变式2-1】．（24-25九年级下·安徽六安·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 【变式2-2】（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位）    (1)以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为2:1； (2)写出点的坐标及的面积． 【变式2-3】（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移个单位得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为． 一、单选题 1．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，与是点O为位似中心的位似图形，．若，则的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，和是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中和是以点O为位似中心的位似图形，若位似比为，则和的面积比是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是 ． 9．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    10．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 11．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 12．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 13．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为 ．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 14．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 三、解答题 15．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 16．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 17．（24-25九年级上·广西·期中）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大两倍，画出图形； (2)直接写出（1）中B、C两点的对应点、的坐标； 18．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 19．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画出将△放大为原来的2倍后的位似图形； (2)点的坐标是 ； (3)在（1）的条件下，已知△的面积为，则△的面积是 ． 20．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为． (1)请在网格内画出变换后图形，并写出各顶点的坐标； (2) ． 21．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 1 学科网（北京）股份有限公司 $