专题06 二次函数中线段、周长、面积最值问题（5大题型）（专项训练）数学北师大版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数中线段、周长、面积最值问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、利用二次函数求线段最值的问题… 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 .7 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 13 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 .23 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 .30 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 1.(2025九年级上浙江·专题练习)如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,D 为第一象限内抛物线上一点，DE∥y轴交BC于点E. (1)若DE=2,求点D的坐标： (2)求DE的最大值. 【答案】(1)点D的坐标为(1,4)或(2,3 ②DE的最大值为4 .9 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是对二次函数性质的应用 (1)根据抛物线解析式求出B,C坐标，再用待定系数法求直线BC的解析式，设D(m,-m2+2m+3,则 E(m,-m+3),然后根据DE=2得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可； (2)根据(1)中DE关于m的解析式和m的取值范围，由二次函数的性质求最值即可. 【详解】(1)解：令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3, A-1,0),B(3,0, 令x=0,则y=3, 1/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C(0,3), 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠O), 3k+b=0 则1b=3 k=-1 解得6=3' :直线BC的解析式为y=-x+3, 设Dm,-m2+2m+3, :DE∥y轴， .Em,-m+3, DE=-m2+2m+3-(-m+3=-m2+3m, :DE=2, .-m2+3m=2, 解得m,=1,m2=2, 点D的坐标为1,4)或(2,3)； (2)解：由(1)知，DE=-m2+3m=- 329 m-2+4 .-1<0,0<m<3, 当=弓时，DE有最大值，最大雀为子 :DE的最大值为4 2.(2025九年级上浙江·专题练习)如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点，且0A=20B,与y 轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=,D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE1OA于 点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m. 备用图 (1)求抛物线的表达式： 2/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； 【答案】(1)y=-x2+x+2 2)D(1,2 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的 思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 (1)求出A点的坐标为2,0)，B点的坐标为(-1,0)，利用待定系数法即可求解； (2)求出直线AC的表达式为：y=-x+2,设点D的横坐标为m,则点D(m,-m2+m+2),则点 F(m,-m+2),则DF=-m2+2m,利用二次函数的性质即可求解. 【详解】(1)解：设点A的坐标为t,0), :OA=20B,A在x轴正半轴上，B在x轴负半轴上， :点B的坐标为0 :抛物线对称轴为直线x=2, 22 解得t=2, 1 2=-l, A点的坐标为(2,0)，B点的坐标为(-1,0)， 将A、B两点的坐标代入抛物线y=ar2+bx+2,得 a-b+2=0 4a+2b+2=0 a=-1 解得 b=1· :抛物线的表达式为y=-x2+x+2; (2)对于y=-x2+x+2, 令x=0,则y=2,故点C(0,2), 设直线AC的表达式为：y=kx+b 2k+b=0 由点A、C的坐标得， b=2 k=-1 解得 b=2 3/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 直线AC的表达式为：y=-x+2, 设点D的横坐标为m,则点D(m,-m2+m+2),则点F(m,-m+2), 则DF=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m, :-1<0,0<m<2, 故DF有最大值，DF最大时m=I, 点D1,2): 3.(24-25九年级上江西新余阶段练习)如图，直线y=x+n与抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)相交于A1,2) 和B(4,m两点，点P是线段AB上异于A,B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C A -4-3-2210L12345x -3 (1)求抛物线的解析式 (②)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)卫=x2-4x+5 9 (2)存在，最大值为 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键。 (1)根据题意先求出直线y=x+n的解析式，然后把点B(4,m)代入直线解析式求解，最后求出抛物线解析 式即可； (2)由(I)可设点P(k,k+),则点C可用含k的代数式表示出来，进而根据两点距离得到PC的长，最 后根据二次函数的性质求解最值即可. 【详解】(1)解：把点A1,2)代入直线y=x+n得： 2=1+n,解得n=1, y=x+1, 把B(4,m)代入直线解析式得：m=4+1=5,即B(4,5), :把A1,2),B(4,5)代入抛物线=ax2+bx+5(a≠0)得： a+b+5=2 a=1 16a+46+5=5解得6=-4 4/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :抛物线解析式为卫=x2-4x+5: 2存在，最大值为}；率由如下 由(1)及题意可设点P(kk+1),则点Ck,k2-4k+5, 0=+1-k-4+到=45-4-+ -1<0, ·开口向下， 当k=时：PC为最大信，即PC 4 4〈23-24九年级上广西格州期未)如图，抱物线y=x+川x-4与维相交于点A,日（点B在点A 的右边)，与y轴相交于点C. C AO (I)求直线BC的解析式： (2)点P在第一象限内该抛物线上的一点，过点P作PQ⊥BC,垂足为点Q,连接PC.求线段PO的最大值. 【答案10y=+2 24v5 【分析】(1)根据抛物线和坐标轴的交点求出B,C坐标，设直线BC的解析式为y=c+2,利用待定系数 法求解，即可解题； 2过点P作PMy轴，交BC于点M,证明△OCPM,，得到等式兴=渔 行m+m+2小则Mm+2小PM=+2m,将其代入等式整理得到 (m-2+45,再结合三次函数最值情况求解，即可解题 5 【详解】(1)解：：抛物线y=-x+1(x-4)与X轴相交于点A,B（点B在点A的右边)， 当x+x-4到=0时，解得=-1=4， .A-1,0),B4,0, 5/60 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :抛物线与y轴相交于点C, 当x=0时，解得y= 2×1×-4)=2, C(0,2), 设直线BC的解析式为y=x+2, 将B(4,0)代入y=x+2中， 有420，得= 直线8c的解折式为y=一片+2： (2)解：过点P作PM∥y轴，交BC于点M, ∴.∠OCB=∠PM9, y Q M AO B PQ⊥BC, .∠PQM=∠BOC=90°， ∴.△OBCP△QPM, PO PM OB BC OB=4,OC=2, BC=V0B2+0C2=25, 1 设Pm,- 2m+2, 1 则M,-2m+2 2 ∴.PM=-二m2+2m, 1 21 :P0 -。m2+2m 4 2V5 整理得P0=-5 (m-2}+45 5 6/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5s0, 则当m=2时，线段P心有最大值为45 【点晴】本题考查了抛物线和坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定， 二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握相关知识。 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 5.(24-25九年级上广东东莞阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴、y轴分别交于A,B,C三点，D是其顶点，已知点C的坐标为0,2)，点D的坐标为2,4). (①)求抛物线对应的函数解析式； (②)在抛物线的对称轴上找一点P,使AP+CP最小，求出点P的坐标. 【答案】0y=x-2到+4 22,4-22) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题 的关键： (1)写出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； (2)连接BC,BC与对称轴的交点即为点P,求出直线BC的解析式，进而求出点P的坐标即可. 【详解】(1)解：“抛物线的顶点坐标为2,4)， :抛物线对应的函数解析式为y=a(x-2)+4, 将C(0,2)代入，得2=4a+4,解得a=-】 2 :抛物线对应的函数解析式为y=- x-2+4, 2)由y=-x-2+4,得：抛物线的对称轴为直线x=2. 把0代入y=x-2+4,得0=x-2+4 解得x=2-2√2或x=2+2√2， 7/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点A的坐标为2-2√2,0，点B的坐标为2+2V2,0, 如图，连接BC,交对称轴于点P,则此时AP+CP=BP+CP=BC最小， 设直线BC对应的函数解析式为y=kc+m, 将B2+2V2,0,C(0,2)代入， 0=2+2√2)k+m 得 2=m k=1-√2 解得 m=29 y=1-②)x+2, 把x=2代入y=1-V2)x+2,得：y=4-22. :点P的坐标为(2,4-22)· B 6.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，直线y=-X-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线 y=a(x-h)的顶点为A,且经过点B. (1)求抛物线对应的函数解析式 acm别 在该抛物线上，求m的值. (3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使PO+PB的值最小，并求出点P的坐标. 