解答题03 数列（专项训练，5大题型+高分必刷）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

解答题03 数列 根据近几年的高考情况，数列的通项公式和数列前n项的和仍是高考的必考点。在2025年的八省联考中也有数列大题的考查。预测数列在2026高考中，题型相对固定多为一个单选（提空）加一个解答题，非解答题易考查数列通项公式和前n项和，解答题第一问多考查基本量的运算以及与的关系，第二问常考查数列与不等式、概率、新定义的综合问题。全面考察学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养。 题型一：运用等差和等比数列基本量求数列通项公式、求前n项和 （2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 此类题型考察等差和等比数列的通项公式和前n项和的公式比较多： 等差数列、等比数列的基本公式（） （1）等差数列的通项公式： （2）等差数列的通项公式： （3）等差数列的求和公式： 等比数列求和公式：。 1．（2025·天津·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)若时，恒成立，求正整数的最小值． 2．（2026·天津武清·联考）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求； (3)若，求数列的前项和. 题型二：运用an与Sn的关系求数列通项公式、求前n项和 （2025·天津·调研）已知数列是等差数列，其前项和为；数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的能项和； (3)若，，求． 1.数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解． 2.已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用＝求出. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 1．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列前n项和为. (1)试写出数列的前3项； (2)求数列的通项公式. 2．（2025·天津北辰·联考）已知数列的前项和为，且.在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列. 题型三：运用累加法、累乘法、构造法求数列通项公式、求前n项和 （2026·天津·调研）已知数列的首项且满足. (1)证明：是等比数列； (2)数列满足，，求数列的通项公式； (3)记，求数列的前项和. 1.形如：an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项，例如a1＝1，＝2n. 2.形如：an＋1＝an＋f(n)的数列可利用累加法求通项，例如a1＝1，an＋1＝an＋2n. 3.常见几种构造数列的形式： 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an＋c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列{} ‌ 1．（2025·天津·联考）已知数列的前项和为，，，为等差数列，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)，求数列的前项和. 2．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知数列满足，求的通项公式． 题型四：裂项相消求和、错位相减求和 （2025·天津·模拟预测）已知等差数列的首项为.数列为等比数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求； (3)求证. 1.常见的几种裂项相消的形式 2．如果数列{}是等差数列，{}是等比数列，求数列{·}的前n项和时，常采用错位相减法． 3．错位相减法求和时，应注意： (1)在写出“”与“q”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“－q”的表达式． (2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式＝n.‌ 1．（2025·天津·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 2．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. (1)求数列的前n项和； (2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； (3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 题型五：分组（并项）法求和（含分奇偶） （2026·天津·调研）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)若，求数列的前项和. 1．若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． 2．若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．‌ 1．（2026·天津滨海新·调研）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且 成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 2．（2026·天津宝坻·联考）已知等比数列的前项和为，且成等差数列，数列的前项和为，且 (1)求的通项公式 (2)设是数列的前项和，求； (3)设是的前项的积，求证：. 1．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为的前n项和，求. 3．（2025·天津·三模）已知数列和的满足， (1)（i）求的值； （ii）求的值. (2)若数列满足对于，求证：，使得． 4．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 5．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围； (3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求． 6．（2025·天津·二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为. (1)求数列的通项公式； (2)记，证明对于任意的，； (3)求（其中）. 7．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 8．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，． (1)求、通项公式； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和； (3)若（其中），证明：． 9．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 10．（2025·天津红桥·二模）已知数列 的首项 (1)证明：数列 为等比数列； (2)证明：对任意的 (3)证明: 1．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 2．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 3．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 4．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 5．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题03 数列 根据近几年的高考情况，数列的通项公式和数列前n项的和仍是高考的必考点。在2025年的八省联考中也有数列大题的考查。预测数列在2026高考中，题型相对固定多为一个单选（提空）加一个解答题，非解答题易考查数列通项公式和前n项和，解答题第一问多考查基本量的运算以及与的关系，第二问常考查数列与不等式、概率、新定义的综合问题。全面考察学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养。 题型一：运用等差和等比数列基本量求数列通项公式、求前n项和 （2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【思路分析】 （1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【规范答题】 （1）在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. （2）因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 此类题型考察等差和等比数列的通项公式和前n项和的公式比较多： 等差数列、等比数列的基本公式（） （1）等差数列的通项公式： （2）等差数列的通项公式： （3）等差数列的求和公式： 等比数列求和公式：。 1．（2025·天津·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)若时，恒成立，求正整数的最小值． 【答案】(1)(2)(3)11 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式及前项和公式列方程组求出首项和公差，即可得到结果. （2）分两种情况讨论，再利用等差数列的前项和公式计算可得结果. （3）根据（1）、（2）可得，解不等式可得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得，， 当时，， 当时， ， 故． （3）因为，, 所以， 整理得，解得或， 因为，，所以正整数的最小值为． 2．（2026·天津武清·联考）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，；(2)；(3). 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出. （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. （3）利用（1）的结果求出，进而求出，再利用分组求和法及裂项相法求和即得. 【详解】（1）在等差数列中，，而， 则是方程的两个实根，由，得， 解得，，，， 在等比数列中，由，，得，而，则， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）由（1）得，， ， ， 两式相减得 ， 所以. （3）由（2）得，， 所以 . 题型二：运用an与Sn的关系求数列通项公式、求前n项和 （2025·天津·调研）已知数列是等差数列，其前项和为；数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的能项和； (3)若，，求． 【思路分析】 （1）利用等差数列定义可求得，根据递推公式可证明数列是等比数列，可求出其通项公式为； （2）利用裂项相消求和即可求得； （3）由（1）中的结论可得，，再根据分组求和以及错位相减法求和即可求得. 【规范答题】 （1）设数列的首项为，公差为； 由可得，解得； 所以； 由可得，当时，； 两式相减可得，所以，即为定值， 又，可得； 因此数列是以为首项，公比的等比数列， 可得. 即数列的通项公式为； （2）由（1）可知, 则， 所以 ， 即可得 （3）由（1）可得， 所以，； 因此 令， 则； 两式相减可得 ； 所以， 因此； 所以. 1.数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解． 2.已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用＝求出. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 1．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列前n项和为. (1)试写出数列的前3项； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）直接代入计算即可. （2）应用求解即可. 【详解】（1）由得，；所以； （2）当时，， 当时，， 当时，不成立， 所以 2．（2025·天津北辰·联考）已知数列的前项和为，且.在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且. 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，. （2）解：当时，，可得，所以，， 且，则，，， 以此类推可知，对任意的，，所以，， 因此，数列是公比为的等比数列. 题型三：运用累加法、累乘法、构造法求数列通项公式、求前n项和 （2026·天津·调研）已知数列的首项且满足. (1)证明：是等比数列； (2)数列满足，，求数列的通项公式； (3)记，求数列的前项和. 【思路分析】 （1）根据递推关系可得，由等比数列定义可得结论； （2）利用累乘法可求得； （3）由等比数列通项公式求法可求得，由此可得，利用错位相减法可求得. 【规范答题】 （1）由得：，， ，，数列是以为首项，为公比的等比数列. （2），， 当时，； 当时，满足； 综上所述：. （3）由（1）得：，，又， ； ， ， ， . 1.形如：an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项，例如a1＝1，＝2n. 2.形如：an＋1＝an＋f(n)的数列可利用累加法求通项，例如a1＝1，an＋1＝an＋2n. 3.常见几种构造数列的形式： 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an＋c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列{} ‌ 1．（2025·天津·联考）已知数列的前项和为，，，为等差数列，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)，求数列的前项和. 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）利用与的关系和等比数列的定义求，利用等差数列的定义求即可； （2）利用裂项相消求和即可； （3）利用分组求和和错位相减求和即可. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 则，解得， 所以当时，，，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，经检验当时成立； 因为为等差数列，且，， 所以公差， 所以， 综上，. （2）由（1）得， 所以数列的前项和为 . （3）由（1）得， 所以， 令 ， ， 则， 两式相减，得 ， 所以， 所以. 2．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知数列满足，求的通项公式． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)． 【分析】（1）分与讨论，利用结合等比数列的定义即可求解； （2）根据，把式子表示出来，利用裂项相消法进行求和，结合，即可证明； （3）利用累加法求解出，再构造，利用错位相减法结合等比数列的前项求和即可求解． 【详解】（1）当时，，可得有， 当时，， 有，， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，； （2）由（1）知 ， 由于，所以 所以 （3）因为      故， ， 两式相减得 ， 即，也适合， 故. 题型四：裂项相消求和、错位相减求和 （2025·天津·模拟预测）已知等差数列的首项为.数列为等比数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求； (3)求证. 【思路分析】 （1）应用等差数列及等比数列通项公式基本量运算即可求解； （2）应用错位相减法计算求解； （3）应用裂项相消计算求解证明. 【规范答题】 （1）等差数列的首项为， 设公差为，所以，所以， 所以， 设在等比数列中，公比为， 因为，所以， 即， 解得， 所以； （2）因为 ， 所以① ② ①②，得 ． 所以 （3）因为 ， 所以 . 1.常见的几种裂项相消的形式 2．如果数列{}是等差数列，{}是等比数列，求数列{·}的前n项和时，常采用错位相减法． 3．错位相减法求和时，应注意： (1)在写出“”与“q”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“－q”的表达式． (2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式＝n.‌ 1．（2025·天津·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)(3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意得到方程组，求出、，即可得解； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得； （3）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 依题意得，解得或（舍去）， 故，， 所以的通项公式为，的通项公式为； （2）由（1）可得， 则， 两式相减可得： ， 所以； （3）由（1）可得， 所以. 2．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. (1)求数列的前n项和； (2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； (3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)1(3)存在， 【分析】（1）由等比中项的性质，等差数列和等比数列的通项公式，以及错位相减法可得结果； （2）利用等差数列和等比数列的前项和公式可得结果； （3）先利用裂项求和法得到，再结合等差中项的性质可得，化简得到，根据的取值范围分析可得结果. 【详解】（1）由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，∵，∴， 所以，， ∴，，∴， 所以，， ， ， 上述两个等式作差得 ， 所以，. （2）因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前n项的和， 所以， 所以. （3）∵， ∴， 其中，，， 假设存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列， 则有，即，所以，解得， 又因为，，所以，此时， 所以存在满足题设条件的m、n，. 题型五：分组（并项）法求和（含分奇偶） （2026·天津·调研）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)若，求数列的前项和. 【思路分析】 （1）利用等比数列的定义即可得证，进而求出，设等差数列的公差为，求出，进而求得； （2）由（1）有，利用分组求和即可求解； （3）由（1）有，利用错位相减法即可求解. 【规范答题】 （1）由题意有：， 所以数列是公比的等比数列， 所以， 即， 设等差数列的公差为， 由，解得， 所以； （2）由（1）有， 所以； （3）由（1）知， 所以，① ② ①-②得 ， 所以. 1．若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． 2．若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．‌ 1．（2026·天津滨海新·调研）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且 成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设出公比，根据等差中项得到方程，求出公比，求出通项公式； （2）分组求和，利用错位相减法和裂项相消法分别求出奇数项和偶数项之和，相加即可. 【详解】（1）设公比为，， 即，故， 故，所以，解得， 又，所以； （2）， 当时，， 故 ， 设①，则②， 式子①-②得 ， 故， 所以 2．（2026·天津宝坻·联考）已知等比数列的前项和为，且成等差数列，数列的前项和为，且 (1)求的通项公式 (2)设是数列的前项和，求； (3)设是的前项的积，求证：. 【答案】(1)；(2)(3)证明见解析 【分析】（1）由求出公比，进而得，利用即可求； （2）由（1）有，利用分组求和即可求解； （3）要证，只需证，即，令，即证即可. 【详解】（1）由题意有，所以，即， 所以，所以公比， 所以， 由，所以，即， 当时，由有， 所以，当时，， 所以； （2）由（1）有， 所以； （3）由题意有， 所以，所以， 要证，只需证， 即证， 令，所以， 由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 所以， 即，所以. 1．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求等差数列的公差和等比数列的公比即可求解； （2）令，利用裂项相消法即可求解； （3）利用错位相减法先求，由有，令，研究数列的单调性即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则有， 所以， 所以，又，所以， 所以， 所以； （2）令， 所以； （3）由已知有， 所以①， ②， 所以①②有：，解得， 由有，即，令， 所以， 所以当时，，即，所以当时，数列单调递减，又，所以， 所以. 2．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为的前n项和，求. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由题意可得，即可求出，再根据两边同除以，可得，即可求出 （2）根据分组求和、裂项求和及错位相减法，即可求出答案. 【详解】（1），， ，， 又，， ，， 由两边同除以， 得， 从而数列为首项，公差的等差数列， ， 从而数列的通项公式为 （2）由（1）知， ， ， 设， 则， 两式相减得， 整理得， . 3．（2025·天津·三模）已知数列和的满足， (1)（i）求的值； （ii）求的值. (2)若数列满足对于，求证：，使得． 【答案】(1)（i）;（ii）(2)证明见解析 【分析】（1）（i）通过将两递推式相加找到与的关系，进而求出； （ii）通过两递推式相减找到与的关系，再结合平方差公式求出； （2）根据得到的范围，再利用放缩法证明不等式. 【详解】（1）（i）已知，，将两式相加可得： ，又， ， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 根据等比数列通项公式可得. 所以. （ii）将与两式相减可得： 即，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 由平方差公式，则 设 ① 则 ② ① - ②得： 所以 则. （2）因为，所以. 由，，可得，. 则. 设 ③ 则 ④ ③ - ④得： 所以. 则. 当足够大时，会大于2025，所以，使得 4．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【分析】（1）设数列的公差为，根据列方程组可求数列的通项公式 （2）（i）根据，可得，构造等比数列可求数列的通项公式； （ii）当为奇数时，利用错位相减法求和；当为偶数时，利用裂项相消法求和，然后再将奇数项和与偶数项和相加即可得到数列的前项和. 【详解】（1）设数列的公差为， 因为， 则解得 故. （2）(ⅰ)， ， 所以， 即. 又， 则是首项为12，公比为的等比数列. . (ⅱ)当为奇数时，， 记， 则， ， 两式相减，得 ， 化简，得， 得； 为偶数时， 记， 则 . 故 . 5．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围； (3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得出，可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，结合等比数列的通项公式可求得数列的通项公式，再利用与对数运算可得出数列的通项公式； （2）分析数列的单调性，可得出最大项的值，结合题意可得出关于的不等式，解之即可； （3）求得，设，利用错位相减法可求出，利用等比数列的求和公式可求出，由此可得出. 【详解】（1）由题意，， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为，所以． （2）由（1）可得， 因为，所以， 所以数列的最大项为和，且， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． （3）因为， 设， 则 设， 所以， 两式相减得， 所以，故， 设， 所以． 6．（2025·天津·二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为. (1)求数列的通项公式； (2)记，证明对于任意的，； (3)求（其中）. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）根据给定条件，借助等比中项求出公比，进而求出通项公式. （2）求出插入区间内项后的等差数列公差，再按数列的相邻3项在同一等差数列内和在相邻两个等差数列内分类证明. （3）求出数列中项及前面的项数和，再利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式及错位相减法求和. 【详解】（1）设数列的公比为，因为数列是各项均为正数，故，， 因为，， 所以，解得，而，则公比， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得等差数列的公差， 当时，，则； 当时，则，， ，因此， 所以. （3）依题意，在内的数列的所有项和为， 数列中，项及前面的项数和为， 当时， 令， 则， 两式相减得， 解得，而， 因此， 当时，满足上式， 所以. 7．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)，(2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由可求出数列的通项公式，设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，结合等比数列的通项公式可求得的通项公式； （2）（i）利用裂项求和法求出，可将所求不等式变形为，然后对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求出的取值范围； （ii）求得，利用错误相减法可证得结论成立. 【详解】（1）对任意的，，当时，， 当时，. 也满足，故对任意的，， 所以，即数列为等差数列，合乎题意， 设等比数列的公比为，则，， ， 所以，，因此，. （2）（i）， ，故原不等式可化为， 当为奇数时，，即恒成立， 显然为递减数列，且，所以； 当为偶数时，恒成立，显然外递减数列， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是. （ii）因为， 设， 所以， 上述两个等式作差可得①， 设， 所以， 两式作差得 ，即， 代入①式可得， 故，故结论得证. 8．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，． (1)求、通项公式； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和； (3)若（其中），证明：． 【答案】(1)；(2)209(3)证明见解析 【分析】（1）根据，，由数列是等差数列，数列是等比数列求解； （2）设，从而在数列中，从项开始到项（不含）之前，共有项数为，再验证得到k求解； （3）当时，由，利用错位相减法求解；当时，由，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 解得，所以； 因为，，所以， 又因为，所以，； （2）设， 在数列中，从项开始到项（不含）之前， 共有项数为， 所以， ， 当时，；当时，， 所以数列前100项是项之后还有32项为2， 所以； （3）当时，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 因为，， 所以， 即. 9．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等差数列求和公式基本量运算求解； （2）（ⅰ）根据已知化简再应用等比数列求和公式求解即可；（ⅱ）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）设首项为，公差为， 由题意得解得， 所以． （2）（ⅰ）由（1）知， 因为， 所以 ， 所以． 所以， 所以． （ⅱ）因为 ， 所以 ． 10．（2025·天津红桥·二模）已知数列 的首项 (1)证明：数列 为等比数列； (2)证明：对任意的 (3)证明: 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析, 【分析】（1）根据题中递推关系式，运用倒数法化简变形可证数列为等比数列； （2）由（1）可求出数列的通项公式，将不等式右侧式子配凑成通项公式的形式，再将其化为关于二次函数最值问题,通过放缩可证明该不等式； （3）对利用（2）中的结论缩小，出现首项为 ，公比为的等比数列的前n项和的算术平均值，从而可证明不等式. 【详解】（1），又 所以是以为首项，以为公比的等比数列． （2）由（1）知，即 . （3）由（2）知，对任意，有， 取， 则. 1．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 2．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1)(2)①证明见详解；② 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 3．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，；(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为. 【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得. (2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，， 取，当时，，取，即可证得题中的不等式； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 4．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解. 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 5．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式； （II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证； （ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）由题意，， 所以， 所以，且， 所以数列是等比数列； （ii）由题意知，， 所以， 所以， 设， 则， 两式相减得， 所以， 所以. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $