27.3位似 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《27.3位似》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列选项中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B．C． D． 2．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（   ） A．位似中心是点B B．位似中心是点D C．相似比为 D．相似比为 4．如图，与位似，位似中心为点O，若，则与的周长比为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，轴，以原点为位似中心将线段缩小得到线段．若点的坐标分别为，则点的纵坐标为（   ） A．3 B．0 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，将扩大为原来的4倍，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为，已知，D点的坐标为，则这两个三角形的位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．如图，四边形是四边形的位似图形，图中还可以找到 对相似三角形（可用字母表示），它们分别是 ． 10．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为4，则的面积为 ． 11．如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知，若的面积是3，则的面积为 ． 12．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点B的对应点的坐标为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，与是以点A为位似中心的位似图形，相似比为．已知，则点的坐标为 （结果用含a，b的式子表示）． 14．《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为4，，则正方形的周长为 ．    15．如图，点是反比例函数图象上的一点，直线分别与轴，轴交于点和，轴于点，若与的位似比为，的面积为，则值为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形．位似中心的坐标是 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，已知四边形，以点为位似中心画一个四边形，使四边形与四边形位似，且相似比为（保留画图痕迹，不写画法）． 18．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．求正方形与正方形的位似中心的坐标． 19．如图所示： (1)写出“小鱼”与“大鱼”的位置关系； (2)已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为，写出“大鱼”上对应“顶点”的坐标． 20．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在网格中画出关于轴成轴对称的． (2)若能在网格中画出以为位似中心，位似比为的，请画出来，若不能在网格中画出来，请写出三个点的坐标． 21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成三个画图任务． (1)在图1中，作的角平分线交于点D； (2)已知P是上一点，在（1）的基础上，作点P关于的对称点Q； (3)在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，使边长放大到原来的2倍，请画出所有与位似的图形． 22．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． (1)平移到，其中点的对应点坐标为，请在图中画出； (2)将绕点旋转得到，请在图中画出； (3)将绕点顺时针方向旋转得，则点的对应点坐标为 ； (4)求四边形的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 参考答案 1．解：、连接两个正六边形对应点交于正六边形的中心，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似四边形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似三角形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接此两个相似箭头图形的对应点不交于同一点，不是位似图形，故选项符合题意． 故选：． 2．解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 3．解：首先，连接对应点与、与、与，它们的交点即为位似中心． 假设每个小正方形的边长为，可得，． ∴相似比为： A、位似中心不是点，不符合题意； B、位似中心不是点，不符合题意； C、相似比为，符合题意； D、相似比不是，不符合题意． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得到，然后根据相似三角形的性质求解．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线． 【详解】解：与位似，位似中心为点， ， 的周长与周长之比． 即与的周长比为， 故选：B． 5．D 【分析】此题考查了位似三角形的性质，掌握位似三角形的对应边成比例是解决此题的关键．先求出，然后根据位似的性质即可求解． 【详解】解：∵点的坐标分别为， ∴． ∵轴，以原点为位似中心将线段缩小得到线段， ∴轴，， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为． 故选D． 6．C 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，求得，与是以点为位似中心的位似图形，可得位似比为，由点A的坐标可得点C的坐标． 【详解】解：∵，， ∴， 又与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：C． 7．D 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，以原点O为位似中心，将扩大为原来的4倍， ∴， ∴点A的对应点的坐标在第一象限时，即点A的对应点的坐标是 ∴点A的对应点的坐标在第三象限时，即点A的对应点的坐标是， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了位似的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握位似中心是由位似图形的对应顶点的连线的交点是解答本题的关键． 先确定G点的坐标，再结合D点坐标和位似比为，求出A点的坐标；然后再求出直线的解析式，直线与x的交点坐标，即为这两个三角形的位似中心的坐标． 【详解】解：∵是由等腰直角三角形经过位似变换得到的， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴G点的坐标分别为 ∵D点坐标为，位似比为， ∴A点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线与x的交点坐标为， ∴位似中心的坐标是． 故选：A． 9． 4 ，，， 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，，，根据相似三角形的判定定理写出所有的相似三角形．熟记位似图形的概念、相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是四边形的位似图形， ∴，，，， ∴，，，，共4对相似三角形， 故答案为：4；，，，． 10． 【分析】本题考查了位似的性质，位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．根据位似的性质求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ， ∴， ∵的面积为， ∴ 故答案为：． 11．27 【分析】本题主要考查位似图形的性质，相似三角形的性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．根据题意得出，确定，再由面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：与位似， ，， ， ， ， ， ∵的面积是3， 的面积， 故答案为：27． 12．或 【分析】本题要考查了位似图形和图象上的点的坐标特征、一次函数与坐标轴的交点问题，先解得点A和B的坐标，利用位似变换可得结果． 【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令可得；令可得； 点A和B的坐标分别为，， 与是以A为位似中心的位似图形，且相似比为， ， 的坐标为或． 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于点M，过点作点N，先证明，得到，求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过点C作于点M，过点作点N， 则． 与的相似比为， ． 又 ， ． ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为： ． 14． 【分析】此题考查了位似图形的性质，正多边形和圆的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．设位似中心为O，连接，，首先得到，然后利用勾股定理求出，然后根据位似图形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设位似中心为O，连接，    ∵正方形的外接圆半径为4， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴． ∴正方形的周长为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的是位似图形的概念、反比例函数的系数的几何意义，根据位似比求出是解题的关键．连接，根据位似比得到，求出，根据反比例函数的系数的几何意义解答即可． 【详解】解：连接， 与的位似比为， ， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键． 连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图，连接两组点与以及与交于点， 点即为位似中心，． 故答案为：． 17． 【分析】连接，，，，使得，，，，连接，，，即可． 【详解】解：答案不唯一. 如图，画法如下： （1）连接，，，， （2）分别在射线，，，上取点，，，，使得， （3）顺次连接，，，，得到的四边形即为所求. 【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． 18．或 【分析】连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，证明，根据相似三角形的性质求出；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 四边形为正方形，点的坐标为， 点的坐标为． ， ，， ， ，即， 解得， 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标为或. 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要分情况讨论． 19．(1)位似变换 (2) 【分析】本题考查的是位似变换的性质，解决本题的关键是找到所给图形中象限内的一对对应点的变化规律． （1）根据坐标系中，图形的位置即可解答； （2）先找一对对应点，观察所找对应点的变化规律，那么所求点也按照这个变化规律进行变化即可． 【详解】（1）解：“小鱼”与“大鱼”位置关系属于位似变换； （2）解：“小鱼”最大鱼翅的顶端坐标为，“大鱼”对应点坐标为； “小鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么“大鱼”上对应“顶点”的坐标为． 20．(1)画图见解析 (2)不能画出来，，，或，， 【分析】（）根据轴对称的性质作图即可； （）根据位似图形的性质解答即可； 本题考查了作轴对称图形，位似图形的性质，掌握轴对称图形和位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：不能画出来．当和在原点同侧时，，，，即，，； 当和在原点异侧时，，，，即，，； 综上，，，或，，． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，位似图形的作法等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，格线与的交点D即为所求； （2）取格点E，连接交于O，连接并延长交于Q，点Q即为所求，可证明是等腰直角三角形，证明，进而可证明； （3）根据题意及位似图形的作法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，格线与的交点D即为所求； （2）解：如图所示，取格点E，连接交于O，连接并延长交于Q，点Q即为所求； 可证明是等腰直角三角形，可证明，进而可证明； （3）如图所示，与即为所求． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)16 【分析】（1）平移到，其中点的对应点坐标为，得到一个向左平移6个单位，再向下平移2个单位平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据中心对称坐标特点，确定坐标后，画图即可； （3）根据旋转的性质画图解答即可； （4）利用分割法计算四边形的面积即可． 本题考查了平移作图，中心对称作图，旋转作图，分割法计算面积，熟练掌握变换的基本特征，分割法求面积是解题的关键． 【详解】（1）解：平移到，其中点的对应点坐标为，得到一个向左平移6个单位，再向下平移2个单位平移变换， 则，画图如下： 则即为所求． （2）解：将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据题意，得，画图如下： 则即为所求． （3）解：根据旋转的性质，画图如下： 则即为所求，且． （4）解：连接，如图所示， 则四边形的面积为： ． 23．(1)见解析，点 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图、利用相似三角形确定线段比例点以及构造相似三角形的作图，解题的关键是熟练运用位似性质、相似三角形的判定与性质进行作图和推理． （1）根据位似图形性质，以原点为位似中心，位似比，将各顶点坐标变换后在第三象限找点作图，再确定坐标； （2）通过构造格点三角形，利用相似三角形对应边成比例找到点，再依据相似性质说明； （3）利用格点构造角相等，依据相似三角形判定（两角分别相等）确定点，通过作特定格点连线找到交点． 【详解】（1）解：作出的位似图形如图所示，点； （2）解：作出的点如图所示． 理由：如图，∵， ∴， ∴； （3）解：作出的点如图所示． 作法：（1）将边绕着点逆时针旋转得到； （2）将线段平移，使得点与点重合，此时点的对应点为点； （3）连接交于点，则点为所求． 证明：将边绕着点逆时针旋转得到， ，， ， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在和中， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $