第八单元 垂线与平行线（解决问题专项）数学苏教版四年级上册

第八单元 垂线与平行线 （13个类型题讲练+三大难度分层练 共41题） 第一部分：类型题讲练 应用类型01：角的度量与计算问题 角度测量：在实际场景中，需要使用量角器测量角的度数。例如，在建筑图纸中，测量一些结构角度，以确保建筑的稳定性和符合设计要求。 角度计算：已知一些角的度数，通过四则运算求出其他角的度数。比如，已知一个直角三角形中一个锐角是30∘，求另一个锐角的度数，可根据直角三角形两锐角和为90∘，计算出另一个锐角为90∘−30∘=60∘。 应用类型02：垂线的应用问题 距离问题：在实际生活中，经常会用到点到直线的距离，也就是从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度。例如，要从一条河流向一个村庄铺设水管，为了使水管长度最短，就需要找到村庄到河流的垂直线段位置进行铺设，因为垂线段最短。 垂直关系判断：在建筑施工、木工制作等领域，需要判断两条直线是否垂直。比如，在建造房屋时，要确保墙壁与地面垂直，以保证房屋的结构安全。 应用类型03：平行线的应用问题 轨道铺设：在铁路、轻轨等轨道建设中，需要保证两条轨道是平行的，这样列车才能平稳行驶。通过运用平行线的知识，可以确保轨道之间的距离始终保持一致。 图案设计：在美术设计、装饰等领域，平行线可以用来创造各种图案和纹理。例如，在设计条纹图案时，就需要运用平行线的原理，使条纹之间保持平行且等距。 解题技巧 角的度量与计算技巧 正确使用量角器：量角时，要将量角器的中心与角的顶点重合，0∘0{\circ}0∘刻度线与角的一条边重合，然后根据角的另一条边所对的刻度来确定角的度数。读数时要注意内圈刻度和外圈刻度的区别。 分析角之间的关系：对于角度计算问题，要仔细分析角之间的和、差、倍、分等关系。可以通过画图的方式，直观地展示角之间的关系，帮助解题。例如，在多个角组成的图形中，找出哪些角相加或相减可以得到要求的角。 垂线相关问题的解题技巧 画垂线的方法：可以使用三角尺来画垂线。将三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着另一条直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线。如果要过直线外一点画已知直线的垂线，先将三角尺的一条直角边与已知直线重合，然后平移三角尺，使另一条直角边经过直线外的点，最后沿着这条直角边画直线。 利用垂线段最短的性质：在解决距离最短问题时，要想到垂线段最短的性质。通过找到垂线段，将问题转化为求垂线段的长度。 平行线相关问题的解题技巧 画平行线的方法：可以使用直尺和三角尺来画平行线。先将三角尺的一条直角边与已知直线重合，然后将直尺与三角尺的另一条直角边靠紧，固定直尺，平移三角尺，沿着三角尺的直角边画直线，这条直线就与已知直线平行。 判断平行线的方法：可以通过观察两条直线是否永远不相交，或者判断它们之间的距离是否始终保持相等来确定两条直线是否平行。在实际问题中，可以利用一些工具或测量方法来辅助判断。例如，使用平行线检测工具，测量两条直线之间的多个点的距离，如果距离都相等，那么这两条直线就是平行的。 类类型1 线段、直线、射线的认识及特征 典型例题1：（24-25四年级上·福建宁德·期末）下面的说法中正确的是（    ）。 A．一条射线长5厘米 B．热水器的容量约是80毫升 C．小于90度的角是锐角，大于90度的角是钝角 D．从一点到已知直线的所有连线中，与已知直线垂直的线段只有一条 思路分析： 射线只有一个端点，不可以测量出长度；2瓶矿泉水大约是1升，因此计量热水器的容量以“升”为单位；小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，等于360°的角是周角；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，且只有一条，依此选择。 变式训练：（24-25四年级上·江苏常州·期末）如图，以点A为端点再画一条射线，图中会增加( )个角。 类型2 数图形(线段、直线、射线） 典型例题2：（24-25四年级上·江苏·单元测试）下图中有A、B、C、D四个点，其中（    ）两点之间的距离最短，（    ）两点之间的距离最长。如果经过其中任意两点画直线，那么最多可以画（    ）条直线，在图上画一画。 思路分析： 根据长度的测量方法，一端从0刻度开始，另一端到达的那个刻度就是线段的长度，据此判断哪两点之间的距离最短，哪两点之间的距离最长。 采用有序组合的方法，可以过A点依次向B、C、D三个点一条一条地画，得到3条直线，然后再过B点依次向C、D两个点一条一条地画，得到2条直线，过C点向D一个点画一条直线，最后相加即可。 变式训练：（23-24四年级上·江苏南通·期末）如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线。根据你发现的规律，填写下表。 点/个 2 3 4 5 … 直线/条 1 3 6 … 45 类型3 角的概念及表示方法 典型例题3：（24-25四年级上·江苏·课后作业）在下图中，有几条射线？组成了几个角？ 思路分析： 图中有一个点，这个点既是射线的端点，也是角的顶点；这几条射线可以两两组合，再加上顶点，可以组成不同的几个角，据此解答。 答题区： 变式训练：（23-24四年级上·山东菏泽·期末）如下图，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°。 类型4 数图形（数角） 典型例题4：（24-25四年级上·江苏泰州·期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3，且图中所有锐角的和是200°，那么∠2＝( )°。 思路分析： 锐角是大于0°小于90°的角，观察发现∠1、∠2、∠3都是锐角，而（∠1＋∠2）、（∠2＋∠3）也是锐角，（∠1＋∠2＋∠3）还是锐角； 因为∠1＝∠2＝∠3，把∠2看成1份，图中所有的锐角有3＋2＋1＝6（个），则份数有（1＋1＋1＋2＋2＋3）份，用200除以总份数，计算出1份的度数，也就是∠2的度数；据此解答。 变式训练：（24-25四年级上·江苏·课后作业）看一看，量一量，下图中有几个平角、几个直角、几个钝角、几个锐角？ 类型5 角的度量 典型例题5：（24-25四年级上·河南平顶山·期末）画一画，填一填。 （1）量一量，如图的角是___________。 （2）经过点画出边的平行线。 （3）经过点分别向角的两条边画垂线。 （4）围成的四边形里有___________个直角和___________个钝角。 思路分析： （1）先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一直角边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 （3）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （4）直角三角尺上最大的那个角就是直角，用三角尺的直角进行对比，大于直角的是钝角，小于直角的是锐角。据此数出各个角的数量。 答题区： 变式训练：（24-25四年级上·江苏扬州·期末）度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“100”，另一条边对着外圈刻度“30”，这个角是( )度。 类型6 平角、周角的认识及特征 典型例题6：（24-25四年级上·安徽合肥·期末）下列说法中，错误的是（    ）。 A．直线的两端都可以无限延长，所以直线比射线更长。 B．在一张纸上，经过1点可以画无数条直线，经过2点只能画1条直线。 C．把平角分成两个角，如果一个角是钝角，那么另一个角一定是锐角。 思路分析： 直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度；过1点可以画无数条直线，经过2点只能画1条直线；平角为180度角，钝角为大于90度小于180度的角，直角为90度角，锐角为小于90度的角；据此分析每个选项解答此题。 变式训练：（23-24四年级上·江苏泰州·期末）钟面上4时整，时针和分针组成较小的角是( )角，是( )°；钟面上( )时整，时针和分针组成的角是平角。 类型7 用量角器画角 典型例题7：（24-25四年级上·贵州毕节·期末）（1）过点A画出已知直线的平行线和垂线。 （2）以点B为顶点，画一个直角。 思路分析： （1）过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线或先让三角形的直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条直线。 （2）用量角器画角的步骤：两重合：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合；点度数：在量角器所画角的度数对应的刻度线的地方点上一个点；画射线：以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 变式训练：（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）如图所示为学校平面图的一部分。地下有一根水管经过点A，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线表示这根水管。 （2）有一条小路经过点A，并且与水管的夹角为60°，请画出这小路所在的直线。 （3）图中点A处有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水沟连接到下水道，怎样挖才能使其长度最短？请在图中画一条线段表示排水沟。 类型8 用三角尺画角 典型例题8：（24-25四年级上·江苏泰州·期末）用一副三角尺拼一个105°的角，下图中第（    ）种拼法是正确的。 A． B． C． D． 思路分析： 一副三角板中包含的角的度数有30°、45°（两个）、60°、90°（两个），如果把它们相加或相减后能得出的角都可以用一副三角板拼出，算出每个角的度数，判断即可。 变式训练：（24-25四年级上·江苏·课后作业）不用量角器，你能用一副三角尺分别画出下面的角吗？ 15°          105°            120° 类型9 角度的计算 典型例题9：（24-25四年级上·河南新乡·期末）2021年3月，教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，要求小学生每天睡眠至少应达到9小时。张桦晚上8：45睡觉，第二天早上6：45起床，这时钟面上的时针和分针成( )角，时针转动了( )度。 思路分析： 6：45时分针指向9，时针指向6和7之间，这时时针和分针所成的角小于90°，所以这时钟面上的时针和分针成锐角；从晚上8：45到次日6：45共10小时。每小时转30°，10小时转动 10×30°＝300°。 变式训练：（24-25四年级上·江苏南通·期末）如图，现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是( )°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是( )°。 类型10 垂直的特征 典型例题10：（24-25四年级上·江苏常州·期末）看图回答问题。 （1）量一量，盛兴路和东风路相交形成的夹角∠1＝（    ）° （2）图中（    ）路和（    ）路是互相平行的。 （3）经过学校修一条与东风路垂直的路，画出示意图，学校到东风路的图上距离是（    ）毫米。 思路分析： （1）用量角器量角的度数方法，把量角器的中心点与角的顶点重合，0度刻度线与所画的边重合，另一条边所在的刻度线，就是这个角的度数。 （2）同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。左图中幸福路和盛兴路是互相平行的。 （3）结合过直线外一点画已知直线垂线的方法，经过学校修一条与东风路垂直的路，画出示意图。然后根据长度测量的方法，测量出学校到东风路的图上距离是17毫米。据此解答即可。 变式训练：（24-25四年级上·江苏泰州·期末）实验小学举行跳远比赛时，裁判给乐乐选手量的成绩是290厘米，但裁判在测量时，没有把皮尺和起跳线垂直。请问乐乐的真正成绩可能是（    ）厘米。 A．325厘米 B．368厘米 C．280厘米 D．209厘米 类型11 画垂线 典型例题11：（24-25四年级上·安徽合肥·期末）小李家附近有一条河。 （1）请画出小李家到河边最近的路线。 （2）小李想到河对岸去，请量出小李家到桥头的图上距离是（    ）厘米。 思路分析： （1）从直线外一点到直线所有的连线中，垂线段最短。从小李家作河岸的垂线段即可；过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过这个点时，沿这条直角边画的直线就是过这个点作的直线的垂线。 （2）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，两点之间，线段最短；据此连接小李家和桥头两点并测量距离即可；测量时将点小李家与直尺的0刻度线对齐，使直尺与连接小李家和桥头两点的线段重合，桥头对应直尺的刻度就是两点间的距离。 变式训练：（24-25四年级上·河南平顶山·期末）运动会跳远比赛，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩。李明第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相（    ）。（填“垂直”或“平行”） （3）李明后两次的成绩分别为420厘米和360厘米，张军三次的成绩分别为405厘米，410厘米和400厘米。你认为（    ）获胜。 类型12 平行的特征及性质 典型例题12：（24-25四年级上·江苏常州·期末）如图是学校附近街道的平面图，图中互相平行的两条路是（    ）。 A． 文化路和红星路 B．星汇路和三河路 C．文昌路和三河路 D．文化路和文昌路 思路分析： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；据此将选项中的路延长看是否相交，如果相交就不平行，如果不相交就互相平行（如图）。据此解答。 变式训练：（24-25四年级上·江苏·课后作业）数一数，说一说。 （1）图中有（    ）个锐角，（    ）个直角。 （2）图中互相平行的线段有哪些？互相垂直的呢？ 类型13 画平行线 典型例题13：（24-25四年级上·江苏南通·期末）如图，有一块梯形的草坪。 （1）用量角器量一量，∠B＝（    ）°。 （2）过点D画出边AB的平行线。 （3）从点A走到对边CD，怎样走最近？（在图中画出来） 思路分析： （1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点B重合， 0°刻度线与角的一条AB边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）固定三角尺，使一条直角边与AB边重合，用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺平移到D点，沿直角边画出另一条直线即可画出过点D与边AB平行的直线； （3）CD边外一点A与这条直线所有点的连线中，垂线段最短即距离最近，所以只要做出点A到直线CD的垂线段即可。过直线外一点作垂线的方法：把三角尺的一条直角边与CD边重合沿着直线移动三角尺，使直线外的点A在三角尺的另一条直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。A点到垂足部分就为垂线段。 答题区： 变式训练：（23-24四年级上·河南平顶山·期末）下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。 （1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。 （2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。 （3）用量角器可以量出，∠1的度数是（    ）°。 第二部分：难度分层训练 A夯实基础 1．（24-25四年级上·河南周口·期末）学习要“有始无终，勇往直前”。数学上可以用“有始无终，勇往直前”来形容（    ）的特征。 A．直线 B．线段 C．射线 2．（23-24四年级上·海南儋州·期末）下图中，从点P到已知直线最短的线段是（    ）。 A．① B．② C．③ 3．（24-25四年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，轩轩从家到学校的3条路线中，路线①和路线②相比，根据两点间所有连线中( )最短，所以轩轩从家到学校走路线( )最近。 4．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）如下图，先量出长方形中和的度数，再算出和的度数。 5．（24-25四年级上·河南洛阳·期末）端午节，嵩县黄庄乡举行赛龙舟活动。 （1）龙舟A航行的路线总是平行于a岸。请在图中画出这条路线。 （2）龙舟B去b岸的线路最近。请在图中画出这条路线。 （3）请以图中C为顶点，b岸为一条边，画一个120°的角。 B培优拔高 1．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）如图，小明、小亮和小强三人过马路，他们选择了不同的路线，（    ）选择的路线最短。 A．小明 B．小亮 C．小强 2．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）一条直线上有2个点，这2个点把这条直线分成了（    ）条射线。 A．4 B．3 C．2 3．（24-25四年级上·贵州贵阳·期末）如图，∠1＝( )°，是( )角。∠2＝( )°，是( )角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出( )°。 4．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）如图，王大爷家到集市的路有3条路，而且他家离河边不远。 （1）王大爷去集市走（    ）条路最近，你的依据是（      ）。 （2）王大爷每天都去河边挑水，他怎样走最近？请在图中画出来。你的依据是（        ）。 5．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）如图是某街区的平面示意图。 （1）与人民路平行的是（    ）路。 （2）用量角器量出∠1＝（    ）度。 （3）庐州小区安装供水设备，需要连接供水主管道，供水主管道在光明路上，怎样铺设连接管道最节省材料，请在示意图中画出来。 C思维拓展 1．（23-24四年级上·江苏盐城·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．一枚硬币，明明抛了5次，都是正面朝上，他抛第6次一定是反面朝上。 B．在同一平面内，经过四个点中的每两点画一张直线，最多能画4条。 C．把一个正方形的纸对折两次，折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 D．角可以用一副三角板排出来。 2．（23-24四年级上·江苏盐城·期末）如图，把一个正方形沿虚线对折、再对折，然后打开后从AB处剪开，得到一个五边形。这个五边形中的两个钝角都是( )°。 3．（23-24四年级上·江苏无锡·期末）钟面上7时整时，分针和时针所成的角是( )度；如果分针转动180度，相应的时针转动( )度。 4．（23-24四年级上·江苏·单元测试）如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数． 5．（23-24四年级上·江苏·单元测试）下面是某街区平面示意图． 解放路经过天竹星新村,与江海路平行,请画图并标上名称． 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 垂线与平行线 （13个类型题讲练+三大难度分层练 共41题） 第一部分：类型题讲练 应用类型01：角的度量与计算问题 角度测量：在实际场景中，需要使用量角器测量角的度数。例如，在建筑图纸中，测量一些结构角度，以确保建筑的稳定性和符合设计要求。 角度计算：已知一些角的度数，通过四则运算求出其他角的度数。比如，已知一个直角三角形中一个锐角是30∘，求另一个锐角的度数，可根据直角三角形两锐角和为90∘，计算出另一个锐角为90∘−30∘=60∘。 应用类型02：垂线的应用问题 距离问题：在实际生活中，经常会用到点到直线的距离，也就是从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度。例如，要从一条河流向一个村庄铺设水管，为了使水管长度最短，就需要找到村庄到河流的垂直线段位置进行铺设，因为垂线段最短。 垂直关系判断：在建筑施工、木工制作等领域，需要判断两条直线是否垂直。比如，在建造房屋时，要确保墙壁与地面垂直，以保证房屋的结构安全。 应用类型03：平行线的应用问题 轨道铺设：在铁路、轻轨等轨道建设中，需要保证两条轨道是平行的，这样列车才能平稳行驶。通过运用平行线的知识，可以确保轨道之间的距离始终保持一致。 图案设计：在美术设计、装饰等领域，平行线可以用来创造各种图案和纹理。例如，在设计条纹图案时，就需要运用平行线的原理，使条纹之间保持平行且等距。 解题技巧 角的度量与计算技巧 正确使用量角器：量角时，要将量角器的中心与角的顶点重合，0∘0{\circ}0∘刻度线与角的一条边重合，然后根据角的另一条边所对的刻度来确定角的度数。读数时要注意内圈刻度和外圈刻度的区别。 分析角之间的关系：对于角度计算问题，要仔细分析角之间的和、差、倍、分等关系。可以通过画图的方式，直观地展示角之间的关系，帮助解题。例如，在多个角组成的图形中，找出哪些角相加或相减可以得到要求的角。 垂线相关问题的解题技巧 画垂线的方法：可以使用三角尺来画垂线。将三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着另一条直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线。如果要过直线外一点画已知直线的垂线，先将三角尺的一条直角边与已知直线重合，然后平移三角尺，使另一条直角边经过直线外的点，最后沿着这条直角边画直线。 利用垂线段最短的性质：在解决距离最短问题时，要想到垂线段最短的性质。通过找到垂线段，将问题转化为求垂线段的长度。 平行线相关问题的解题技巧 画平行线的方法：可以使用直尺和三角尺来画平行线。先将三角尺的一条直角边与已知直线重合，然后将直尺与三角尺的另一条直角边靠紧，固定直尺，平移三角尺，沿着三角尺的直角边画直线，这条直线就与已知直线平行。 判断平行线的方法：可以通过观察两条直线是否永远不相交，或者判断它们之间的距离是否始终保持相等来确定两条直线是否平行。在实际问题中，可以利用一些工具或测量方法来辅助判断。例如，使用平行线检测工具，测量两条直线之间的多个点的距离，如果距离都相等，那么这两条直线就是平行的。 类类型1 线段、直线、射线的认识及特征 典型例题1：（24-25四年级上·福建宁德·期末）下面的说法中正确的是（    ）。 A．一条射线长5厘米 B．热水器的容量约是80毫升 C．小于90度的角是锐角，大于90度的角是钝角 D．从一点到已知直线的所有连线中，与已知直线垂直的线段只有一条 思路分析： 射线只有一个端点，不可以测量出长度；2瓶矿泉水大约是1升，因此计量热水器的容量以“升”为单位；小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，等于360°的角是周角；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，且只有一条，依此选择。 答题区： A．无法测量出射线的长度，即原说法错误。 B．热水器的容量约是80升，即原说法错误。 C．小于90度的角是锐角，大于90°小于180°的角是钝角，即原说法错误。 D．从一点到已知直线的所有连线中，与已知直线垂直的线段只有一条，即原说法正确。 故答案为：D 变式训练：（24-25四年级上·江苏常州·期末）如图，以点A为端点再画一条射线，图中会增加( )个角。 【答案】3 【思路引导】 根据题意，图中原有3个角，以点A为端点再画一条射线，图中就会有6个角，增加了3个角；例如：，左图中射线AC与原来的三条射线分别形成∠1、∠2、∠3，这3个角为新增的角。据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知， 或 以点A为端点再画一条射线，共6个角，如图上图所示，图中会增加3个角。 类型2 数图形(线段、直线、射线） 典型例题2：（24-25四年级上·江苏·单元测试）下图中有A、B、C、D四个点，其中（    ）两点之间的距离最短，（    ）两点之间的距离最长。如果经过其中任意两点画直线，那么最多可以画（    ）条直线，在图上画一画。 思路分析： 根据长度的测量方法，一端从0刻度开始，另一端到达的那个刻度就是线段的长度，据此判断哪两点之间的距离最短，哪两点之间的距离最长。 采用有序组合的方法，可以过A点依次向B、C、D三个点一条一条地画，得到3条直线，然后再过B点依次向C、D两个点一条一条地画，得到2条直线，过C点向D一个点画一条直线，最后相加即可。 答题区： 线段AB长2厘米2毫米； 线段AC长1厘米4毫米； 线段AD长3厘米4毫米； 线段BC长2厘米6毫米； 线段BD长1厘米6毫米； 线段CD长3厘米1毫米； 3厘米4毫米＞3厘米1毫米＞2厘米6毫米＞2厘米2毫米＞1厘米6毫米＞1厘米4毫米 3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（条） 下图中有A、B、C、D四个点，其中（AC）两点之间的距离最短，（AD）两点之间的距离最长。如果经过其中任意两点画直线，那么最多可以画（6）条直线，在图上画一画。 变式训练：（23-24四年级上·江苏南通·期末）如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线。根据你发现的规律，填写下表。 点/个 2 3 4 5 … 直线/条 1 3 6 … 45 【答案】10；10 【思路引导】根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，由特殊到一般，总结出规律：平面内任意三个点都不在同一直线上的几个点，从一个点出发都可以与其他（总点数－1）个点画出一条直线，共可以画出总点数×（总点数－1）条直线，但每条线会被重复计算一次，所以一共可以画出总点数×（总点数－1）÷2条直线；即经过5个点中的每两个点最多可以画5×（5－1）÷2＝10（条）直线；10×9÷2＝45（条），因为每个点和另外9个点各连一条线，但每条线会被重复计算一次，所以除以2，因此最多能画出45条直线的是10个点；据此解答即可。 【规范解答】2个点可以画直线：1条 3个点可以画直线：3×（3－1）÷2＝3×2÷2＝6÷2＝3（条） 4个点可以画直线：4×（4－1）÷2＝4×3÷2＝12÷2＝6（条） 5个点可以画直线：5×（5－1）÷2＝5×4÷2＝20÷2＝10（条） 10×（10－1）÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（条） 即10个点可以画45条直线。 如图： 点/个 2 3 4 5 … 10 直线/条 1 3 6 10 … 45 类型3 角的概念及表示方法 典型例题3：（24-25四年级上·江苏·课后作业）在下图中，有几条射线？组成了几个角？ 思路分析： 图中有一个点，这个点既是射线的端点，也是角的顶点；这几条射线可以两两组合，再加上顶点，可以组成不同的几个角，据此解答。 答题区： 从端点出发，向三个方向射出三条线，所以有3条射线； 如下图所示，射线a和射线b可以组成∠1，射线b和射线c可以组成∠2，射线a和射线c可以组成∠3，所以组成了3个角。 答：有3条射线，组成了3个角。 变式训练：（23-24四年级上·山东菏泽·期末）如下图，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°。 【答案】 ＞ ＜ 【思路引导】如下图，如果敌机继续往前飞，那么炮筒要逆时针方向转动；如果敌机向后方逃跑那么炮筒要顺时针方向转动，画出可能的两个角度与40°对比，据此即可解答。 【规范解答】根据分析可知，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应＞ 40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应＜40°。 类型4 数图形（数角） 典型例题4：（24-25四年级上·江苏泰州·期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3，且图中所有锐角的和是200°，那么∠2＝( )°。 思路分析： 锐角是大于0°小于90°的角，观察发现∠1、∠2、∠3都是锐角，而（∠1＋∠2）、（∠2＋∠3）也是锐角，（∠1＋∠2＋∠3）还是锐角； 因为∠1＝∠2＝∠3，把∠2看成1份，图中所有的锐角有3＋2＋1＝6（个），则份数有（1＋1＋1＋2＋2＋3）份，用200除以总份数，计算出1份的度数，也就是∠2的度数；据此解答。 答题区： 根据分析： 锐角个数：3＋2＋1＝6（个） 把∠2看成1份 1＋1＋1＋2＋2＋3＝10（份） 200°÷10＝20° 所以∠2＝20°。 变式训练：（24-25四年级上·江苏·课后作业）看一看，量一量，下图中有几个平角、几个直角、几个钝角、几个锐角？ 【答案】1个平角；3个直角；2个钝角；4个锐角 【思路引导】分别依据直角、钝角、锐角和平角的意义：等于90度的角是直角；等于180度的角是平角；大于0度且小于90的度的角是锐角；大于90度且小于180度的角是钝角；借助量角器和三角板即可将图中的角进行分类，并数清每种角的个数。据此解答。 【规范解答】如下图： 通过测量，上图中， 锐角有：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE共4个； 直角有：∠AOC、∠BOD、∠COE共3个； 钝角有：∠AOD、∠BOE共2个； 平角有：∠AOE1个。 答：图中有1个平角、3个直角、2个钝角、4个锐角。 类型5 角的度量 典型例题5：（24-25四年级上·河南平顶山·期末）画一画，填一填。 （1）量一量，如图的角是___________。 （2）经过点画出边的平行线。 （3）经过点分别向角的两条边画垂线。 （4）围成的四边形里有___________个直角和___________个钝角。 思路分析： （1）先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一直角边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 （3）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （4）直角三角尺上最大的那个角就是直角，用三角尺的直角进行对比，大于直角的是钝角，小于直角的是锐角。据此数出各个角的数量。 答题区： （1）量一量，如图的角是120°。 （2）（3）作图如下： （4）围成的四边形里有2个直角和1个钝角。 变式训练：（24-25四年级上·江苏扬州·期末）度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“100”，另一条边对着外圈刻度“30”，这个角是( )度。 【答案】70 【思路引导】根据题意，测量的角的两边一边所对应的量角器的外圈的刻度是30°，另一条边所对应的量角器的外圈的刻度是100°，用100°－30°，即为所测量角的度数，据此解答即可。 据此解答即可。 【规范解答】100°－30°＝70° 度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“100”，另一条边对着外圈刻度“30”，这个角是70度。 类型6 平角、周角的认识及特征 典型例题6：（24-25四年级上·安徽合肥·期末）下列说法中，错误的是（    ）。 A．直线的两端都可以无限延长，所以直线比射线更长。 B．在一张纸上，经过1点可以画无数条直线，经过2点只能画1条直线。 C．把平角分成两个角，如果一个角是钝角，那么另一个角一定是锐角。 思路分析： 直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度；过1点可以画无数条直线，经过2点只能画1条直线；平角为180度角，钝角为大于90度小于180度的角，直角为90度角，锐角为小于90度的角；据此分析每个选项解答此题。 答题区： 根据分析： A．直线和射线都是无限长的，直线向两端无限延伸，射线向一端无限延伸，它们的长度都无法度量，所以不能比较直线和射线谁更长，原题干说法错误； B．纸上只有一个点时，可以朝任意方向画直线，所以能画出无数条直线。而当纸上有两个点时，两点就像两个固定的锚点，只能确定唯一的一条连线，这就是“两点确定一条直线”的原理；原题干说法正确； C．已知平角是180度，因为钝角大于90度小于180度，无论这个钝角具体是多少度，用180度减去它得到的另一个角必然小于90度，也就是锐角，原题干说法。 故答案为：A 变式训练：（23-24四年级上·江苏泰州·期末）钟面上4时整，时针和分针组成较小的角是( )角，是( )°；钟面上( )时整，时针和分针组成的角是平角。 【答案】 钝 120 6/18 【思路引导】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12个大格，每1个大格也就是两数之间夹角是30°，钟面上4时整，时针指向4，分钟指向12，时针和分钟相隔4个大格，是30°×4＝120°，大于90°小于180°的角是钝角。 平角的度数是180°，要想在某个整时让时针和分针组成的角是平角，那么时针与分针之间有180°÷30°＝6（大格），整时时分针指向12，那么时针指向6，是6时整或者18时整；据此填空即可。 【规范解答】由分析可知，钟面上4时整，时针和分针组成较小的角是钝角，是120°；钟面上6时整，时针和分针组成的角是平角。 类型7 用量角器画角 典型例题7：（24-25四年级上·贵州毕节·期末）（1）过点A画出已知直线的平行线和垂线。 （2）以点B为顶点，画一个直角。 思路分析： （1）过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线或先让三角形的直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条直线。 （2）用量角器画角的步骤：两重合：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合；点度数：在量角器所画角的度数对应的刻度线的地方点上一个点；画射线：以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 答题区： 变式训练：（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）如图所示为学校平面图的一部分。地下有一根水管经过点A，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线表示这根水管。 （2）有一条小路经过点A，并且与水管的夹角为60°，请画出这小路所在的直线。 （3）图中点A处有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水沟连接到下水道，怎样挖才能使其长度最短？请在图中画一条线段表示排水沟。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【思路引导】（1）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线，过A点作下水道的平行线即为这根水管。 （2）将量角器的中间点和A点重合，0°刻度线和这根水管重合，在量角器上找到60°的点一个点，与点A连接，即可画出与水管的夹角为60°的小路，直线没有端点无限长，据此画出所在的直线。 （3）从直线外一点到这条直线所画的所有线段中垂直线段最短，据此过点A作下水道的垂直线段，即为排水沟最短的长度。 【规范解答】 （1） （2）（3）如图： 类型8 用三角尺画角 典型例题8：（24-25四年级上·江苏泰州·期末）用一副三角尺拼一个105°的角，下图中第（    ）种拼法是正确的。 A． B． C． D． 思路分析： 一副三角板中包含的角的度数有30°、45°（两个）、60°、90°（两个），如果把它们相加或相减后能得出的角都可以用一副三角板拼出，算出每个角的度数，判断即可。 答题区： A．45°＋30°＝75° B．45°＋60°＝105° C．90°＋60°＝150° D．180°－45°＝135° 故答案为：B 变式训练：（24-25四年级上·江苏·课后作业）不用量角器，你能用一副三角尺分别画出下面的角吗？ 15°          105°            120° 【答案】见详解 【思路引导】一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°。将它们进行组合，得出这三个度数的角即可画出。 【规范解答】45°－30°＝15° 60°＋45°＝105° 90°＋30°＝120° 类型9 角度的计算 典型例题9：（24-25四年级上·河南新乡·期末）2021年3月，教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，要求小学生每天睡眠至少应达到9小时。张桦晚上8：45睡觉，第二天早上6：45起床，这时钟面上的时针和分针成( )角，时针转动了( )度。 思路分析： 6：45时分针指向9，时针指向6和7之间，这时时针和分针所成的角小于90°，所以这时钟面上的时针和分针成锐角；从晚上8：45到次日6：45共10小时。每小时转30°，10小时转动 10×30°＝300°。 答题区： 6：45时分针指向9，时针指向6和7之间，这时钟面上的时针和分针成锐角； 晚上12：45－晚上8：45＝4（小时） 次日6：45－凌晨0：45＝6（小时） 4＋6＝10（小时） 10×30°＝300° 时针转动了300度。 变式训练：（24-25四年级上·江苏南通·期末）如图，现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是( )°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是( )°。 【答案】 120 45 【思路引导】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，4时整，时针走了4大格，即4×30°＝120°；再过30分钟，即4时＋30分钟＝4时30分，4时30分，时针过了4，在4和5的中间位置，分针指在6上，时针和分针相距1个半格，半个为30°÷2＝15°，时针和分针所成的角是15°＋30°＝45°，据此解答即可。 【规范解答】4×30°＝120° 30°÷2＝15° 15°＋30°＝45° 现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是120°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是45°。 类型10 垂直的特征 典型例题10：（24-25四年级上·江苏常州·期末）看图回答问题。 （1）量一量，盛兴路和东风路相交形成的夹角∠1＝（    ）° （2）图中（    ）路和（    ）路是互相平行的。 （3）经过学校修一条与东风路垂直的路，画出示意图，学校到东风路的图上距离是（    ）毫米。 思路分析： （1）用量角器量角的度数方法，把量角器的中心点与角的顶点重合，0度刻度线与所画的边重合，另一条边所在的刻度线，就是这个角的度数。 （2）同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。左图中幸福路和盛兴路是互相平行的。 （3）结合过直线外一点画已知直线垂线的方法，经过学校修一条与东风路垂直的路，画出示意图。然后根据长度测量的方法，测量出学校到东风路的图上距离是17毫米。据此解答即可。 答题区： （1）量一量，盛兴路和东风路相交形成的夹角∠1＝45° （2）图中幸福路和盛兴路是互相平行的。 （3）作图如下： 学校到东风路的图上距离是17毫米。 变式训练：（24-25四年级上·江苏泰州·期末）实验小学举行跳远比赛时，裁判给乐乐选手量的成绩是290厘米，但裁判在测量时，没有把皮尺和起跳线垂直。请问乐乐的真正成绩可能是（    ）厘米。 A．325厘米 B．368厘米 C．280厘米 D．209厘米 【答案】C 【思路引导】测量跳远的落地点与起跳线之间的距离，是跳远落地点到起跳线之间的垂线段的长度，而实际测量时皮尺和起跳线不垂直，即测量的长度大于真正的长度，即实际成绩比290米小，但不会小太多，据此分析每个选项选择即可。 【规范解答】A．325厘米＞290厘米，比测量成绩大，不符合题意； B．368厘米＞290厘米，比测量成绩大，不符合题意； C．280厘米＜290厘米，比测量成绩小且没有小太多，符合题意； D．209厘米＜290厘米，比测量成绩小但是小太多，不符合题意。 乐乐的真正成绩可能是280厘米。 故答案为：C 类型11 画垂线 典型例题11：（24-25四年级上·安徽合肥·期末）小李家附近有一条河。 （1）请画出小李家到河边最近的路线。 （2）小李想到河对岸去，请量出小李家到桥头的图上距离是（    ）厘米。 思路分析： （1）从直线外一点到直线所有的连线中，垂线段最短。从小李家作河岸的垂线段即可；过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过这个点时，沿这条直角边画的直线就是过这个点作的直线的垂线。 （2）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，两点之间，线段最短；据此连接小李家和桥头两点并测量距离即可；测量时将点小李家与直尺的0刻度线对齐，使直尺与连接小李家和桥头两点的线段重合，桥头对应直尺的刻度就是两点间的距离。 答题区： （1）如图所示： （2）如图所示： 小李家到桥头的图上距离是1.5厘米。（答案不唯一） 变式训练：（24-25四年级上·河南平顶山·期末）运动会跳远比赛，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩。李明第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相（    ）。（填“垂直”或“平行”） （3）李明后两次的成绩分别为420厘米和360厘米，张军三次的成绩分别为405厘米，410厘米和400厘米。你认为（    ）获胜。 【答案】（1）图见详解 （2）平行 （3）李明 【思路引导】（1）把踏跳板看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离； （2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行； （3）根据比赛规则，因为是以最好的一次成绩作为最终成绩，先分别比较出各自最好的成绩，再比较两人最好的成绩即可；据此解答。 【规范解答】（1）两次跳远的距离。如图所示： （2）所画的两条线段互相平行。 （3）李明：420厘米＞360厘米 张军：410厘米＞405厘米＞400厘米 420厘米＞410厘米 根据比赛规则，最好的一次成绩作为最终的成绩，张军的最好成绩是410厘米，李明虽然跳了两次，但其中一次的成绩为420厘米，比张军的最好成绩要好，所以我认为李明会获胜。 类型12 平行的特征及性质 典型例题12：（24-25四年级上·江苏常州·期末）如图是学校附近街道的平面图，图中互相平行的两条路是（    ）。 A．文化路和红星路 B．星汇路和三河路 C．文昌路和三河路 D．文化路和文昌路 思路分析： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；据此将选项中的路延长看是否相交，如果相交就不平行，如果不相交就互相平行（如图）。据此解答。 答题区： A．文化路和红星路相交，所以不平行； B．星汇路和三河路相交，所以不平行； C．文昌路和三河路相交，所以不平行； D．文化路和文昌路不相交，所以互相平行。 所以，图中互相平行的两条路是文化路和文昌路。 故答案为：D 变式训练：（24-25四年级上·江苏·课后作业）数一数，说一说。 （1）图中有（    ）个锐角，（    ）个直角。 （2）图中互相平行的线段有哪些？互相垂直的呢？ 【答案】（1）4；6 （2）见详解 【思路引导】根据锐角和直角的含义找角：直角是平角的一半叫做直角。直角为90度；锐角是小于直角的角叫做锐角。锐角小于90度。 互相平行是指两条直线永不相交；互相垂直是指两条直线所形成的角是直角90度。 【规范解答】（1） 红色标记的角是锐角，黑色标记的角是直角； 图中有（  4  ）个锐角，（  6  ）个直角。 （2）示例：互相平行的线段有：BC与DE，BD与CE；互相垂直的线段有：AB与BC，AD与DE，BC与CE，CE与EF。 类型13 画平行线 典型例题13：（24-25四年级上·江苏南通·期末）如图，有一块梯形的草坪。 （1）用量角器量一量，∠B＝（    ）°。 （2）过点D画出边AB的平行线。 （3）从点A走到对边CD，怎样走最近？（在图中画出来） 思路分析： （1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点B重合， 0°刻度线与角的一条AB边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）固定三角尺，使一条直角边与AB边重合，用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺平移到D点，沿直角边画出另一条直线即可画出过点D与边AB平行的直线； （3）CD边外一点A与这条直线所有点的连线中，垂线段最短即距离最近，所以只要做出点A到直线CD的垂线段即可。过直线外一点作垂线的方法：把三角尺的一条直角边与CD边重合沿着直线移动三角尺，使直线外的点A在三角尺的另一条直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。A点到垂足部分就为垂线段。 答题区： （1）∠B＝110°； （2）（3）如下图所示： 答：从A点沿着垂线段AF走路线最近。 变式训练：（23-24四年级上·河南平顶山·期末）下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。 （1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。 （2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。 （3）用量角器可以量出，∠1的度数是（    ）°。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）60 【思路引导】（1）作经过红旗广场与城北路平行的平行线，过直线外一点画平行线：固定三角尺，将一条直角边与城北路重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移后与红旗广场重合，沿直角边画出另一条直线； （2）作红十字医院到城北路的垂线，过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与城北路重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的红十字医院在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线； （3）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此解答。 【规范解答】根据分析： （1）（2）如图： （3）用量角器可以量出，∠1的度数是60°。 第二部分：难度分层训练 A夯实基础 1．（24-25四年级上·河南周口·期末）学习要“有始无终，勇往直前”。数学上可以用“有始无终，勇往直前”来形容（    ）的特征。 A．直线 B．线段 C．射线 【答案】C 【思路引导】直线没有端点，向两端无限延伸，无法测量长度；线段有两个端点，它的长度是固定的，不能延伸，可以测量长度；射线有一个端点，从这个端点开始向一端无限延伸，无法测量长度；据此分析每个选项。 【规范解答】根据分析： A．直线，没有端点，向两端无限延伸，是“无始无终”，不符合； B．线段，两个端点，它的长度是固定的，不能延伸，是“有始有终”，不符合； C．射线有一个端点，从这个端点开始向一端无限延伸，就像是有一个起点（有始），然后能一直向一个方向延伸没有尽头（无终），符合 “有始无终，勇往直前”。 故答案为：C 2．（23-24四年级上·海南儋州·期末）下图中，从点P到已知直线最短的线段是（    ）。 A．① B．② C．③ 【答案】B 【思路引导】从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短，据此选择即可。 【规范解答】A．线段①和已知直线不垂直，不符合题意； B．线段②和已知直线垂直，符合题意； C．线段③和已知直线不垂直，不符合题意。 最短的线段是②。 故答案为：B 3．（24-25四年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，轩轩从家到学校的3条路线中，路线①和路线②相比，根据两点间所有连线中( )最短，所以轩轩从家到学校走路线( )最近。 【答案】 线段 ② 【思路引导】两点间所有的连线中，线段的距离是最短的，线段是直的，据此判断。 【规范解答】这3条路线中，②号路线是直的，是线段，据两点间所有连线中线段最短，所以轩轩从家到学校走路线②最近。 4．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）如下图，先量出长方形中和的度数，再算出和的度数。 【答案】65°；65° 【思路引导】用量角器量角时，把量角器的中心和角的顶点重合，0°刻度线与长方形的长重合，看0°刻度线在内圈还是外圈。角的另一条边所对的量角器上的刻度就是这个角的度数，据此量出∠1、∠2的度数。 长方形的四个角都是直角，直角是90°，用90°减去∠1的度数就是∠3的度数。90°减去∠2的度数就是∠4的度数。 【规范解答】用量角器测得∠1和∠2都是25°。 90°－25°＝65° 答：∠3和∠4的度数都是65°。 5．（24-25四年级上·河南洛阳·期末）端午节，嵩县黄庄乡举行赛龙舟活动。 （1）龙舟A航行的路线总是平行于a岸。请在图中画出这条路线。 （2）龙舟B去b岸的线路最近。请在图中画出这条路线。 （3）请以图中C为顶点，b岸为一条边，画一个120°的角。 【答案】见详解 【思路引导】（1）画平行线时，三角板的一条直角边与已知直线a重合，直尺的一条边紧靠三角板另一条直角边，移动三角板到点A，过点A，沿三角板的直角边画平行线。 （2）直线外一点到直线的距离垂线段最短。画垂线时，使得三角板的一条直角边与已知直线b重合，将三角板沿着直线移动，使得三角板顶点与指定的点B重合，过点B，沿三角板的另一条直角边画垂线。标上垂直标记。 （3）用量角器画角时，使量角器的中心与给出点C重合，0刻度线与直线b重合。再在量角器上对准要画角的度数的刻度线，并点上一点；然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度；据此画一个120°的角。 【规范解答】（1）、（2）、（3）画法如下所示： B培优拔高 1．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）如图，小明、小亮和小强三人过马路，他们选择了不同的路线，（    ）选择的路线最短。 A．小明 B．小亮 C．小强 【答案】B 【思路引导】要走过人行横道，把人行横道的另一端看成一条直线，根据点到直线的距离可知，点到直线的距离，垂线段最短；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，小亮走的是垂线，小明和小强走的是斜线；所以小亮选择的路线最短。 故答案为：B 2．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）一条直线上有2个点，这2个点把这条直线分成了（    ）条射线。 A．4 B．3 C．2 【答案】A 【思路引导】 射线是直的，有1个端点，无限长，可以向一端无限延长。一条直线上有2个点，如图：，以A点为端点的射线有2条，以B点为端点的射线有2条，一共有（2＋2＝4）条。 【规范解答】一条直线上有2个点，这2个点把这条直线分成了4条射线。 故答案为：A 3．（24-25四年级上·贵州贵阳·期末）如图，∠1＝( )°，是( )角。∠2＝( )°，是( )角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出( )°。 【答案】 150 钝 75 锐 135 【思路引导】一副三角尺由两个三角尺组成，一个三角尺的三个角分别是90°，45°，45°，另一个三角尺的三个角分别是90°，60°，30°。由图可知，∠1是直角和三角尺上60°的角组成的，直接用加法即可算出∠1的度数；∠2是三角尺上45°的角和三角尺上30°的角组成的，直接用加法即可算出∠2的度数；大于0°小于90°的角叫作锐角，直角的度数等于90°，大于90°小于180°的角叫作钝角；用一副三角板去拼角，直接把三角尺上的两个角相加或相减即可算出可以拼出的角的度数。 【规范解答】∠1＝90°＋60°＝150°，∠1是钝角。 ∠2＝45°＋30°＝75°，∠2是锐角。 90°＋45°＝135°，即一副三角板可以拼出135°的角。 60°＋45°＝105°，即一副三角板可以拼出105°的角。 90°＋30°＝120°，即一副三角板可以拼出120°的角。 故∠1＝150°，是钝角。∠2＝75°，是锐角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出135°。（答案不唯一） 4．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）如图，王大爷家到集市的路有3条路，而且他家离河边不远。 （1）王大爷去集市走（    ）条路最近，你的依据是（      ）。 （2）王大爷每天都去河边挑水，他怎样走最近？请在图中画出来。你的依据是（        ）。 【答案】（1）王大爷去集市走第②条路最近，因为两点之间线段最短 （2）直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，所以王大爷去河边挑水应走垂直线；图见详解 【思路引导】（1）首先明确两点之间线段最短，王大爷去集市走第②条路最近。 （2）直线外一 点到直线的线段中， 垂线段最短，所以王大爷去河边挑水应走垂直线。从王大爷家向河边画垂线即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）王大爷去集市走第②条路最近 因为两点之间线段最短。 （2）王大爷去河边挑水应走垂直线。画图如下： 5．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）如图是某街区的平面示意图。 （1）与人民路平行的是（    ）路。 （2）用量角器量出∠1＝（    ）度。 （3）庐州小区安装供水设备，需要连接供水主管道，供水主管道在光明路上，怎样铺设连接管道最节省材料，请在示意图中画出来。 【答案】（1）和平 （2）60 （3）见详解 【思路引导】（1）同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。根据图示可知，解放路垂直于人民路和和平路，所以与人民路平行的是和平路，据此解答； （2）角的度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐；量角器的0刻度线和角的一条边对齐；做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度；看刻度要分清内外圈。据此用量角器量出∠1的度数； （3）过直线外一点和已知直线的所有连线中，垂线段最短，则过泸州小区作光明路的垂线段即可。用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和泸州小区点重合，过泸州小区点沿直角边向已知直线画直线即可。 【规范解答】（1）与人民路平行的是和平路。 （2）∠1＝60度。 （3）如图所示： C思维拓展 1．（23-24四年级上·江苏盐城·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．一枚硬币，明明抛了5次，都是正面朝上，他抛第6次一定是反面朝上。 B．在同一平面内，经过四个点中的每两点画一张直线，最多能画4条。 C．把一个正方形的纸对折两次，折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 D．角可以用一副三角板排出来。 【答案】C 【思路引导】根据可能性、直线、平行与垂直、角的基础知识逐条判断即可。 【规范解答】A．一枚硬币，明明抛了5次，都是正面朝上，他抛第6次可能是反面朝上，也可能是正面向上，原说法错误。 B．在同一平面内，经过四个点中的每两点画一张直线，最多能画6条，原说法错误。 C．把一个正方形的纸对折两次，折痕可能互相平行，也可能互相垂直，说法正确。 D．角可以用一副三角板排出来，一些特殊度数的角可以用一副三角板拼出来，不是所有度数的角都可以用一副三角板拼出来，原说法错误。 故答案为：C 【考点剖析】一副三角板中的角可画出15°、30°、45°、60°、75°、90°、120°等15°整数倍数的角，不可能画出不是15°整数倍数的角。 2．（23-24四年级上·江苏盐城·期末）如图，把一个正方形沿虚线对折、再对折，然后打开后从AB处剪开，得到一个五边形。这个五边形中的两个钝角都是( )°。 【答案】135 【思路引导】沿虚线AB对折后形成的两部分完全相同，两个角同样大，平分90度角。形成的钝角＝直角＋对折形成的小角。 【规范解答】在图中增加∠1和∠2。 ∠1＝∠2且∠1＋∠2＝90度。 ∠1＝∠2＝45度。 形成的钝角＝直角＋对折形成的小角＝90＋45＝135度。 【考点剖析】1、图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形。 2、图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称。 3．（23-24四年级上·江苏无锡·期末）钟面上7时整时，分针和时针所成的角是( )度；如果分针转动180度，相应的时针转动( )度。 【答案】 150 15 【思路引导】钟面一周为360°，共分12大格，每格为360÷12＝30°，7时整分针与时针相差5个整大格，据此求得7时整时的角的度数；分针转动180°，走了30分钟，时针走了一大格的一半，即15°。 【规范解答】360°÷12＝30°，30°×5＝150°； 180°÷30°＝6（格）；6×5＝30（分钟）；则时针转动30°÷2＝15° 【考点剖析】此题是一个钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30度。 4．（23-24四年级上·江苏·单元测试）如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数． 【答案】28° 【规范解答】解：如图，取∠DOE＝∠BOD＝14°， 因为∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC， 所以∠AOB＝28°． 5．（23-24四年级上·江苏·单元测试）下面是某街区平面示意图． 解放路经过天竹星新村,与江海路平行,请画图并标上名称． 【答案】 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $