第七单元 解决问题的策略（解决问题专项）数学苏教版五年级上册

第七单元 解决问题的策略 （9个类型题讲练+三大难度分层练 共42题） 第一部分：类型题讲练 考向一：列举策略 应用类型01：围长方形的最大面积问题：已知长方形周长，求不同长和宽的组合方式以及最大面积。例如，用一定长度的篱笆围长方形，求怎样围面积最大。 应用类型02：比赛场次问题：计算多支球队或人员之间比赛的场次。如几支球队进行单循环比赛，求总比赛场次。 应用类型03：数字组合问题：给出几个数字，求不同数字组合的情况。比如小红和小华各有5、6、9三张数字卡片，每人拿出1张，求不同的拿法。 应用类型04：搭配问题：在不同种类的物品中进行搭配，求搭配的方案数。例如，有若干件上衣和裤子，求不同的搭配穿法。 解题技巧 确定范围：明确问题中所有可能的情况范围。如围长方形问题，根据周长确定长和宽的取值范围。 有序列举：按照一定的顺序将所有可能的情况一一列出，做到不重复、不遗漏。可以从大到小或从小到大依次列举。比如在围长方形问题中，先确定长的最大值，然后依次减小长的值，同时计算对应的宽的值。 列表整理：将列举的结果用表格形式呈现，使信息更加清晰。例如在比赛场次问题中，通过列表可以清晰地看到每两支球队之间的比赛情况。 比较筛选：对列举出的结果进行比较，找出符合要求的答案。如在围长方形问题中，比较不同长和宽组合下的面积大小，找出最大面积。 考向二：画图策略 应用类型01：复杂行程问题：涉及多个运动物体、不同运动方向和速度的行程问题。例如，甲、乙两人同时从两地相向而行，求相遇时间或相遇地点。 应用类型02：数量关系问题：题目中的数量关系比较复杂，难以直接理解。比如，已知两种物品的数量和总价关系，求各自的单价。 应用类型03：几何图形问题：在解决一些几何图形的拼接、分割、面积计算等问题时，画图可以帮助直观理解。例如，将一个长方形分割成几个小长方形，求分割后的总面积。 解题技巧 选择合适的图形：根据问题的特点选择合适的图形来表示。如行程问题可以用线段图表示，数量关系问题可以用示意图表示。 标注关键信息：在图上标注出已知条件和问题，使问题更加清晰明了。例如，在行程问题的线段图上标注出甲、乙的速度、出发时间和两地距离等信息。 分析图形关系：通过观察图形，分析各个部分之间的关系，找到解决问题的思路。比如，在数量关系问题的示意图中，观察不同部分之间的数量比例关系。 逐步完善图形：如果问题比较复杂，可以逐步完善图形，将问题分解成几个小问题来解决。例如，在几何图形问题中，先画出初始图形，然后根据分割或拼接的要求逐步修改图形。 考向三：假设策略 应用类型01：鸡兔同笼问题：已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。 租船问题：已知大船和小船的限载人数以及总人数，求怎样租船最合理。例如，全班42人划船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，租用的大船和小船数量相同，求大船和小船各租多少条。 应用类型02：购物问题：已知不同物品的单价和总价，以及购买的数量关系，求购买各种物品的数量。 解题技巧 提出假设：根据问题的条件，提出一个合理的假设。如在鸡兔同笼问题中，假设全是鸡或全是兔。 计算差异：根据假设计算出的结果与实际结果进行比较，找出差异。例如，假设全是鸡，计算出的脚数与实际脚数的差异。 分析原因：分析产生差异的原因，找到调整的方法。如在鸡兔同笼问题中，每把一只兔当成鸡，脚数就会减少2只，根据脚数的差异可以计算出兔的数量。 进行调整：根据分析结果对假设进行调整，得到正确答案。例如，根据鸡兔同笼问题中计算出的兔的数量，调整鸡的数量。 类类型1 围长方形最大面积问题（表格） 典型例题1：（24-25五年级上·江苏·课后作业）用36个边长1厘米的小正方形拼成一个长方形，有几种不同的拼法？列表填一填。 长/cm 宽/cm 周长/cm 思路分析： 长方形的面积＝长×宽，每个边长1厘米的小正方形面积是1平方厘米，拼成后图形的面积不变为36平方厘米，即长×宽＝36，列举拼成后长方形的长和宽。长方形周长＝（长＋宽）×2，代入数据计算即可。 变式训练1：（23-24五年级上·江苏·课后作业）在下边的图形中再给2个格子涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形。有几种不同的涂法？ 变式训练2：（21-22五年级上·江苏徐州·期末）学校打算利用一面围墙和15根1米长的栅栏围成一个长方形花圃（如图），长和宽都是整米数，共有多少种不同的围法？每种围法得到的长方形花圃的面积各是多少？尝试在下表中列举出来。 类型2 围长方形最大面积问题 典型例题2：（24-25五年级上·江苏·单元测试）王大爷准备用28块0.5米长的篱笆围一个长方形菜地，围成的菜地长和宽都是整米数，有( )种不同的围法，围成菜地的面积最大是( )平方米。 思路分析： 根据题意可知，先计算出篱笆的总长度为14米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，一条长和一条宽的长度和是篱笆总长度的一半，为7米，因为长和宽都是整米数， 找出和为7的两个整数的所有可能的组合，则它们可分别作为长方形菜地的长和宽； 长方形的面积＝长×宽，计算每种组合的面积，通过比较，确定最大的面积，据此解答即可。 答题区： 变式训练1：（22-23五年级上·河南洛阳·期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽3米的长方形花圃。李叔叔买来18根1米长的木条，他能围一个比邻居家花圃面积更大的长方形花圃吗？（请用列举的策略说明理由） 变式训练2：（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）用14根1米的木头围成一个长方形，一共有多少种不同的围法？请列举出来。面积最大是多少平方米？ 类型3 搭配问题 典型例题3：（24-25五年级上·江苏·课后作业）五（1）班46名同学去公园划船。如果每只大船可以坐6个人，每只小船可以坐4个人，每只船不能有空位子。有多少种不同的租法？如果租一只大船1小时的租金是20元，租一只小船的租金是15元，那么选择哪种方案最经济？ 思路分析： 用列表法进行解答，根据大船数量×大船坐的人数＋小船数量×小船坐的人数＝能坐的总人数，用划船的人数除以每只大船能坐的人数，有余数时采用进一法，即46÷6≈8（只），即大船数量从8只开始，逐步减少大船数量，增加小船数量，保证能坐的人数大于或等于46人，列举出所有的情况，找出没有空位子的租法，再根据大船数量×租金＋小船数量×租金＝需要的钱数，求出所有没有空位子的租法的钱数，比较即可。 答题区： 变式训练1：（24-25五年级上·江苏·单元测试）实验小学在课后服务时间开展社团活动，小强想从2种文艺类社团和3种体育类社团中任意选择2种社团，他有多少种不同的选法？如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有多少种不同的选法？ 变式训练3：（24-25五年级上·江苏·单元测试）有三张卡片，分别写上9、8、4三个数字，小英每次任意抽一张再放回去。抽两次，可能得到的数字和是多少？（列举出所有可能的答案） 类型4 数字组合问题 典型例题4：（24-25五年级上·江苏无锡·期末）从下面的扑克牌中分别抽出一张梅花和一张方块，有( )种不同的选法。抽出的两张扑克牌上的数的和最小是( )，积最大是( )。 思路分析： 从扑克牌中分别抽出一张梅花和一张方块，可能抽出梅花2和方块2，、梅花2和方块3，梅花2和方块4；也可能抽出梅花3和方块2，、梅花3和方块3，梅花3和方块4；还可能抽出梅花4和方块2，、梅花4和方块3，梅花4和方块4。一共有（3×3）种不同的选法。抽出的两张扑克牌上的数最小是梅花2和方块2，最大是梅花4和方块4，据此求出最小的和、最大的积。 答题区： 变式训练1：（21-22五年级上·江苏镇江·期末）小红用8、0、2、5这四张不同的数字卡片一共能组成( )个不同的两位数。 变式训练2：（23-24五年级上·江苏·课后作业）用、、这三张数字卡片一共能组成多少个不同的三位数？用、、这三张数字卡片呢？动手摆一摆。 类型5 比赛场次问题 典型例题5：（24-25五年级上·河北·单元测试）有A、B、C、D、E、F、G七名同学参加羽毛球比赛。如果每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？（用画图的方法表示出来） 思路分析： 把字母A、B、C、D、E、F、G围成一圈，先画A与其他字母相连的线段，再画B的，依次类推，每两个字母连一条线。再数一数一共有几条线段就有几场比赛。 答题区： 变式训练1：（24-25五年级上·河北·单元测试）小明、小红、小芳、小林、小亮和小乐六人进行象棋比赛。如果每两人都要比赛一盘，那么一共要比赛多少盘？（用画图或列表的方法表示出来） 变式训练2：（23-24五年级上·陕西西安·期末）某校举行篮球赛，有4支队伍参加，分别是A队、B队、C队和D队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛4场。( )（判断对错） 类型6 行程问题 典型例题6：（24-25五年级上·江苏盐城·期中）如图，在长方形中，的长为26厘米，的长为18厘米。一个动点P从顶点A出发，逆时针沿长方形的边以每秒2厘米的速度运动，经过( )秒后，三角形达到最大，最大面积共持续( )秒。 思路分析： 本题考查三角形面积公式。三角形ABP的面积最大，即以AB为底、AD为高。因为是逆时针运动，所以当点P与点D重合时用时最少。当点P在线段DC上时，三角形ABP的高都是18cm，此时三角形ABP一直有最大面积，点P在线段CD上的运动。据此解答。 答题区： 变式训练1：（24-25五年级上·江苏扬州·期中）声音在空气中的传播速度是0.34千米/秒。在山谷中，一个人对着远处的大山高喊一声，10秒后听到回声。这个人距离大山有多少千米？ 变式训练2：（2014五年级·全国·课后作业）小军在去游乐场的路上，上坡用了5分钟，平均每分钟走a米；下坡用了4分钟，平均每分钟走b米。 （1）用含有字母的式子表示小军一共走了多少米？ （2）当a＝30，b＝40时，小军一共走了多少米？ 类型7 数量关系问题 典型例题7：（24-25五年级上·江苏无锡·期末）下面是按规律排列的一列数。 2，4，6，8，10，12，… (1)仔细观察，左起第( )个数是2024。 (2)如果用字母m表示这列数中任意一个数，n表示这列数左起排列的序号，m和n之间的等量关系式是( )。 思路分析： （1）2，4，6，8，10，12，…可以写成：2×1，2×2，2×3，2×4，2×5，2×6，…。由此可知，第n个数，可以写成2n；2n＝2024，用2024÷2，即可求出左起第几个数是2024。 （2）m表示任意一个数，n表示这列数左起排列的序号，m和n之间的等量关系为：m＝2n，据此解答。 答题区： 变式训练1：（24-25五年级上·江苏徐州·期末）如果按下图的方式摆五边形，图1需要5根小棒；图2需要9根小棒；图3需要13根小棒；图4需要17根小棒；图n需要( )根小棒。当n＝16时，需要( )根小棒。 变式训练2：（24-25五年级上·江苏宿迁·期末）将2个长6厘米，宽a厘米的小长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示这个大长方形的面积。 （2）当a＝2.5时，这个大长方形的周长至少是多少厘米？ 类型8 几何图形问题 典型例题8：（23-24五年级上·辽宁·期末）如图，图中每一个小正方形的边长都是1，则△ABC的面积等于 ． 思路分析： 可以用长方形格子数减去三角形以外的格子数 变式训练1：（2023五年级·全国·竞赛）两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米．如下图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积． 变式训练2：（2023六年级下·全国·竞赛）如图，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？ 类型9 鸡兔同笼问题 典型例题8：（23-24六年级下·河南濮阳·期末）《镜花缘》是清代李汝珍所著的长篇小说，书中出现了一些有趣的数学问题。下面的题目是根据一个问题改编的，你能解决吗？楼上灯有两种：甲种灯下一个大球，下缀两个小球；乙种灯下一个大球，下缀四个小球。大球共有三十六个，小球共一百二十个。甲、乙两种灯各有多少个？答：甲灯有( )个；乙灯有( )个。 思路分析： 根据“大球共有三十六个”，可以设乙灯的大球有个，则甲灯的大球有（36－）个； 根据“甲种灯下一个大球，下缀两个小球”可知，甲灯小球数量是甲灯大球的2倍，即有2（36－）个； 根据“乙种灯下一个大球，下缀四个小球”可知，乙灯小球数量是乙灯大球的4倍，即有4个； 根据“小球共一百二十个”可得出等量关系：甲灯小球的数量＋乙灯小球的数量＝两种灯小球的总数量，据此列出方程，并求解。 答题区： 变式训练1：（21-22五年级上·湖北宜昌·期末）学校举行智力竞赛，答对一题加10分，答错一题扣6分，李龙共抢答16题，最后得分16分，他答错了（    ）题。 A．9 B．15 C．7 D．10 变式训练2：（2021五年级上·江苏·专题练习）小华买了2元和5元的纪念邮票共34张，用去98元，小华两种邮票各买了多少张？ 第二部分：难度分层训练 A夯实基础 1．（24-25五年级上·江苏·单元测试）小红从家出发到小明家有（    ）条不同的路线。 A．5 B．6 C．7 D．4 2．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）有12支排球队参加比赛，以单场淘汰制进行（即每场比赛淘汰1支球队）。如果要决出冠军，一共要比赛（    ）场。 A．6 B．8 C．11 D．12 3．（24-25五年级上·江苏·单元测试）按规律填写1路车、2路车的发车时间，并回答相关问题。 1路车 6：00 6：15 6：30 2路车 6：00 6：20 6：40 （1）1路车是每（    ）分钟发一辆车，2路车是每（    ）分钟发一辆车。 （2）每（    ）分钟1路、2路车会同时发车。6：00它们同时发车后，下一次同时发车的时刻是（    ）。 4．（22-23五年级上·江苏徐州·期末）小丽和她的三位好朋友在元旦前互赠贺卡，每人每次赠送一张，一共需要( )张贺卡。 5．（22-23五年级上·江苏扬州·期末）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队参加，分为8个组，每组4支球队，根据比赛规则，第一阶段小组赛采用循环赛，即小组内每两支球队都要比赛一场，请你算一算，每个小组需要进行多少场比赛？ B培优拔高 1．（24-25五年级上·江苏盐城·期末）体育节到了，学校五年级举行足球比赛，一共有6个班参加。如果每两个班都要比赛一场，一共要比赛（    ）场。 A．10 B．12 C．15 D．36 2．（23-24五年级上·江苏连云港·期中）一排学生从前往后按1、2、3，1、2、3…依次重复报数，从前往后数小明是第26个，他应该报（    ）。 A．1 B．2 C．3 3．（24-25五年级上·江苏无锡·期末）学校举行小学生足球赛，有4支球队参加，分别是甲队、乙队、丙队和丁队，每两支球队比赛一场，一共要比赛( )场。如果最后一轮2场比赛同时进行，对阵双方分别是“甲队－丁队、乙队－丙队”，积分规则为球队获胜得3分，平局得1分，输球得0分，最后一轮会有( )种得分情况（例如：甲队得3分、丁队得0分、丙队得1分、乙队得1分”是一种得分情况）。 4．（24-25五年级上·江苏无锡·期末）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数一共有( )个，其中最大的是( )。 5．（24-25五年级上·江苏·课后作业）精彩的马戏每隔一段相等时间就开始表演。上午已经表演了四场：7：00、7：50、8：40和9：30。 （1）现在是10：15，我们还能赶上下一场表演开始吗？ （2）下面哪个时刻正好是一场表演的开始时刻？为什么？ 13：00     14：30      15：30     16：00 C思维拓展 1．（23-24四年级上·江苏·单元测试）快餐店里有2个荤菜和4个素菜。丽丽想吃一荤两素套餐，她有（    ）种选择方法。 A．4 B．6 C．8 D．12 2．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）一张靶纸共3圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投了2次，可能得到的环数有（    ）种。 A．5 B．6 C．8 D．9 3．（23-24五年级上·江苏连云港·期末）李阿姨用12根一米长的木条围成一个长方形的花圃，木条不能折断，一共有( )种不同的围法。面积最大是( )平方米。 4．（2023五年级上·江苏南京·专题练习）五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整数。如果最高分是90分，那么得分最少的选手至少得多少分？ 5．（2022五年级上·江苏·专题练习）A、B、C、D、E五个盒子中依次放有9、5、3、2、1个小球。第一个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第二个小朋友也先找到放球最少的盒子，然后也从其它的盒子中各取一个放入这个盒子……当1000位小朋友放完后，A、B、C、D、E五个盒子中各放有几个球？ 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 解决问题的策略 （9个类型题讲练+三大难度分层练 共42题） 第一部分：类型题讲练 考向一：列举策略 应用类型01：围长方形的最大面积问题：已知长方形周长，求不同长和宽的组合方式以及最大面积。例如，用一定长度的篱笆围长方形，求怎样围面积最大。 应用类型02：比赛场次问题：计算多支球队或人员之间比赛的场次。如几支球队进行单循环比赛，求总比赛场次。 应用类型03：数字组合问题：给出几个数字，求不同数字组合的情况。比如小红和小华各有5、6、9三张数字卡片，每人拿出1张，求不同的拿法。 应用类型04：搭配问题：在不同种类的物品中进行搭配，求搭配的方案数。例如，有若干件上衣和裤子，求不同的搭配穿法。 解题技巧 确定范围：明确问题中所有可能的情况范围。如围长方形问题，根据周长确定长和宽的取值范围。 有序列举：按照一定的顺序将所有可能的情况一一列出，做到不重复、不遗漏。可以从大到小或从小到大依次列举。比如在围长方形问题中，先确定长的最大值，然后依次减小长的值，同时计算对应的宽的值。 列表整理：将列举的结果用表格形式呈现，使信息更加清晰。例如在比赛场次问题中，通过列表可以清晰地看到每两支球队之间的比赛情况。 比较筛选：对列举出的结果进行比较，找出符合要求的答案。如在围长方形问题中，比较不同长和宽组合下的面积大小，找出最大面积。 考向二：画图策略 应用类型01：复杂行程问题：涉及多个运动物体、不同运动方向和速度的行程问题。例如，甲、乙两人同时从两地相向而行，求相遇时间或相遇地点。 应用类型02：数量关系问题：题目中的数量关系比较复杂，难以直接理解。比如，已知两种物品的数量和总价关系，求各自的单价。 应用类型03：几何图形问题：在解决一些几何图形的拼接、分割、面积计算等问题时，画图可以帮助直观理解。例如，将一个长方形分割成几个小长方形，求分割后的总面积。 解题技巧 选择合适的图形：根据问题的特点选择合适的图形来表示。如行程问题可以用线段图表示，数量关系问题可以用示意图表示。 标注关键信息：在图上标注出已知条件和问题，使问题更加清晰明了。例如，在行程问题的线段图上标注出甲、乙的速度、出发时间和两地距离等信息。 分析图形关系：通过观察图形，分析各个部分之间的关系，找到解决问题的思路。比如，在数量关系问题的示意图中，观察不同部分之间的数量比例关系。 逐步完善图形：如果问题比较复杂，可以逐步完善图形，将问题分解成几个小问题来解决。例如，在几何图形问题中，先画出初始图形，然后根据分割或拼接的要求逐步修改图形。 考向三：假设策略 应用类型01：鸡兔同笼问题：已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。 租船问题：已知大船和小船的限载人数以及总人数，求怎样租船最合理。例如，全班42人划船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，租用的大船和小船数量相同，求大船和小船各租多少条。 应用类型02：购物问题：已知不同物品的单价和总价，以及购买的数量关系，求购买各种物品的数量。 解题技巧 提出假设：根据问题的条件，提出一个合理的假设。如在鸡兔同笼问题中，假设全是鸡或全是兔。 计算差异：根据假设计算出的结果与实际结果进行比较，找出差异。例如，假设全是鸡，计算出的脚数与实际脚数的差异。 分析原因：分析产生差异的原因，找到调整的方法。如在鸡兔同笼问题中，每把一只兔当成鸡，脚数就会减少2只，根据脚数的差异可以计算出兔的数量。 进行调整：根据分析结果对假设进行调整，得到正确答案。例如，根据鸡兔同笼问题中计算出的兔的数量，调整鸡的数量。 类类型1 围长方形最大面积问题（表格） 典型例题1：（24-25五年级上·江苏·课后作业）用36个边长1厘米的小正方形拼成一个长方形，有几种不同的拼法？列表填一填。 长/cm 宽/cm 周长/cm 思路分析： 长方形的面积＝长×宽，每个边长1厘米的小正方形面积是1平方厘米，拼成后图形的面积不变为36平方厘米，即长×宽＝36，列举拼成后长方形的长和宽。长方形周长＝（长＋宽）×2，代入数据计算即可。 答题区： 长方形的长和宽列举如下： （1）长36厘米，宽1厘米，周长是： （36＋1）×2 ＝37×2 ＝74（厘米） （2）长18厘米，宽2厘米，周长是： （18＋2）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） （3）长12厘米，宽3厘米，周长是： （12＋3）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） （4）长9厘米，宽4厘米，周长是： （9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） （5）长6厘米，宽是6厘米，周长是：6×4＝24（厘米） 长/cm 36 18 12 9 6 宽/cm 1 2 3 4 6 周长/cm 74 40 30 26 24 答：有5种不同的拼法。 变式训练1：（23-24五年级上·江苏·课后作业）在下边的图形中再给2个格子涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形。有几种不同的涂法？ 【答案】有五种不同的涂法。 【思路引导】在平面内沿某一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴。再给两个格子涂色，能使涂色部分可以沿某一条直线对折后两侧完全重合即可。可以从对称轴的水平方向和竖直方向两个不同位置进行思考，据此作答。 【规范解答】对称轴水平时，有以下3种涂法：      对称轴竖直时，有以下2种涂法：    3＋2＝5（种） 答：一共有5种不同的涂法。 变式训练2：（21-22五年级上·江苏徐州·期末）学校打算利用一面围墙和15根1米长的栅栏围成一个长方形花圃（如图），长和宽都是整米数，共有多少种不同的围法？每种围法得到的长方形花圃的面积各是多少？尝试在下表中列举出来。 【答案】见详解 【思路引导】因为用15 根1米长的栅栏围一个长方形花圃，一条长边靠墙，所以两个宽＋长＝15米，所以把它写成15＝13＋1×2，15＝11＋2×2，15＝9＋3×2，15＝7＋4×2，15＝5＋5×2，由此得出不同围法下长方形花圃长和宽的长度，进而利用长方形面积公式求出花圃面积。 【规范解答】由分析得： 共有5种不同的围法。列举如下： 【考点剖析】本题主要考查通过列举的方法解决一面靠墙围长方形问题。注意：正方形是特殊的长方形。 类型2 围长方形最大面积问题 典型例题2：（24-25五年级上·江苏·单元测试）王大爷准备用28块0.5米长的篱笆围一个长方形菜地，围成的菜地长和宽都是整米数，有( )种不同的围法，围成菜地的面积最大是( )平方米。 思路分析： 根据题意可知，先计算出篱笆的总长度为14米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，一条长和一条宽的长度和是篱笆总长度的一半，为7米，因为长和宽都是整米数， 找出和为7的两个整数的所有可能的组合，则它们可分别作为长方形菜地的长和宽； 长方形的面积＝长×宽，计算每种组合的面积，通过比较，确定最大的面积，据此解答即可。 答题区： 28×0.5＝14（米） 14÷2＝7（米） 1＋6＝7（米） 2＋5＝7（米） 3＋4＝7（米） 则有3种不同的围法； 1×6＝6（平方米） 2×5＝10（平方米） 3×4＝12（平方米） 12＞10＞6 则围成的菜地的面积最大是12平方米。 故用28块0.5米长的篱笆围一个长方形菜地，有3种不同的围法，围成菜地的面积最大是12平方米。 【考点剖析】本题难度不大，主要考查了长方形的周长和面积的计算以及如何通过给定的周长来确定长方形的长和宽，根据长方形周长找出长和宽的关系是解答本题的关键。 变式训练1：（22-23五年级上·河南洛阳·期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽3米的长方形花圃。李叔叔买来18根1米长的木条，他能围一个比邻居家花圃面积更大的长方形花圃吗？（请用列举的策略说明理由） 【答案】能；理由见详解 【思路引导】由于李叔叔买来18根1米长的木条，由此即可知道长方形的周长是18米，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，由此即可知道长加宽的和是：18÷2＝9（米），当长是8米，宽为l米；长是7米，宽为2米；长是6米，宽为3米；长是5米，宽为4米；根据长方形的面积公式：长×宽，分别求出几种情况的面积，再和李叔叔的邻居家的长方形花圃的面积比较即可。 【规范解答】1×18＝18（米） 18÷2＝9（米） 长（米） 8 7 6 5 宽（米） 1 2 3 4 面积（平方米） 8 14 18 20 5×4＝20（平方米） 6×3＝18（平方米） 20＞18 答：他能围一个比邻居家面积更大的长方形花圃。 变式训练2：（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）用14根1米的木头围成一个长方形，一共有多少种不同的围法？请列举出来。面积最大是多少平方米？ 【答案】3种；12平方米 【思路引导】根据题意，用14根1米长的木条围－一个长方形，则长方形的周长是14米。已知长方形的周长是14米，根据长方形周长＝（长＋宽）×2可得到长＋宽＝7米，又因为7＝6＋1＝2＋5＝3＋4，可以围成长6米宽1米、长5米宽2米、长4米宽3米的长方形。长方形面积＝从×宽，把数据代入计算即可。 【规范解答】 答：一共有3种不同的围法，面积最大是12平方米。 【考点剖析】列举法解决问题能做到不重复、不遗漏。 类型3 搭配问题 典型例题3：（24-25五年级上·江苏·课后作业）五（1）班46名同学去公园划船。如果每只大船可以坐6个人，每只小船可以坐4个人，每只船不能有空位子。有多少种不同的租法？如果租一只大船1小时的租金是20元，租一只小船的租金是15元，那么选择哪种方案最经济？ 思路分析： 用列表法进行解答，根据大船数量×大船坐的人数＋小船数量×小船坐的人数＝能坐的总人数，用划船的人数除以每只大船能坐的人数，有余数时采用进一法，即46÷6≈8（只），即大船数量从8只开始，逐步减少大船数量，增加小船数量，保证能坐的人数大于或等于46人，列举出所有的情况，找出没有空位子的租法，再根据大船数量×租金＋小船数量×租金＝需要的钱数，求出所有没有空位子的租法的钱数，比较即可。 答题区： 大船数量 小船数量 乘坐人数 有无空位 8 0 48 有 7 1 46 无 6 3 48 有 5 4 46 无 4 6 48 有 3 7 46 无 2 9 48 有 1 10 46 无 0 12 48 有 7×20＋1×15 ＝140＋15 ＝155（元） 5×20＋4×15 ＝100＋60 ＝160（元） 3×20＋7×15 ＝60＋105 ＝165（元） 1×20＋10×15 ＝20＋150 ＝170（元） 155＜160＜165＜170 答：有4种不同的租法，租7条大船和1条小船最经济。 变式训练1：（24-25五年级上·江苏·单元测试）实验小学在课后服务时间开展社团活动，小强想从2种文艺类社团和3种体育类社团中任意选择2种社团，他有多少种不同的选法？如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有多少种不同的选法？ 