4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式（第2课时） 第四章 数列 人教A版 选择性必修二 等差数列 等差数列的定义 等差中项的定义 通项公式 一次函数 前n项和公式 1回顾旧知 2 a1=4, d=6. 问题1：你能通过运算发现这些数据的规律吗？ S10 = 310 S20－S10=910 S30－S20=1510 S30=2730 追问1：你能归纳得到什么一般性的结论？能证明吗？ 若相减： 若除下标： 解：易得 S30呢？ S10 = 310 S20=1220 例7：已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项和为1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 2应用迁移 3 思路1：定义法，利用 Sn=a1+a2+a3+...+an 思路2：公式法，利用 性质1：数列{an}为等差数列，公差为d,Sn为数列{an}的前n项和，则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,...仍为等差数列，公差为n2d. Sn=a1+a2+a3+...+an S2n－Sn=an+1+an+2+an+3+...+a2n S3n－S2n=a2n+1+a2n+2+a2n+3+...+a3n 性质2：数列{an}为等差数列，公差为d,Sn为其前n项和，则 仍为等差数列，公差为 . ＿ Sn n { } ＿ d 2 5 例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？ 实际问题 数学问题 从第2排起后一排都 比前一排多两个座位 报告厅共有20排座位 n=20 容纳800个座位 第1排安排多少座位？ S20=800 a1=？ 等差数列{an},d =2 设第n排有an个座位 实际问题 等差数列问题 实际问题 抽象 回归 方程思想 知三求二 数学建模思想 例9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 问题2：请同学们求出a1，a2，a3，a4，a5,S1，S2，S3，S4，S5 追问1：从S1到S5是递增的，为什么会递增呢？Sn会一直递增吗？ 追问2：这说明哪些项的和是Sn的最大值呢？ 追问3：数列{an}中，哪些项是正数呢？ 数列{an}所有正项的和 前5项 解法1. an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12. 可知，当n＜6时，an＞0； 当n＝6时，an＝0； 当n＞6时，an＜0. 所以, S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞… 也就是说，当n＝5或6时，Sn最大. S5=S6=30 所以Sn的最大值为30. 问题3：你还有其他方法研究Sn的最大值吗？ 函数角度 单调性 问题4：对于一般的等差数列，前n项和公式是否都具有关于n的二次函数的形式呢？ ……(2) n ……(3) 特殊到一般 追问1：该公式有哪些特点？ （2）二次项系数的2倍等于公差d, （3）二次项系数与一次项系数之和等于首项. 当d （1）常数项为0，即具有Sn=An2+Bn的结构,(A、B为常数) （1）当A=1,B=2,C=0时 （2）当A=1,B=2,C=1时 （3）当A=1,B=0,C=2时 （4）当A=0,B=2,C=1时 追问：根据上述试验数据，你会得出什么样的猜想呢？ 逆向 思考 问题5：如果数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C,其中A,B,C为常数，那么这个数列会是等差数列吗？ 请根据数据计算: a1， a2， a3， a4， a5 当C=0时，数列{an}是等差数列 你能证明吗？ n(≠0) {an}是d≠0等差数列 猜想：数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C,其中A,B,C为常数 当C≠0，数列{an}从第二项起成等差数列 两个 性质 两个公式 两种思想 两类例题 数学应用，生活应用 一般与特殊，函数与方程 an=a1+(n－1)d,(n∈N*) Sn=na1+ 连续m项的和成等差数列, 成等差数列 ＿ Sn n { } 3课堂小结 （1）必做题：教科书24页练习题1，2，3题 1、基础性作业 （2）选做题：教科书24页练习题5题 2、拓展性作业 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知Sn=﹣a5 （1）若a3= 4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0,求使得Sn≥ an时n的取值范围. 4课后作业 “没有大胆的猜想， 就做不出伟大的发现。” 牛顿（Newton) 谢谢！ $