【答案】（①）y=2 (x+2) (2)1或-5 (3)点P的坐标为(-2，-1) 【分析】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题， 善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解 8/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)利用x轴上的点y坐标为O,y轴上的点x坐标为O代入直线的表达式求出A,B点的坐标，再利用顶点坐 标式待定系数法求出抛物线的表达式： 2)把x三m时，y号代入披物线的表达式求出m (3)把点B关于对称轴x=-2的对称点为B,连接OB',OB'与对称轴的交点即为点P,利用直线OB'与对称 轴的交点求法即可得到点P的坐标 【详解】(1)解：对于y=-x-2,当x=0时，y=-2;当y=0时，x=-2, .B0,-2,A-2,0. :抛物线的顶点为A(-2,0), y=a(x+2)2.又：抛物线经过点B(0,-2), -2=4a,解得a=二2 1 ·抛物线对应的函数解析式为y=-二(x+2)2, 9 (2):点Cm,- 在抛物线y=- 2x+2}2上， 2m+22= 9 解得m1=1,m2=-5, .m的值为1或-5 (3)如图，设点B关于对称轴的对称点为B,连接OB',OB'与对称轴的交点即为点P. 点B的坐标为(0，-2)，对称轴是直线x=-2, :B-4,-2),则直线0B'的函数解析式为y=2: /x=-2, x=-2, 联立 1解得 y=。x, y=-1. 故点P的坐标为(-2，-). 7.(24-25九年级上·广东江门期末)如图，在平面直角坐标系中，△A0C绕原点O逆时针旋转90°得到 △D0B,其中OA=1,OC=3. 9/60 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y B 2 D (I)若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式： (2)在(1)条件下，在二次函数的对称轴1上是否存在一点P,使得PA+PC最小？若点P存在，求出点P 坐标；若点P不存在，请说明理由， 【答案】(1)y=x2-2x-3 2)存在，P(1,-2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题 的关键： (1)根据旋转的性质，得到OB=OC=3,进而求出A,B,C的坐标，两点式设出函数解析式，待定系数法 求出函数解析式即可； (2)根据对称性得到PA=PB,进而得到当点P在线段BC上时，PA+PC最小，进行求解即可. 【详解】(1)解：：△A0C绕原点O逆时针旋转90°得到△D0B,OA=1,OC=3 0B=0C=3, A-1,0)B3,0,C0,-3, 设二次函数的解析式为：y=ax+1)(x-3),把C(0,-3)代入解析式，得： -3=a0+1(0-3),解得：a=1, y=(x+1(x-3=x2-2x-3: (2)y=x2-2x-3, ·对称轴为直线x=-2 2 =1, :A,B关于对称轴对称，点P在对称轴上， .PA=PB, .PA+PC=PB+PC≥BC, 当点P在线段BC上时，PA+PC最小， :B3,0),C0,-3, .设直线BC的解析式为y=kx-3,把B(3,0)代入解析式，得：k=1, y=x-3, 10/60品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数中线段、周长、面积最值问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、利用二次函数求线段最值的问题…。 … 1 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 .7 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 13 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 23 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 .30 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 1.(2025九年级上浙江专题练习)如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,D 为第一象限内抛物线上一点，DE∥y轴交BC于点E. (1)若DE=2,求点D的坐标： (2)求DE的最大值. 2.(2025九年级上·浙江.专题练习)如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点，且0A=20B,与y 轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=?,D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE1OA于 点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m, 备用图 1)求抛物线的表达式： 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； 3.(24-25九年级上江西新余阶段练习)如图，直线y=x+n与抛物线y=x2+bx+5(a≠0)相交于A(1,2) 和B4,m两点，点P是线段AB上异于A,B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C 4 2 D -4-3-2☑1912345x -2h (①)求抛物线的解析式 (②)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 4.(23-24九年级上广西稻州期末)如图，抛物线=x+川x-4)与x轴相交于点A,B(点B在点A 的右边)，与y轴相交于点C. AO B主 (I)求直线BC的解析式： (②)点P在第一象限内该抛物线上的一点，过点P作PQ⊥BC,垂足为点Q,连接PC.求线段PQ的最大值， 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 5.（24-25九年级上广东东莞·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴、y轴分别交于A,B,C三点，D是其顶点，己知点C的坐标为0,2)，点D的坐标为2,4). B (I)求抛物线对应的函数解析式： (2)在抛物线的对称轴上找一点P,，使AP+CP最小，求出点P的坐标. 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25-26九年级上全国·课后作业)如图，直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线 y=a(x-h)的顶点为A,且经过点B. VA (1)求抛物线对应的函数解析式， 9 ②若点Cm,2在该抛物线上，求m的值. (3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使PO+PB的值最小，并求出点P的坐标 7.(24-25九年级上·广东江门期末)如图，在平面直角坐标系中，△A0C绕原点O逆时针旋转90°得到 △D0B,其中OA=1,OC=3, y (I)若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式： (②)在(1)条件下，在二次函数的对称轴1上是否存在一点P,使得PA+PC最小？若点P存在，求出点P 坐标；若点P不存在，请说明理由， 8.(2025·甘肃平凉·二模)如图，抛物线y=ax2+bx-4(a、b为常数，a≠0)与x轴交于A-2,0、 B(4,0)两点，与y轴交于点C.点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限. M 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (②)如图1，若点P与点C关于抛物线的对称轴对称，作直线BP与y轴交于点M,连接AP,交y轴于点N, 求线段MN的长： 3/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图2，连接BC、OP,两线段交于点E.在线段OB上取点F,使BF=CE,连接CF,求CF+OE的最 小值. 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 9.(2025河北一模)如图，己知抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(7,-7)）,且它的对称轴为x=3. (1)求此抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当△0AP的面积为21时，求点P的坐标： (3)在(2)条件下，当点P在OA上方时，M是抛物线上的动点，求AM-PM的最大值. 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-3x+3x 8 ++3与x轴交于点A和点B,A在B的左侧，与y轴 交于点C,点P为直线BC上方抛物线上一动点. A 0 (1)求直线BC的解析式： ②过点P作y轴的平行线交BC于点M,求线段PM=时点P的坐标 (3)过P作PM⊥x轴，交BC于M,当PM-CM的值最大时，求P的坐标和PM-CM的最大值 9.如图，直线y=-x+4与抛物线y=- 亏+bx+c交于A,B两点，点A在v轴上，点B在轴 B 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形OAPB面积最大，此时P点的坐标为 四边形OAPB的面积的最大值为 3)在(2)的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使BQ-PQ值最大，求Q点坐标及BQ-PQ的最大值， 1 11.(2025九年级上·浙江.专题练习)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=- x+2与x轴交于点B, 2 3 y轴交于点C,抛物线y三x2+bx+c的对称轴是直线x二。，该对称轴与x轴的交点为点4，且经过 B、C两点， A 0 B (①)求抛物线的解析式： (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当BM-CM的值最小时，请你求出点M的坐标； 12.(2025安徽二模)如图，已知抛物线y=-2x2+4x+6与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点P 为抛物线对称轴1上的动点. AO B (I)求A,B,C三个点的坐标以及抛物线的对称轴： (②)PB-PC有无最值，如果有最值，最值是多少，并求此时点P的坐标；如果无最值，请说明理由 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 13.已知，抛物线y=。x2-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点 2 5/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C (1)求点A、B、C三点的坐标： (2过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积： (3)在(2)的条件下，在线段AP上是否存在一点M,使△MBC的周长最小？若存在，请直接写出△MBC周 长的最小值；若不存在，请说明理由 14.如图，抛物线y=ax2+bx-5的图象与x轴交于A-1,0,B5,0)两点，与y轴交于点C,顶点为D. (1)求此抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标并计算△OAC的 周长；若不存在，请说明理由： (3)设点M在第四象限，且在抛物线上，当△MBC的面积最大，求此时点M的坐标.（直接写出结果） 15.(2025甘肃定西·三模)如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(-3,0)两点，与y轴交于C(0,-3), 直线y=x+m经过点B,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E. E B B 图1 图2 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式： (2)连接BC,CE,求△BCE的面积； 3)如图2，直线BE与抛物线对称轴交于点F,在x轴上有M,N两点(M在N的右侧)，且MN=2,若将 线段MN在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长最小，求出此时周长的最小值， 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 16.(2025九年级上·全国.专题练习)平面直角坐标系中，直线y=-x+4与抛物线y=x2+bx+4交于过y轴 上的点M和点N(n,1, AB八 图1 图2 (1)求n和b的值； (2)A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM,AN,求△AMN的面积的最大值. 17.(2025河北唐山三模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中 B(2,0),C(0,6). A OB (1)求抛物线的解析式： (②)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得△APC的面积最大.若存在，请直接写出点P坐标和 △APC的面积最大值；若不存在，请说明理由， 18.(2025九年级上全国.专题练习)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点，与y 轴相交于点C,请完成下面的填空： 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)该抛物线的解析式为 (2)在该抛物线的对称轴上存在点Q,使得△QAC的周长最小，则Q点的坐标为 (3)在抛物线上的第二象限上存在一点P,使△PBC的面积最大，则点P的坐标为 ,△PBC的最 大面积为· 19.(23-24九年级上·青海西宁.期中)已知：二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A,B两点，其中A 点坐标为-3,0)，与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上 VA (①)求抛物线的解析式： (2)抛物线的对称轴上有一动点P,若PA+PD最小，求P的坐标： (3)在直线BD下方的抛物线上是否存在动点Q,使得△BDQ的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标， 及△BDQ的最大面积；若不存在，请明理由. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25九年级上·吉林·期末)如图，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点A,过点A作AB∥x轴交抛物线 于点B,连接OB.动点P在线段OB上，连接AP,则AP的最小值为() 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B.2.4 C.2.5 D.3 2.(24-25九年级上·安徽安庆阶段练习)抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-1,0),B(3,0),交y轴于点 C,点E为抛物线对称轴I与x轴的交点.若点P为第一象限内对称轴I右侧抛物线上一点，则△PCE面积的 最大值为() A.3 B.5 c.25 25 4 D. 8 3.(2526九年级上湖北黄冈，阶段练习)如图，抛物线y=】x2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B, 线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时，点D 的坐标为() C OB A.（4, B.（4,2 C.(4,3 D.（4,4 二、填空题 4.(25-26九年级上·江西南昌阶段练习)如图，过点D(1,3)的抛物线y=-x2+k的顶点为A,与x轴交于B、 C两点，若点P是y轴上一点，则当PC+PD取得最小值时，点P坐标为 不y D B 0 C 5.(24-25九年级下·四川遂宁阶段练习)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-3,0),B(-2,3),C(0,3, 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 顶点为D.若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值为 6.(2025·安微阜阳模拟预测)如图，己知抛物线y=ax2+bx过点A(-2,-2),点B(6,-6). (1)该抛物线的顶点坐标为 (2)点C是AB上方抛物线上一动点（不与点A,B重合），连接AC,BC,则ABC面积的最大值 为 三、解答题 7.(25-26九年级上·天津蓟州阶段练习)已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图 象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为3,0)，与y轴交于C(0,-3)点，点P是直线 BC下方的抛物线上一动点. ()求这个二次函数的表达式： (2)过P点作y轴的平行线交直线BC于点E,求线段PE的最大值 8.(25-26九年级上天津河西·阶段练习)已知抛物线y=a(x-1)2-3(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,-2), 顶点为B. 10/13