【答案】10种；6种 【思路引导】先给2种文艺类社团和3种体育类社团编号，然后用列举法把所有符合要求的组合列举出来，再数一数，即可得解。 【规范解答】设2种文艺类社团的编号为A、B；3种体育类社团的编号为C、D、E； 任意选择2种社团，可以是： AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，一共有10种不同的选法。 从文艺类社团和体育类社团中各选1种，可以是： AC、AD、AE、BC、BD、BE，一共有6种不同的选法。 答：他有10种不同的选法，如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有6种不同的选法。 变式训练3：（24-25五年级上·江苏·单元测试）有三张卡片，分别写上9、8、4三个数字，小英每次任意抽一张再放回去。抽两次，可能得到的数字和是多少？（列举出所有可能的答案） 【答案】18、17、13、16、12、8 【思路引导】9、8、4三个数字卡片，小英每次任意抽一张再放进去，抽两次，抽出的两个数字可能相同，也可能不同。则可能的结果为9，9；或9、8；或9、4；或8、8；或8、4；或4、4，共6种情况，然后将数字加起来即可解答。 【规范解答】9＋9＝18 9＋8＝17 9＋4＝13 8＋8＝16 8＋4＝12 4＋4＝8 答：可能得到的数字和是18、17、13、16、12、8。 类型4 数字组合问题 典型例题4：（24-25五年级上·江苏无锡·期末）从下面的扑克牌中分别抽出一张梅花和一张方块，有( )种不同的选法。抽出的两张扑克牌上的数的和最小是( )，积最大是( )。 思路分析： 从扑克牌中分别抽出一张梅花和一张方块，可能抽出梅花2和方块2，、梅花2和方块3，梅花2和方块4；也可能抽出梅花3和方块2，、梅花3和方块3，梅花3和方块4；还可能抽出梅花4和方块2，、梅花4和方块3，梅花4和方块4。一共有（3×3）种不同的选法。抽出的两张扑克牌上的数最小是梅花2和方块2，最大是梅花4和方块4，据此求出最小的和、最大的积。 答题区： 3×3＝9（种） 2＋2＝4 4×4＝16 有9种不同的选法。抽出的两张扑克牌上的数的和最小是4，积最大是16。 【考点剖析】本题考查搭配问题。关键是按规律和顺序进行搭配，不重复也不遗漏。 变式训练1：（21-22五年级上·江苏镇江·期末）小红用8、0、2、5这四张不同的数字卡片一共能组成( )个不同的两位数。 【答案】9 【思路引导】如果选8和0，组成的两位数是80；如果选8和2，组成的两位数是82和28；如果选8和5，组成的两位数是85和58；如果选2和0，组成的两位数是20；如果选5和0，组成的两位数是50；如果选2和5，组成的两位数是25和52。 【规范解答】80，82，28，85，58，20，50，52，25一共有9个不同的两位数。 小红用8、0、2、5这四张不同的数字卡片一共能组成9个不同的两位数。 【考点剖析】本题考查搭配问题，注意0不能做首位。 变式训练2：（23-24五年级上·江苏·课后作业）用、、这三张数字卡片一共能组成多少个不同的三位数？用、、这三张数字卡片呢？动手摆一摆。 【答案】6个；4个；摆一摆见详解 【思路引导】用8、2、5这三张数字卡片组成不同的三位数时，考虑百位上分别是8、2、5时，可以组成的不同的三位数，列举出来，再数出个数即可。 用0、2、5这三张数字卡片组成不同的三位数时，考虑0不能放在百位，则百位上只能是2、5，列举出组成的所有不同的三位数，再数出个数即可。 【规范解答】（1）用8、2、5这三张数字卡片能组成的不同三位数有： 百位上是8时，可以组成：825、852； 百位上是2时，可以组成：285、258； 百位上是5时，可以组成：582、528； 一共有6个。 （2）用0、2、5这三张数字卡片能组成的不同三位数有： 百位上是2时，可以组成：205、250； 百位上是5时，可以组成：502、520； 一共有4个。 答：用、、这三张数字卡片一共能组成6个不同的三位数。 用、、这三张数字卡片一共能组成4个不同的三位数。 类型5 比赛场次问题 典型例题5：（24-25五年级上·河北·单元测试）有A、B、C、D、E、F、G七名同学参加羽毛球比赛。如果每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？（用画图的方法表示出来） 思路分析： 把字母A、B、C、D、E、F、G围成一圈，先画A与其他字母相连的线段，再画B的，依次类推，每两个字母连一条线。再数一数一共有几条线段就有几场比赛。 答题区： 画图如下： （答案不唯一） 答：一共要进行21场比赛。 变式训练1：（24-25五年级上·河北·单元测试）小明、小红、小芳、小林、小亮和小乐六人进行象棋比赛。如果每两人都要比赛一盘，那么一共要比赛多少盘？（用画图或列表的方法表示出来） 【答案】15盘 【思路引导】可用画图的方法表示出来，先把小明、小红、小芳、小林、小亮和小乐六人画成一圈，再把小明与其他人分别连线，接着把小红与其他人分别连线，依次类推，俩人之间已经连线的不可重复连。最后数一数一共有几条线就要比赛几盘。 【规范解答】据分析画图如下： （答案不唯一） 答：一共要比赛15盘。 变式训练2：（23-24五年级上·陕西西安·期末）某校举行篮球赛，有4支队伍参加，分别是A队、B队、C队和D队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛4场。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】每一支队伍都要和其他三个队伍进行比赛，即每一队伍都要赛3场，共4支队伍，所以一共要赛4×3＝12场，去掉重复的情况，一共要赛12÷2＝6场，据此解答。 【规范解答】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（场） 一共要比赛6场。原题干说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题考查搭配问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况。 类型6 行程问题 典型例题6：（24-25五年级上·江苏盐城·期中）如图，在长方形中，的长为26厘米，的长为18厘米。一个动点P从顶点A出发，逆时针沿长方形的边以每秒2厘米的速度运动，经过( )秒后，三角形达到最大，最大面积共持续( )秒。 思路分析： 本题考查三角形面积公式。三角形ABP的面积最大，即以AB为底、AD为高。因为是逆时针运动，所以当点P与点D重合时用时最少。当点P在线段DC上时，三角形ABP的高都是18cm，此时三角形ABP一直有最大面积，点P在线段CD上的运动。据此解答。 答题区： （1）三角形ABP的面积最大，即以AB为底、AD为高。因为是逆时针运动，所以当点P与点D重合时用时最少，用AD的长度速度即可求出时间，即182＝9（秒）。 （2）当点P在线段DC上时，三角形ABP的高都是18cm，此时三角形ABP一直有最大面积，用CD的长度速度即可求出时间，点P在线段CD上的运动时间为26 2＝13（秒） 变式训练1：（24-25五年级上·江苏扬州·期中）声音在空气中的传播速度是0.34千米/秒。在山谷中，一个人对着远处的大山高喊一声，10秒后听到回声。这个人距离大山有多少千米？ 【答案】1.7千米 【思路引导】声音从人所在位置传到大山，再反射回人耳，形成回声。因此，10秒是声音往返一次的总时间，声音单程（人到大山）的传播时间为总时间的一半，单程时间为：10÷2＝5（秒）。速度公式为：路程＝速度×时间。已知声音传播速度是0.34千米/秒，单程时间是5秒，把数据代入公式计算即可。 【规范解答】0.34×（10÷2） ＝0.34×5 ＝1.7（千米） 答：这个人距离大山有1.7千米。 变式训练2：（2014五年级·全国·课后作业）小军在去游乐场的路上，上坡用了5分钟，平均每分钟走a米；下坡用了4分钟，平均每分钟走b米。 （1）用含有字母的式子表示小军一共走了多少米？ （2）当a＝30，b＝40时，小军一共走了多少米？ 【答案】（1）（5a＋4b）米 （2）310米 【思路引导】（1）已知上坡用了5分钟，平均每分钟走a米，根据路程＝速度×时间，上坡的路程为上坡速度×上坡时间，下坡用了4分钟，平均每分钟走b米，下坡的路程为下坡速度×下坡时间，那么小军一共走的路程就是上坡路程与下坡路程之和，据此解答。 （2）当a＝30，b＝40时，代入式子计算即可。 【规范解答】（1）5×a＋4×b ＝（5a＋4b）米 答：小军一共走了（5a＋4b）米。 （2）当a＝30，b＝40时； 5×30＋4×40 ＝150＋160 ＝310（米） 答：小军一共走了310米。 类型7 数量关系问题 典型例题7：（24-25五年级上·江苏无锡·期末）下面是按规律排列的一列数。 2，4，6，8，10，12，… (1)仔细观察，左起第( )个数是2024。 (2)如果用字母m表示这列数中任意一个数，n表示这列数左起排列的序号，m和n之间的等量关系式是( )。 思路分析： （1）2，4，6，8，10，12，…可以写成：2×1，2×2，2×3，2×4，2×5，2×6，…。由此可知，第n个数，可以写成2n；2n＝2024，用2024÷2，即可求出左起第几个数是2024。 （2）m表示任意一个数，n表示这列数左起排列的序号，m和n之间的等量关系为：m＝2n，据此解答。 答题区： （1）2024÷2＝1012 左起第1012个数是2024。 （2）根据分析可知，m＝2n。 如果用字母m表示这列数中任意一个数，n表示这列数左起排列的序号，m和n之间的等量关系式是m＝2n。 变式训练1：（24-25五年级上·江苏徐州·期末）如果按下图的方式摆五边形，图1需要5根小棒；图2需要9根小棒；图3需要13根小棒；图4需要17根小棒；图n需要( )根小棒。当n＝16时，需要( )根小棒。 【答案】 （4n＋1）/（1＋4n） 65 【思路引导】图1需要5根小棒，5＝1×4＋1；图2需要9根小棒，9＝2×4＋1；图3需要13根小棒，13＝3×4＋1…由此可知，小棒根数＝图几就用几×4＋1，即小棒根数＝五边形个数×4＋1；求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【规范解答】n×4＋1＝（4n＋1）根 4n＋1 ＝4×16＋1 ＝64＋1 ＝65（根） 图n需要（4n＋1）根小棒。当n＝16时，需要65根小棒。 变式训练2：（24-25五年级上·江苏宿迁·期末）将2个长6厘米，宽a厘米的小长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示这个大长方形的面积。 （2）当a＝2.5时，这个大长方形的周长至少是多少厘米？ 【答案】（1）12a平方厘米 （2）22厘米 【思路引导】（1）根据，把字母和数据代入公式，再乘2，然后化简即可。 （2）由题意可知，把2个长方形的长边拼接在一起，得到的大长方形的周长较短，此时的大长方形的长是6厘米，宽是2a厘米，根据，代入数据并化简即可。 【规范解答】（1）（平方厘米） 答：用含有字母的式子表示这个大长方形的面积是12a平方厘米。 （2）当a＝2.5时 （厘米） 答：这个大长方形的周长至少是22厘米。 类型8 几何图形问题 典型例题8：（23-24五年级上·辽宁·期末）如图，图中每一个小正方形的边长都是1，则△ABC的面积等于 ． 思路分析： 可以用长方形格子数减去三角形以外的格子数 答题区：45-32=13 变式训练1：（2023五年级·全国·竞赛）两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米．如下图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积． 【答案】17平方厘米 【规范解答】在等腰直角三角形ABC中 ∵AB=10 ∵EF=BF=AB-AF=10-6=4， ∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）． 变式训练2：（2023六年级下·全国·竞赛）如图，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？ 【答案】20平方厘米 【规范解答】三角形ABC与三角形ABD的面积公共部分都是三角形AOB的面积． 所以，三角形BOC的面积减去三角形AOD的面积就是三角形ABC的面积减去三角形ABD的面积，即： ×12×8-×7×8=20（平方厘米） 类型9 鸡兔同笼问题 典型例题8：（23-24六年级下·河南濮阳·期末）《镜花缘》是清代李汝珍所著的长篇小说，书中出现了一些有趣的数学问题。下面的题目是根据一个问题改编的，你能解决吗？楼上灯有两种：甲种灯下一个大球，下缀两个小球；乙种灯下一个大球，下缀四个小球。大球共有三十六个，小球共一百二十个。甲、乙两种灯各有多少个？答：甲灯有( )个；乙灯有( )个。 思路分析： 根据“大球共有三十六个”，可以设乙灯的大球有个，则甲灯的大球有（36－）个； 根据“甲种灯下一个大球，下缀两个小球”可知，甲灯小球数量是甲灯大球的2倍，即有2（36－）个； 根据“乙种灯下一个大球，下缀四个小球”可知，乙灯小球数量是乙灯大球的4倍，即有4个； 根据“小球共一百二十个”可得出等量关系：甲灯小球的数量＋乙灯小球的数量＝两种灯小球的总数量，据此列出方程，并求解。 答题区： 解：设乙灯的大球有个，则甲灯的大球有（36－）个。 2（36－）＋4＝120 72－2＋4＝120 72＋2＝120 2＝120－72 2＝48 ＝48÷2 ＝24 甲灯：36－24＝12（个） 甲灯有12个；乙灯有24个。 变式训练1：（21-22五年级上·湖北宜昌·期末）学校举行智力竞赛，答对一题加10分，答错一题扣6分，李龙共抢答16题，最后得分16分，他答错了（    ）题。 A．9 B．15 C．7 D．10 【答案】A 【思路引导】根据题意可得等量关系：10×答对的题数－6×答错的题数＝最后的得分，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设答对题，则答错（16－）题。 10－6（16－）＝16 10－96＋6＝16 16－96＝16 16－96＋96＝16＋96 16＝112 16÷16＝112÷16 ＝7 答错：16－7＝9（题） 他答错了9题。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程，也可以用鸡兔同笼的假设法进行解答。 变式训练2：（2021五年级上·江苏·专题练习）小华买了2元和5元的纪念邮票共34张，用去98元，小华两种邮票各买了多少张？ 【答案】2元24张，5元10张 【思路引导】假设全是5元纪念邮票，则有5×34＝170元，这比已知的钱数多出了170－98＝72元，因为1张5元纪念邮票比1张2元纪念邮票多5－2＝3元，由此可得2元纪念邮票有24张，由此即可解答。 【规范解答】假设全是5元纪念邮票，则2元纪念邮票有： （5×34－98）÷（5－2） ＝72÷3 ＝24（张） 则5元纪念邮票有：34－24＝10（张） 答：小华买了2元的纪念邮票24张，5元的纪念邮票10张。 【考点剖析】此题是典型的鸡兔同笼问题，此类此题既可以利用假设法解答，也可以利用方程来解答。 第二部分：难度分层训练 A夯实基础 1．（24-25五年级上·江苏·单元测试）小红从家出发到小明家有（    ）条不同的路线。 A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】B 【思路引导】从小红家到书店共有3条路线，且每条路线都对应从书店到小明家的2条路线，根据乘法原理，用3×2即可求出小红从家出发到小明家共有多少条不同的路线，据此解答即可。 【规范解答】3×2＝6（条） 所以，小红从家出发到小明家有6条不同的路线。 故答案为：B 2．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）有12支排球队参加比赛，以单场淘汰制进行（即每场比赛淘汰1支球队）。如果要决出冠军，一共要比赛（    ）场。 A．6 B．8 C．11 D．12 【答案】C 【思路引导】采用淘汰制，第一轮要赛12÷2＝6场，第二轮要赛6÷2＝3场，第三轮要赛（3－1）÷2＝1场，第四轮要赛（1＋1）÷2＝1场。据此求出总场数即可。 【规范解答】12÷2＝6（场） 6÷2＝3（场） （3－1）÷2 ＝2÷2 ＝1（场） （1＋1）÷2 =2÷2 ＝1（场） 6＋3＋1＋1=11（场） 所以一共要比赛11场。 故答案为：C 【考点剖析】淘汰赛制参赛队数与比赛场数之间的关系为：参赛队数－1＝比赛总场数。 3．（24-25五年级上·江苏·单元测试）按规律填写1路车、2路车的发车时间，并回答相关问题。 1路车 6：00 6：15 6：30 2路车 6：00 6：20 6：40 （1）1路车是每（    ）分钟发一辆车，2路车是每（    ）分钟发一辆车。 （2）每（    ）分钟1路、2路车会同时发车。6：00它们同时发车后，下一次同时发车的时刻是（    ）。 【答案】图见详解 （1）15；20   （2）60；7：00 【思路引导】（1）由表可知，1路车发车时间为：6：00、6：15、6：30，即每15分钟发车一次，所以6：30＋15分钟＝6：45，6：45＋15分钟＝7：00； 2路车发车时间为：6：00、6：20、6：40，即每20分钟发车一次，所以，6：40＋20分钟＝7：00，7：00＋20分钟＝7：20，据此补充完整表格。 （2）由表可知，1路车和2路车在7：00又同时发车了，7：00－6：00＝1（时），1时＝60分，即每60分钟1路、2路车会同时发车。据此解答即可。 【规范解答】 1路车 6：00 6：15 6：30 6：45 7：00 2路车 6：00 6：20 6：40 7：00 7：20 （1）1路车是每15分钟发一辆车，2路车是每20分钟发一辆车。 （2）每60分钟1路、2路车会同时发车。6：00它们同时发车后，下一次同时发车的时刻是7：00。 4．（22-23五年级上·江苏徐州·期末）小丽和她的三位好朋友在元旦前互赠贺卡，每人每次赠送一张，一共需要( )张贺卡。 【答案】12 【思路引导】如果小丽和她的三位好朋友互相寄一张贺卡，由于每两人要互寄，每个人需要的贺卡数量为个，共有4个人，所以一共要寄张贺卡，据此解答。 【规范解答】 （张） 所以一共需要12张贺卡。 【考点剖析】解决本题的关键是明确互相发贺卡，所以每个人需要的贺卡数量是（总人数－1），一共需要的贺卡总数就要再乘总人数。 5．（22-23五年级上·江苏扬州·期末）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队参加，分为8个组，每组4支球队，根据比赛规则，第一阶段小组赛采用循环赛，即小组内每两支球队都要比赛一场，请你算一算，每个小组需要进行多少场比赛？ 【答案】6场 【思路引导】根据题意，32支球队进行比赛，分为8个组，每组4支球队，小组赛采用循环赛，即小组内每支球队要与其他3支球队进行比赛，则每个小组所有比赛的场数为12场，由于比赛是在两支球队之间进行的，要去掉重复计算的情况，用12除以2即可。 【规范解答】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（场） 答：每个小组需要进行6场比赛。 【考点剖析】在循环赛制中，参赛队数和比赛场数的关系为：比赛场数＝参赛队数×（参赛队数－1）÷2。 B培优拔高 1．（24-25五年级上·江苏盐城·期末）体育节到了，学校五年级举行足球比赛，一共有6个班参加。如果每两个班都要比赛一场，一共要比赛（    ）场。 A．10 B．12 C．15 D．36 【答案】C 【思路引导】每个班都要与其余（6－1）个班比赛一场，共比赛6×（6－1）场，这样重复计算了一遍，再除以2，就是比赛总场数。 【规范解答】6×（6－1）÷2 ＝6×5÷2 ＝15（场） 一共要比赛15场。 故答案为：C 2．（23-24五年级上·江苏连云港·期中）一排学生从前往后按1、2、3，1、2、3…依次重复报数，从前往后数小明是第26个，他应该报（    ）。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】学生以三个数为一个循环重复报数，计算26除以3的余数，余数是几就应该报该循环中的第几个数，据此解答。 【规范解答】26÷3＝8……2，小明应该报这个循环（1、2、3）中的第二个数，即2。 故答案为：B 3．（24-25五年级上·江苏无锡·期末）学校举行小学生足球赛，有4支球队参加，分别是甲队、乙队、丙队和丁队，每两支球队比赛一场，一共要比赛( )场。如果最后一轮2场比赛同时进行，对阵双方分别是“甲队－丁队、乙队－丙队”，积分规则为球队获胜得3分，平局得1分，输球得0分，最后一轮会有( )种得分情况（例如：甲队得3分、丁队得0分、丙队得1分、乙队得1分”是一种得分情况）。 【答案】 6 9 【思路引导】每支球队都要与其余的（4－1）支球队比赛一场，共要比赛4×（4－1）场，这样重复计算了一遍，再除以2，就是比赛总场数； 如果最后一轮2场比赛同时进行，对阵双方分别是“甲队－丁队、乙队－丙队”，每场比赛有3种可能，即甲队赢，丁队输；甲队输，丁队赢；甲队平，丁队平。乙队和丙队也是同样的3种可能，甲队和丁队的每种情况都对应乙队和丙队3种情况，共（3×3）种得分情况。 【规范解答】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝6（场） 3×3＝9（种） 每两支球队比赛一场，一共要比赛6场。最后一轮会有9种得分情况 4．（24-25五年级上·江苏无锡·期末）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数一共有( )个，其中最大的是( )。 【答案】 8 80 【思路引导】从8开始，由大到小，分别做十位数，据此把个位上的数和十位上的数相加得8的两位数写出来，即可得出答案 【规范解答】十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数有：80、71、62、53、44、35、26、17，一共有8个，其中最大的是80。 5．（24-25五年级上·江苏·课后作业）精彩的马戏每隔一段相等时间就开始表演。上午已经表演了四场：7：00、7：50、8：40和9：30。 （1）现在是10：15，我们还能赶上下一场表演开始吗？ （2）下面哪个时刻正好是一场表演的开始时刻？为什么？ 13：00     14：30      15：30     16：00 【答案】（1）能 （2）14：30；理由见详解 【思路引导】（1）表演开始的时间为：7：00，7：50，8：40和9：30，按照规律，根据“下一场表演开始时间－上一次比赛开始时间”，计算出每场表演的时间间隔，再计算出下次的播出时间，判断10：15是否能赶上下一场表演的开始； （2）根据每场表演的时间间隔，利用“开始时间＋经过时间＝结束时间”，看看哪个时刻正好是表演开始时刻。 【规范解答】（1）7：50－7：00＝50（分钟） 8：40－7：50＝50（分钟） 9：30－8：50＝50（分钟） 9：30＋50分钟＝10：20 接下来的一场表演是10：20开始，10：15能赶上表演开始。 答：现在是10：15，我们能赶上下一场表演开始。 （2）每50分钟开始一场表演，表演开始时刻如下： 10：20＋50分钟＝11：10 11：10＋50分钟＝12：00 12：00＋50分钟＝12：50 12：50＋50分钟＝13：40 13：40＋50分钟＝14：30 14：30＋50分钟＝15：20 15：20＋50分钟＝16：10 因为13：50是上一次表演开始时间，经过50分钟，下一次比赛开始时间是14：30。 答：14：30正好是一场表演的开始时刻。 C思维拓展 1．（23-24四年级上·江苏·单元测试）快餐店里有2个荤菜和4个素菜。丽丽想吃一荤两素套餐，她有（    ）种选择方法。 A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【思路引导】每次选1个荤菜、2个素菜，如表： 【规范解答】快餐店里有2个荤菜和4个素菜。丽丽想吃一荤两素套餐，她有12种选择方法。 故答案为：D 【考点剖析】本题主要考查学生对搭配问题解题方法的掌握和灵活运用。 2．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）一张靶纸共3圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投了2次，可能得到的环数有（    ）种。 A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【思路引导】小华投了2次，两次都投中的话，可能投中的圈和环数如表： ，有5种情况； 只投中1次，可能有10环，8环，6环，三种情况； 还有可能两次都没投中，可能0环，一种情况； 【规范解答】两次都投中的话，小华投了2次，可能得到的环数有20、16、18、14、12，有5种结果。 只投中1次，可能有10环，8环，6环，3种情况； 还有可能两次都没投中，可能0环，1种情况； 一共可能得到的环数有：5＋3＋1＝9种 故答案为：D 【考点剖析】本题考查了搭配知识，用列举法解答要按顺序写出，防止遗漏和重复。 3．（23-24五年级上·江苏连云港·期末）李阿姨用12根一米长的木条围成一个长方形的花圃，木条不能折断，一共有( )种不同的围法。面积最大是( )平方米。 【答案】 3 9 【思路引导】因长方形有两个长，两个宽，12根一米长的木条摆成长方形后的一个长和宽的和是12÷2＝6，然后把6分成长和宽，然后分别求出面积，再进行比较，据此解答。 【规范解答】组成长方形的方法： （1）长5米，宽1米，面积是：5×1＝5（平方米）； （2）长4米，宽2米，面积是：4×2＝8（平方米）； （3）长3米，宽3米，面积是：3×3＝9（平方米） 一共有3种不同的围法，面积最大是9平方米。 【考点剖析】本题的关键是根据长方形的长和宽分情况进行分析。 4．（2023五年级上·江苏南京·专题练习）五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整数。如果最高分是90分，那么得分最少的选手至少得多少分？ 【答案】50分 【思路引导】根据题干，得分最高为90分，要求得分最少的选手至少得多少分，那么可以将其与三个人的得分最大化：即分别得分为：89，88，87，由此即可得出最少得分。 【规范解答】404－90＝314（分） 将其余三人的得分最大化为：87＋88＋89＝264（分） 那么最少的人至少得：314－264＝50（分） 答：得分最少的选手至少得50分。 【考点剖析】抓住本题特点：其他选手的得分最大化，则剩下的选手得分最少；四个人的得分越接近平均得分，最少的那个选手的得分就越少。 5．（2022五年级上·江苏·专题练习）A、B、C、D、E五个盒子中依次放有9、5、3、2、1个小球。第一个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第二个小朋友也先找到放球最少的盒子，然后也从其它的盒子中各取一个放入这个盒子……当1000位小朋友放完后，A、B、C、D、E五个盒子中各放有几个球？ 【答案】当1000位小朋友放完后，A、B、C、D、E五个盒子中各放有4、5、3、2、6。 【思路引导】根据题意，原来盒子里的小球数量分别为：9、5、3、2、1；第一个小朋友取出后盒子里的小球数分别为：8、4、2、1、5；第二个小朋友取出后盒子里小球的个数分别为：7、3、1、5、4；第三个小朋友取出后盒子里小球的个数分别为：6、2、5、4、3；…分析数据，找到这组数据的规律，然后利用规律完成题目即可。 【规范解答】原来盒子里的小球数量分别为：9、5、3、2、1； 第一个小朋友取出后盒子里的小球数分别为：8、4、2、1、5； 第二个小朋友取出后盒子里小球的个数分别为：7、3、1、5、4； 第三个小朋友取出后盒子里小球的个数分别为：6、2、5、4、3； 第四个小朋友取出后盒子里小球的个数分别为：5、6、4、3、2； 第五个小朋友取出后盒子里小球的个数分别为：4、5、3、2、6； 第六个小朋友取出后盒子里小球的个数分别为：3、4、2、6、5； 第七个小朋友取出后盒子里小球的个数分别为：2、3、6、5、4； 第八个小朋友取出后盒子里小球的个数分别为：6、2、5、4、3； …… 第八个小朋友和第三个小朋友取后的结果是一样的，所以每5组一循环（除前2次外）， （1000－2）÷5 ＝998÷5 ＝199（组）……3（次） 所以第1000个小朋友取出后与第3＋2＝5（个）小朋友取出后的结果一样，为：4、5、3、2、6。 答：当1000位小朋友放完后，A、B、C、D、E五个盒子中各放有4、5、3、2、6。 【考点剖析】本题主要考查列举法解决问题，关键是利用列举法找到这组数据出现的规律，并利用规律做题。 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $