4.2.1等差数列的概念第一课时课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第 四 章 数 列 4.2.1 等差数列的概念 人教A版 选择性必修二 函数 函数的性质 具体函数 实际问题 数学问题 特殊数列 数列 一般到特殊 函数的概念 数列的概念 数列的性质 一般到特殊 一般到特殊 1回顾旧知 1.北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，由内到外各圈的石板数依次为： 9，18，27，36，45，54，63，72，81. 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是： 38，40，42，44，46，48. 3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为： 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6. 4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始每月应还本金b 万元，每月支付给银行的利息依次为: ar，ar-br，ar-2br，ar-3br，…. 请看下面几个情景 2情景引入 9,18,27,36,45,54,63,72,81. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，由内到外各圈的石板数依次为: 9,18,27,36,45,54,63,72,81. 抽象 问题1：你能通过运算发现该数列的取值规律吗？ 情景1 数学对象 +9 +9 +9 +9 +9 +9 +9 +9 这表明该数列有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81. 追问1：你能用第n项与第n+1项来表示这个规律吗？ 换一种写法使数列取值规律更突出 追问2：能用第n项与第n-1项来表示吗？ an+1－an=9(n∈N*) an－an－1=9(n≥2) a2-a1=9，a3-a2=9，…，a9-a8=9， 追问3：类比情景1，你能写出情景2、3、4的规律吗？ 追问4：根据刚才的分析，你能给等差数列下一个定义吗？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示. 递推公式 an+1－an=d(n∈N*) an－an－1=d(n≥2) 追问5：下列各组数列是等差数列吗？如果是,写出首项a1和公差d. ①1, 3, 5, 7, 9,…; ②9, 6, 3, 0, -3,…; ③7, 7, 7, 7, 7,…. a1=1，d=2>0 a1=9，d=-3<0 a1=7，d=0 首项和公差是等差数列的基本量 3生成概念 3项，最简单的等差数列. 若三个数a，A，b成等差数列，则称A为a，b的等差中项. 特别地： 常数列， 公差d=0时 从项数看 2A=a+b 由A－a=b－A得 a和b的等差中项是它们的算术平均数. 一个等差数列最少需要几项呢？ 归纳法 归纳可得： n=1时，该式也成立 an=a1+(n－1)d,(n∈N*) 问题2：你能由等差数列的定义得出它的通项公式吗？ 通项公式 累加法 追问1：你能用其他方法推导等差数列的通项公式吗？ 相加得 an=a1+(n－1)d,(n∈N*) n=1时，该式也成立 n－1个 通项公式 追问2：你能写出这些等差数列的通项公式吗？ ①1, 3, 5, 7, 9,…; ②9, 6, 3, 0, -3,…; ③7, 7, 7, 7, 7,…. an=a1+(n－1)d=1+(n－1)×2=2n－1. an=a1+(n－1)d=9+(n－1)×(－3)=－3n+12. an=a1+(n－1)d=7+(n－1)×0=7. 函数角度 an=a1+(n－1)d,(n∈N*) an=dn+(a1－d) 问题3：你能从函数角度来认识等差数列的通项公式？ 当d=0时，是常量函数， 当d≠0时，an看成是一次函数 f（x）=dx+（a1－d）， 当x=n时的函数值f（n）=an 追问：那等差数列{an} 的图象与一次函数f(x)的图象有什么关系呢？ 函数角度 方程角度 知三求一 an=a1+(n－1)d,(n∈N*) an=dn+(a1－d) x o f(x) d<0 (n,an) x o f(x) d=0 (n,an) d>0 an=An+B {an}是等差数列 单调 递增 单调 递减 常数列 例1（1）已知等差数列{an}的通项公式为an=5－2n，求{an}的公差和首项； (2)求等差数列8，5，2…的第20 项. 解：(1) d=an－an－1=(5－2n)－(7－2n)=－2， 令n=1，得a1=5－2×1=3. ∴ {an}的公差为－2 , 首项为3. 追问1：你还有别的方法求这个等差数列的公差吗？ an=5－2n=－2n+5为一次函数，－2就为公差. 4精讲例题 例1（1）已知等差数列{an}的通项公式为an=5－2n，求{an}的公差和首项； (2)求等差数列8，5，2…的第20 项. 首项和公差是等差数列的基本量 例2 －401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项?如果是，是第几项？ 两个定义 两个公式 两种思想 两种方法 an+1－an=d, 等差中项 归纳法，累加法 一般与特殊，函数方程 an=a1+(n－1)d,(n∈N*) =dn+(a1－d) 5课堂小结 　 书面作业：教材练习15页1-5题（必做）； 实践调查：运用等差数列通项公式解决生活中的一个实际问题. 6课后作业 “在数学中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。” 卡尔•弗里德里希•高斯 谢谢！ $