精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高一上学期期中数学试卷

滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高一期中考试 数学试题 命题人：大连市第二十三中学 石志敏 校对人：大连市第二十三中学 方彤 （时间：120分钟，满分：150分） 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 2. “且”是“且”的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件定义，分析已知命题判断选项． 【详解】且，且，满足充分性； 若“且”，不能推出“且”，如，满足“且”，故不满足必要性， “且”是“且”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可. 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为. 故选：C 4. 函数在下列哪个区间内一定有零点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算函数值，再根据零点存在性定理可判断. 【详解】因为，，，，， 则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为 故选：B. 5. 已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. （1，4） C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数单调性及复合函数单调性性质分类讨论计算求解. 【详解】当时，指数函数在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，不符合题意； 当时，指数函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，结合题意可知，则， 所以的取值范围为． 故选：A. 6. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知的两个根其中一个根在，另一个根在，结合，可得的范围，结合指数的单调性即可判断. 【详解】的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根， 由可得两根为， 又，所以， 由可知，为增函数， 又由，得，所以的图象与y轴的交点在x轴上方， 只有C选项满足题意， 故选：C 7. 已知是定义在上的单调函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 与大小不确定 【答案】C 【解析】 【分析】不妨，则，分单调递增和单调递减，结合不等式的性质，即可求解. 【详解】根据题意，不妨，则， 当函数单调递增时，可得， 所以，所以； 当函数单调递减时，， 所以，所以； 综上可得，. 故选：C. 8. 函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象以及对称轴来求得正确答案. 【详解】当时，， 因为是奇函数，所以的图象关于对称，且， 由此画出的图象如下图所示，直线过点， 因为， 所以过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 由图象以及对称性知，要使， 则在上有3个交点，即需. 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分. 9. 若,下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】可利用函数单调性及特殊值法进行大小的比较. 【详解】对于A:因为在上单调递增，且, 故,即,故A正确； 对于B:因为在上单调递减，且, 故,即,故B正确； 对于C:若,则,故C错误； 对于D:若,则,故D错误. 故选：AB. 10. 下列说法不正确的有（ ） A. “的内角都大于”的否定是“的内角都小于” B. 若，则有最小值2. C. 若不等式的解集为，则. D. 函数在定义域上是增函数. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据命题否定的定义和改写，可判定A错误；根据基本不等式，可判定B错误；根据三个二次式的关系，结合韦达定理，可判定C正确；根据函数单调性的定义，可判定D错误. 【详解】对于A，“的内角都大于”的否定是“的内角不都大于”，所以A错误； 对于B，若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以等号不成立，所以，所以B错误； 对于C，若不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根， 则满足，解得，所以，所以C正确； 对于D，由函数，可得函数的定义域为， 则函数在上单调递增，在不是单调函数，所以D错误. 故选：ABD 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，求得，可判定A正确；分类讨论，结合二次函数的性质，求得为单调递增函数，可判定B不正确；转化为，结合为单调递增函数，可判定C正确；令，结合函数的单调性和奇偶性，不等式转化为，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，，则， 所以存在，使得，所以A正确； 对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则； 当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确； 对于C，要证， 即证，即证， 由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确； 对于D，令，则， 可得，所以为奇函数，且为上的递增函数， 由，可得， 即，即， 因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】本题根据函数的解析式直接代入求函数值即可. 【详解】由， 则. 故答案为：1. 13. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用主元思想将转化为关于的函数. 【详解】令. 是关于的增函数. 要使对成立，只需保证最大值. , 解得. 故答案为： . 14. 设函数和，若两函数在区间上单调且单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题干中“稳定区间”的含义可知函数与函数在区间上同增或者同减，分类讨论转化为不等式组在上恒成立，计算得到结果； 【详解】根据题意可知，函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 函数在定义域上单调递减，若在某区间上单调递增，只能绝对值里面小于等于0， 即，可得解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即此时不等式组无解 综上所述，． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）219；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）转化成指数幂形式，根据指数幂的运算法则计算即可； （2）利用指数幂的运算法则计算即可； （3）利用指数幂的运算法则计算即可. 【详解】（1） 首先，计算 ： ， ， 其次，计算： ，所以， 所以， 故. （2）， ， 故. （3）， 因此：. 16. （1）若函数满足，求； （2）若函数满足，求； （3）已知函数，求 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）换元法，令，得，代入化简； （2）用替换得到方程组，即可求； （3）讨论，对应的范围，得到对应表达式，代入即可得. 【详解】（1）令，则，则，所以； （2）由题设，用替换，得， 所以，则，可得； （3）当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 当时，，，则， 综上所述，. 17. 根据当地气候、土质等条件，发现某果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元，已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式 （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）5千克，最大利润是325元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本来求得的解析式. （2）利用二次函数的性质、基本不等式来求得正确答案. 【小问1详解】 根据题意知， 整理得； 【小问2详解】 当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴，∴的最大值是， ∴当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元. 18. 已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足． （1）证明：； （2）著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②当时，取最小值，当时，取最小值． 【解析】 【分析】（1）令，即可证明. （2）①根据已知条件得到，再根据即可证明.②根据题意得到，再分类讨论求解最值即可. 【小问1详解】 令，得． 【小问2详解】 ①因为，且， 所以 ． ②因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断， 又，结合题目条件可知，． 又，所以． 从而． 的对称轴为． 当时，在上单调递减， 所以，当时，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，； 综上，当时，取最小值，当时，取最小值． 19. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； （2）函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求的值和函数的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；在上单调递增 （2）； （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，求得，得到函数的解析式，结合单调性的定义与判定方法，即可求解； （2）根据题意，得到，得出，得到，结合指数函数的性质，即可求得的值域； （3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 当时，，函数的定义域为，关于原点对称， 且，满足是奇函数， 又由， 任取且， 则， 因为，可得且， 所以，即，所以函数是上的单调递增函数. 【小问2详解】 由（1）得， 可得， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 可得，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 由在区间上任意三个实数， 都存在以为边长的三角形， 等价于且恒成立， ①当时，即，符合. ②当时，在上单调递减， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. ③当时，在上单调递增， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高一期中考试 数学试题 命题人：大连市第二十三中学 石志敏 校对人：大连市第二十三中学 方彤 （时间：120分钟，满分：150分） 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “且”是“且”的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 函数在下列哪个区间内一定有零点（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. （1，4） C. D. 6. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的单调函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 与大小不确定 8. 函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分. 9. 若,下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法不正确的有（ ） A. “的内角都大于”的否定是“的内角都小于” B. 若，则有最小值2. C. 若不等式的解集为，则. D. 函数在定义域上是增函数. 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________. 14. 设函数和，若两函数在区间上单调且单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 16. （1）若函数满足，求； （2）若函数满足，求； （3）已知函数，求 17. 根据当地气候、土质等条件，发现某果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元，已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式 （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足． （1）证明：； （2）著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 19. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； （2）函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求的值和函数的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $