2025年中考数学一轮专题 专题18 圆 专题复习讲义

专题18 圆的核心知识点精讲 考点1、与圆有关的概念 1.圆的定义 （1）由圆的形成过程进行定义，如图，在一个平面内， 线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之 旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA 叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。　　　　　　　　　　　　　 （2）由圆的特性进行定义，圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 2.与圆有关的概念 （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 （2）直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的两倍。在同一个圆中，直径是最长的弦。 （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 （4）半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用3个字母表示。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。 （5）同心圆与等圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等。 （6）等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 3.圆心角、圆周角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角，如图中的∠BOC。 （2）圆周角：顶点在圆上且两边都圆相交的角叫作圆周角， 如图中的∠BAC。 4.弓形和扇形 （1）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫作弓形。 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 考点2、圆的基本性质 1.圆的对称性 （1）圆的中心对称图形：将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。 （2）圆的轴对称性：经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 2.垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图所示：AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，垂足为E，则DP=CP，,。 （2）推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图所示：AB是⊙O的直径，CD为弦，DP=CP，则AB⊥CD，则DP=CP，,。 3.弧、弦、圆心角之间的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆周角定理 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 情况 圆心在圆周角内部 圆心在圆周角的一条边上 圆心在圆周角外部 内部 结论 （2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 5.圆内接四边形 （1）如果一个四边形的顶点都在同一个圆上，叫圆内接四边形，这个圆叫作这个四边形的外接圆。 （2）圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补（外角等于它相邻内角的对角）。 考点3、点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则： （1）点P在圆内；（2）点P在圆上；（3）点P在圆外。 2.三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形。 （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫作三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。 （3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径。 拓展：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 考点4、直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 （1）相交：直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这时直线叫作圆的割线。 （2）相切：直线和圆有唯一的公共点时，直线和圆相切，这时直线叫作圆的切线，唯一的公共点叫作切点。 （3）相离：直线和圆没有公共点时，直线和圆相离。 （4）直线与圆的位置关系的性质和判定,设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：①直线l和⊙O相交；②直线l和⊙O相切；③直线l和⊙O相离。 2.切线的性质定理和判定定理 （1）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 推论：①过圆心且垂直于切线的直线必过切点。②过切点且垂直于切线的直线必过圆心。 （2）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 拓展：判断切线还有以下方法：①定义：与圆只有一个公共点的的直线是圆的切线。 ②若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。 3.切线长定理 （1）切线长：经过圆外一点的圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 数学语言：如图，因为PA，PB是⊙O的两条切线，A,B为切点，所以PA=PB，∠APO=∠BPO=。 还可以得出以下结论：①PO⊥AB；②AC=BC；③；④PA⊥OA,PB⊥OB；⑤∠OAB=∠OBA=∠APO=∠BPO。 4.三角形的内切圆与内心 （1）定义：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。三角形的内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。 拓展：①若三角形的三边长分别为a,b,c，内切圆的半径为r,则此三角形的面积。 ②若直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，则此直角三角形的内切圆的半径。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三边的距离相等，是三条角平分线的交点。 考点5、圆与圆的位置关系 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心的距离为d，则： 位置关系 图示 公共点 数量关系 外离 无 d＞r1+r2 外切 一个切点 d=r1+r2 相交 两个交点 ＜d＜r1+r2 内切 一个切点 d= 内含 无 d< 考点6、正多边形与圆 1.圆的内接正n边形和外切正n边形的作法 （1）把圆分成n（n≥3）等份。 （2）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。 （3）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 拓展：①任意三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆。②任意多边形（边数大于3）不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一 定有外接圆和内切圆，并且是同心圆。 2.正多边形的相关概念 （1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心。如图，O是正六边形ABCDEF的中心。 （2）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作 正多边形的中心角。正n边形的每一个中心角都等于。 （3）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫作正多边形的半径。 （4）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。正多边形的边心距等于正多边形的内切圆的半径。 拓展：①正多边形的半径R、边长a和边心距r的关系：。 ②正六边形的边长等于正六边形的外接圆的半径。 ③正方形的边长等于正方形的外接圆的半径。 ④正三角形的边长等于正三角形的外接圆的半径的倍。 （5）正多边形的对称性 ①正n边形是旋转对称图形，最小旋转角为，即任一正n边形绕其中心旋转的正整数倍后，所得图形与原图形重合。 ②所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。 ③如果正多边形有偶数条边，那么它既是轴对称图形，也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 3.正多边形的常用计算公式 （1）内角：正n边形的每个内角为。 （2）外角：正n边形的每个外角为。 （3）周长：正n边形的周长(a为边长)。 （4）面积：正n边形的面积(r为边心距，l为多边形周长)。 考点7、与圆有关的计算 1.弧长公式：(n°是圆心角的度数，R是圆的半径)。 2.扇形的面积公式：① (n°是圆心角的度数，R是半径)。② (l是n°圆心角所对的弧长，R是半径)。 3.设圆柱的的母线长为l，底面圆的半径为R，则： 圆柱侧面积：；圆柱表面积：。 4.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h，则： 圆锥侧面积：；圆锥表面积：。 【题型1：垂径定理及推论】 例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则BE＝（　）cm． A．5 B．4 C．3 D．2 解：∵AB是⊙O的直径，∴OB＝OC＝5cm，∵弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝4cm， 在Rt△OCE中，OC＝5cm，∴，∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2（cm）． 故选：D． 例2.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱 呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　） A．20m B．28m C．35m D．40m 解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m， 设主桥拱半径为R m，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m， ∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝（m）， 在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（）2+（R﹣7）2＝R2， 解得R＝≈28．故选：B． 跟踪训练： 1.如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于 点D，连接OA，则OE的长度为　 1　． 解：如图，连接OB，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∵OD⊥AB，∴ ，∠OEA＝90°， ∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°， ∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°， ∴OE＝OA＝×2＝1，故答案为：1． 2.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则 BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 解：∵AD＝CD＝8，∴OB⊥AC， 在Rt△AOD中，OA＝，∴OB＝10， ∴BD＝10﹣6＝4．故选：B． 3.如图，AD为直径，E为弦BC的中点，连接AB，AC． （1）求证：△ABC为等腰三角形； （2）连接BD，CD，若AD＝8，四边形ABDC的面积为24，求DE的长． 解：（1）证明：∵E为弦BC的中点，AD为直径， ∴AD⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形； （2）解：连接OB，如图， ∵AD＝8，四边形ABDC的面积为24，AD⊥BC， ∴，∴BC＝6，∴BE＝3， ∵AD＝8，∴OB＝OD＝4， ∴，∴． 4.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数； （2）若，求⊙O的半径． 解：（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，AO⊥BC， ∴AF＝BF，CE＝BE， ∴CF垂直平分AB，AE垂直平分BC， ∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°； （2）设OC＝r， ∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB， ∴， 则在Rt△OCE中，， 由OE2+CE2＝OC2得， ∴， ∴， 解得r＝4，即OC＝4， ∴⊙O的半径为4． 题型2：弧、弦、圆周角和圆心角 例1.如图，四边形ABDC内接于直径是AB的⊙O．若∠BED＝25°，则∠ACD的度数为（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 解：如图，连接BC，四边形ABDC内接于直径是AB的⊙O． 则∠BCD＝∠BED＝25°，∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+25°＝115°，故选：B． 例2.如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，∴∠AOB＝80°．故选：D． 例3.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵，∴∠D＝∠ABC＝40°，故选：B． 跟踪训练： 1.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 解：∵∠C＝30°，∴∠AOB＝2∠C＝60°，∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，故选：C． 2.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，∴∠AOB＝110°，故选：D． 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝110°，则∠BAC的度数为（　　） A．22° B．21° C．20° D．19° 解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ADC＝110°，∴∠ABC＝70°， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，故选：C． 4.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 解：解法一：如图，连接OC，∵∠ADC＝115°， ∴优弧所对的圆心角为2×115°＝230°， ∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°， ∴∠BAC＝∠BOC＝25°，故选：A． 解法二：∵∠ADC＝115°， ∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，故选：A． 5.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数 为（　　） A．32° B．42° C．48° D．52° 解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°﹣48°＝32°， ∵，∴∠B＝∠C＝32°．故选：A． 6.如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（　　） A．140° B．120° C．110° D．70° 解：连接OC，如图：∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝70°， ∵C为的中点．∴，∴∠AOC＝∠BOC＝70°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，故选：A． 7.如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（　　） A．20° B．18° C．15° D．12° 解：∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∵∠AOB＝4∠BOC，∴∠BOC＝30°， ∴∠BAC＝∠BOC＝15°．故选：C． 8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的 度数是（　　） A．65° B．115° C．130° D．140° 解：∵∠DCE＝65°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠DCB＝180°， ∴∠BAD＝65°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，故选：C． 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140°,那么∠CDE＝　 °． 解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，∴∠CDE＝∠B， ∵∠B＝∠AOC＝×140°＝70°，∴∠CDE＝70°．故答案为：70． 题型3：点、直线与圆位置关系的判定 例1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC的中点，现在以D为圆心，以DC为半径作⊙D，求： （1）BC＝8时，点A与⊙D的位置关系； （2）BC＝6时，点A与⊙D的位置关系； （3）BC＝5时，点A与⊙D的位置关系． 解：连接AD，（1）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是BC的中点， ∴CD＝4，∴AD＝3，∵4＞3，∴点A在⊙D内； （2）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是BC的中点，∴CD＝3，∴AD＝4， ∵4＞3，∴点A在⊙D外； （3）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝5，点D是BC的中点，∴CD， ∴AD，∵，∴点A在⊙D上． 例2.在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个 动点，则点P到直线l的最大距离是（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 解：如图，由题意得，OA＝2，OB＝3， 当点P在BO的延长线与⊙O的交点时， 点P到直线l的距离最大， 此时，点P到直线l的最大距离是3+2＝5，故选：B． 跟踪训练： 1.已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D． 2.平面内，已知⊙O的半径是8cm，线段OP＝7cm，则点P（　　） A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定 解：∵平面内，已知⊙O的半径r是8cm，线段OP＝7cm，∴r＞OP，∴点P在⊙O内． 故选：C． 3.已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，∴直线l和⊙O相离，∴直线l与⊙O没有公共点．故选：A． 题型4：切线的判定与性质 例1.如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 解：（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE，∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠FED+∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°，∴OE⊥FE， ∵OE是半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1， ∴FE＝2BD＝2（r﹣1）， 在Rt△FEO中，由勾股定理得， FE2+OE2＝OF2， ∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2， 解得r＝3，或r＝1（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 例2.如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD ⊥CB于点D，且AB平分∠CAD． （1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长． 解：（1）BC与⊙O相切，理由如下：如图，连接OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵AB平分∠CAD， ∴∠DAB＝∠CAB， ∴∠DAB＝∠OBA， ∴AD∥OB， ∵AD⊥CB， ∴OB⊥CB， ∵OB是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切； （2）∵∠D＝90°，AC＝10，DC＝8， ∴AD＝＝6， ∵AD∥OB， ∴， ∴， ∵OA＝OB，∴OB＝， ∴⊙O的半径长为． 跟踪训练： 1.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线 上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）若CF＝4，BF＝2，求⊙O的半径． 解：（1）证明：连接OC、OD，则OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC＝∠OED， ∵AB是⊙O的直径，D是的中点， ∴， ∴∠AOD＝∠BOD180°＝90°， ∴∠OCF＝∠OCD+∠FCE＝∠ODC+∠OED＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC， ∴CF为⊙O的切线． （2）解：∵CF＝4，BF＝2，OB＝OC， ∴OF＝OB+BF＝OC+2， ∵∠OCF＝90°， ∴OC2+CF2＝OF2， ∴OC2+42＝（OC+2）2， 解得OC＝3， ∴⊙O的半径长为3． 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝ ∠CAB． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC∥DE，当AB＝4，DC＝2时，求AC的长． 解：（1）证明：如图，连接BD， ∵∠DAB＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DEC+∠CDE＝90°， ∵∠CED＝∠CAB， ∴∠BAC+∠CDE＝90°， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE＝90°， ∴∠BDE＝90°， 即：BD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：设BD与AC交于点F， 由（1）知：BD⊥DE， ∵DE∥AC， ∴BD⊥AC， ∴CB＝AB＝4，， 在Rt△BCD中，， ∵S△BCD， ∴， ∴． 3.如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直 线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的长． 解：（1）证明：连接OC， ∵点C是的中点， ∴∠ABC＝∠DBC， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB， ∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥DB， ∵PD⊥BD， ∴PD⊥CO，∴PC为⊙O的切线； （2）解：连接AE，设OB＝OC＝r， ∵PC＝2BO＝2r，∴OP＝， ∵PB＝10，∴3r+r＝10，即r＝． ∵OC∥DB，∴△PCO∽△PDB， ∴， ∴， ∴BD＝， ∵AB是⊙O的直径， ∴AE⊥BD， ∴AE∥PD， ∴，∴，∴BE＝． 题型5：三角形的外接圆和内切圆 例1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°， ∠EOF＝150°． （1）求△ABC的三个内角的大小； （2）设⊙O的直径为d，证明：d＝AB+AC﹣BC． 解：（1）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F， ∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF， ∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°， ∵∠DOE＝120°，∠EOF＝150°， ∴∠B＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠DOE＝60°，∠C＝360°﹣∠OEC﹣∠OFC﹣∠EOF＝30°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， ∴∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°． （2）证明：∵AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD+CF＝BE+CE＝BC， ∵AB+AC＝AD+BD+CF+AF＝2AF+BC， ∴2AF＝AB+AC﹣BC， ∵∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°， ∴四边形ADOF是矩形， ∴OD＝AF， ∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径， ∴d＝2OD＝2AF， ∴d＝AB+AC﹣BC． 例2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交 ⊙O于点D，连接BD，BE． （1）求证：DB＝DE； （2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长． 解:（1）证明：∵点E是△ABC的内心， ∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE， 又∵∠CAD与∠CBD所对弧为， ∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD． ∵∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD， ∴∠BED＝∠DBE， 故DB＝DE． （2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD， ∴△ABD∽△BFD， ∴①， ∵DF＝4，AE＝3，设EF＝x， 由（1）可得DB＝DE＝4+x， 则①式化为， 解得：x1＝2，x2＝﹣6（不符题意，舍去）， 则DB＝4+x＝4+2＝6． 跟踪训练： 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16． （1）尺规作图：作△ABC的外接圆（保留作图痕迹）； （2）第（1）问中所作外接圆的半径为 　　 （直接写出答案）． 解：（1）如图，⊙O即为所求； （2）过A作AD⊥BC，连接OB，则BDBC＝8， ∴AD6， 设△ABC的外接圆的半径AO＝r， 在Rt△OCD中，82+（r﹣6）2＝r2， 解得：r，故答案为：． 2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长． 解：（1）证明：∵半径 OD⊥AC， ∴弧AD＝弧CD，AE＝CE， ∴∠ABC＝∠CBD，∴BD平分∠ABC， （2）解：如图，连接AD， ∵OD⊥AC，AC＝8，∴AE， 设圆O的半径为R，则OE＝R﹣2， 在Rt△AEO中，由勾股定理得： （R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，∴AB＝10， 在Rt△ADE中，由勾股定理得： AD2， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD4． 3.已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（　　） A．rl B．πrl C．rl D．πrl 解：如图，设内切圆O与△ABC相切于点D，点E，点F，连接OA，OB，OC，OE，OF，OD， ∵AB切⊙O于E， ∴OE⊥AB，OE＝r， ∴S△AOB＝AB×OE＝AB×r， 同理：S△BOC＝BC×r，S△AOC＝AC×r， ∴S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB×r+BC×r+AC×r＝（AB+BC+AC）×r， ∵l＝AB+BC+AC，∴S＝lr，故选：A． 4.如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面 积是（　　） A．4 B．2 C．2 D．4 解：过点B作BH⊥CD的延长线于点H． ∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°， ∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）， ∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°， 则∠BDH＝60°， ∵BD＝4， ∴DH＝2，BH＝2， ∵CD＝2， ∴△DBC的面积＝CD•BH＝＝，故选：B． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，内切圆⊙I与BC相切于点D，∠BIC＝105°，AB＝8cm，求： （1）∠IBA和∠A的度数； （2）BC和AC的长； （3）内切圆⊙I的半径和BI的长． 解：（1）∵⊙I是△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，∠BIC＝105°， ∴∠ICB＝∠ICA∠ACB＝45°，∠IBC＝∠IBA∠ABC， ∴∠IBC＝∠IBA＝180°﹣∠ICB﹣∠BIC＝30°，∴∠ABC＝2∠IBC＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠IBA和∠A的度数都是30°． （2）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm， ∴BCAB＝4cm，∴AC4（cm）， ∴BC和AC的长分别为4cm和4cm． （3）连接ID， ∵△ABC的内切圆⊙I与BC相切于点D， ∴BC⊥ID，∴∠IDC＝∠IDB＝90°， 由（1）得∠ICB＝45°，∠IBC＝30°， ∴∠DIC＝∠ICB＝45°， ∴CD＝ID，BI＝2ID， ∴BDID， ∵BD+CD＝BC， ∴ID+ID＝4， 解得ID＝22， ∴BI＝2×（22）＝（44）cm， ∴内切圆⊙I的半径和BI的长分别为（22）cm和（44）cm． 题型6：正多边形和圆的有关计算 例1.将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（　　） A．60° B．90° C．180° D．360° 解：由于正六边形的中心角为＝60°， 所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍， 即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°， 故选：B． 例2.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OB＝3，求这个正六边形的周长． 解：如图，连接OC，∴OB＝OC． 由题意可得：∠BOC60°． ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝3， ∴这个正六边形的周长为6×3＝18． 跟踪训练： 1.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（　　） A．60° B．54° C．48° D．36° 解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°， ∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°， 故选：D． 2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，PA与⊙O相切于点A，求∠PAB的度数． 解：连接OA、OB， 由题意可得：， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝60°， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AP， ∴∠OAP＝90°， ∴∠PAB＝∠OAP﹣∠OAB＝90°﹣60°＝30°． 3.如图，正方形ABCD是半径为6的⊙O的内接四边形，求正方形ABCD的边长和边心距． 解：作OE⊥BC于点E， ∵正方形ABCD是半径为6的⊙O的内接四边形， ∴OB＝OC＝6，∠BOC360°＝90°， ∴BC6，BE＝CE， ∴OEBC＝3， ∴正方形ABCD的边长和边心距分别为6和3． 4.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数 为（　　） A．30° B．45° C．36° D．60° 解：如图，连接OC，OD，OQ，OE， ∵正六边形ABCDEF，Q是的中点， ∴∠COD＝∠DOE＝＝60°， ∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°， ∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°， ∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，故选：B． 题型7：弧长和扇形面积的有关计算 例1.如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，DE＝1，连接OA、OB，求的长度． 解：如图，连接OB， 由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝2×60°＝120°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣120°）＝30°， ∴OEOA， ∴OEOD， ∵DE＝1， ∴OD＝2， ∴的长为：． 例2.如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，OC＝3． （1）∠AOB＝　120°　 ． （2）求阴影部分的面积． 解：（1）由条件可知2∠ACB＝∠BOA，∠ACO＝∠OAC＝25°， ∵∠ACO+∠OCB＝∠ACB，∠ACO＝25°，∠OCB＝35°， ∴∠ACB＝60°， ∵2∠ACB＝∠BOA，∠ACB＝60°，∴∠BOA＝120°； （2）阴影部分的面积为． 跟踪训练： 1.如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD． （1）求证：∠A＝∠D． （2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求的长． 解：（1）证明：∵AC＝BD，∴，∴， ∴， ∴∠A＝∠D； （2）解：连接OC，OD， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠A＝∠ADE＝45°，∴∠COD＝2∠A＝90°， ∵⊙O的半径为4，∴的长为2π． 2.如图，⊙O的直径AB⊥CD于点M，且M是半径OB的中点，CD＝8cm． （1）求直径AB的长； （2）求弓形（阴影部分）的面积． 解：（1）连接OD， ∵AB⊥DC，CD＝8cm， ∴DMcm． ∵M是半径OB的中点， 令⊙O的半径为rcm， ∴OM的长为 cm． 在Rt△ODM中， ，解得r， ∴直径AB的长为cm． （2）连接OC， 在Rt△ODM中， ∵OM， ∴∠ODM＝30°． 又∵OD＝OC， ∴∠ODM＝∠OCM＝30°， ∴∠COD＝120°， ∴（cm2）． 又∵（cm2）， ∴（cm2）． 3.如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连结AC． （1）求证：AB＝AC． （2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积． 解：（1）证明：连接AP， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠APB＝90°， ∴AP⊥BC． ∵PC＝PB， ∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC； （2）解：连接OP， ∵∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝60°， ∴∠POB＝120°． ∵点O是AB的中点， ∴S△POBS△PABAP•PB2×2， ∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB π． 4.如图，以等边三角形ABC的边AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，AB＝6． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 解：（1）连接OD，AD， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC． 又∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∴BD＝CD． 又∵AO＝BD， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∴∠BOD＝∠BAC＝60°， ∴AOD＝180°﹣60°＝120°， ∴2π． （2）在Rt△ABD中， AD， ∴， ∴． 又∵， ∴． 题型8：圆锥的有关计算 例4.如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π， ∴R＝3．故选：A． 跟踪训练： 1.圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° 解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，设圆心角的度数是n度．则， 解得：n＝120．故选：C． 2.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（　　） A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2 C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2 解：∵底面圆半径DE＝2m，∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意； ∵圆柱的高CD＝2.5m， ∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意； ∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m， ∴圆锥的母线长AB＝（m），所以C选项符合题意； ∴圆锥的侧面积＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．故选：C． 3.如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（　　） A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm 解：设母线的长为R，由题意得，πR＝2π×12， 解得R＝24，∴母线的长为24cm， 故选：D． 专题练习-基础过关 1.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（　　） A．38° B．76° C．80° D．60° 解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝38°，∴∠AOB＝76°，故选：B． 2.如图，△ABC的三点都在⊙O上，AB是直径，∠BAD＝50°，则∠ACD的度数是（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAD＝50°，∴∠BAD＝∠BCD＝50°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°．故选：A． 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠AD C的度数是（　　） A．40° B．50° C．110° D．130° 解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：D． 4.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 解：∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故选：C． 5.已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 解：设这个三角形的内切圆半径是r，∵三角形周长为12，面积为6， ∴×12r＝6，解得r＝1．故选：D． 6.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠ C的度数为（　　） A．18° B．27° C．36° D．54° 解：连接OB，∵AB切圆O于B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°， ∵∠A＝36°，∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠OBA＝54°， ∵∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴∠C＝∠AOB＝27°．故选：B． 7.如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A 的度数为（　　） A．45° B．30° C．22.5° D．37.5° 解：∵CD切⊙O于C， ∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°， ∵CO＝CD， ∴∠COD＝∠D＝45°， ∵OA＝CO， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠COD＝∠OAC+∠OCA＝45°，∴∠A＝22.5°． 故选：C． 8.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠BAC＝30°．则∠ADC的大小是（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，故选：B． 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．100° C．130° D．150° 解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°， ∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°．故选：B． 10.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（　　） A．72° B．60° C．48° D．36° 解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°， 故选：A． 11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　） A．2， B．，π C．2， D．2， 解：如图所示，连接OC、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°， ∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM＝60°， ∴OM＝OBsin∠OBM＝4×＝2，的长＝；故选：D． 12.如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 解：∵∠B＝45°，∴∠AOC＝90°，∵⊙O的半径为1，∴的长＝，故选：C． 13.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 解：如图，连接OC．∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，OB＝OC＝BC＝1， ∴的长为，故选：A． 14.如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（　　） A． B．6π C． D． 解：如图，作EF⊥AB于点F， ∵BE⊥CE，∠BCE＝30°， ∴BE＝BC＝2，∠CBE＝60°， ∴CE＝BE＝2，∠EBF＝30°， ∴EF＝BE＝1， ∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△BCE﹣S△ABE＝＝4π﹣2﹣2． 故选：C． 15.如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（　　） A．180° B．216° C．240° D．270° 解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm，∴圆锥底面圆的半径为：（cm）， ∴2π×3＝，解得n＝216°．故选：B． 16．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（　　） A．10π B．15π C．20π D．25π 解：圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π， 故选：C． 17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是　 　． 解：∵∠BAD＝105°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°， ∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°． 18.如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是　 　． 解：连接AD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ABD＝62°， ∴∠D＝90°﹣∠ABD＝28°， ∴∠C＝∠D＝28°， 19.如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝　100°　． 解：∵∠ABD＝50°， ∴∠ACD＝50°， ∵∠CAD＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 20.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的 垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）若AD＝4，AC＝5，求⊙O的半径． 解：（1）连接OC，∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA，∵∠CAB＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA， ∴OC∥AD，∵AD⊥MN， ∴OC⊥MN， ∵OC为半径， ∴MN是⊙O切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACB＝∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴△ADC∽△ACB，∴， ∴，∴AB＝，∴⊙O半径是． 21.△ABC的三边长分别是a，b，c． （1）若△ABC为直角三角形，且a＝5，b＝12，则c＝　13或　 ； （2）设a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，试判断△ABC的形状并说明理由； （3）如图，若a＝8，b＝6，c＝10，分别以a，b为直径向外作半圆，以c为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积． 解：①当a，b为直角边时： ∵c2＝a2+b2＝52+122＝169，∴c＝13； ②当b为斜边时： ∵c2＝b2﹣a2＝122﹣52＝119， ∴c， 综上所述，c＝13或， （2）△ABC是直角三角形，理由： ∵（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2， ∴△ABC是直角三角形； （3）设以AC为直径的半圆面积为S1，以BC为直径的半圆面积为S2，以AB为直径的半圆面积为S3， ∴S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3 π×（）2π×（）2abπ×（）2 πb2πa2πc2ab π（a2+b2﹣c2）ab， ∵△ABC是以AB为斜边的直角三角形，∴a2+b2＝c2， ∵a＝8，b＝6，∴S阴影8×6＝24． 22.如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD， ∴， ∵， ∴，即， ∴BM＝CM． 23.如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝75°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数． 解：连接OB， ∵AB＝OC，OC＝OB， ∴AB＝OB， ∴∠BOA＝∠A， ∴∠EBO＝∠BOA+∠A＝2∠A， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠EBO＝2∠A， ∵∠EOD是△AOE的外角， ∴∠EOD＝∠OEB+∠A＝3∠A， ∵∠EOD＝75°， ∴3∠A＝75°， 解得∠A＝25°． 24.如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE，且ED＝ EC． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝10，AD＝6，求BC的长． 解：（1）证明：∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°， ∴∠EDC＝∠B， ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠C， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC； （2）解：连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， 由（1）知AB＝AC＝10， ∴CD＝AC﹣AD＝4，BE＝CE， ∴BE＝CEBC， ∵∠EDC＝∠B，∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CBA， ∴， ∴， ∴BC． 25.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD 的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA． （1）求证：EA与⊙O相切； （2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径． 解：（1）证明：如图，连接OC， ∵EF为切线，∴∠OCE＝90°， ∵D为AC中点，∴OE⊥AC， ∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠EAC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OAC+∠EAC＝∠OCA+∠ECA＝90°，即∠EAO＝90°， ∴EA为⊙O的切线； （2）解：连接BC，∵AB为直径， ∴∠BCA＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵EF为切线， ∴∠BCF+∠BCO＝90°，且∠BCO＝∠CBA， ∴∠BCF＝∠CAF，∴△BCF∽△CAF， ∴， 由（1）知EA为⊙O切线，则EA＝EC＝3，EF＝EC+FC＝5， 在Rt△AEF中，可求得AF＝4， ∴，解得BF＝1， ∴AB＝AF﹣BF＝3，∴⊙O的半径为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 圆的核心知识点精讲 考点1、与圆有关的概念 1.圆的定义 （1）由圆的形成过程进行定义，如图，在一个平面内， 线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之 旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA 叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。　　　　　　　　　　　　　 （2）由圆的特性进行定义，圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 2.与圆有关的概念 （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 （2）直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的两倍。在同一个圆中，直径是最长的弦。 （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 （4）半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用3个字母表示。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。 （5）同心圆与等圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等。 （6）等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 3.圆心角、圆周角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角，如图中的∠BOC。 （2）圆周角：顶点在圆上且两边都圆相交的角叫作圆周角， 如图中的∠BAC。 4.弓形和扇形 （1）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫作弓形。 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 考点2、圆的基本性质 1.圆的对称性 （1）圆的中心对称图形：将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。 （2）圆的轴对称性：经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 2.垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图所示：AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，垂足为E，则DP=CP，,。 （2）推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图所示：AB是⊙O的直径，CD为弦，DP=CP，则AB⊥CD，则DP=CP，,。 3.弧、弦、圆心角之间的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆周角定理 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 情况 圆心在圆周角内部 圆心在圆周角的一条边上 圆心在圆周角外部 内部 结论 （2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 5.圆内接四边形 （1）如果一个四边形的顶点都在同一个圆上，叫圆内接四边形，这个圆叫作这个四边形的外接圆。 （2）圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补（外角等于它相邻内角的对角）。 考点3、点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则： （1）点P在圆内；（2）点P在圆上；（3）点P在圆外。 2.三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形。 （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫作三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。 （3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径。 拓展：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 考点4、直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 （1）相交：直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这时直线叫作圆的割线。 （2）相切：直线和圆有唯一的公共点时，直线和圆相切，这时直线叫作圆的切线，唯一的公共点叫作切点。 （3）相离：直线和圆没有公共点时，直线和圆相离。 （4）直线与圆的位置关系的性质和判定,设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：①直线l和⊙O相交；②直线l和⊙O相切；③直线l和⊙O相离。 2.切线的性质定理和判定定理 （1）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 推论：①过圆心且垂直于切线的直线必过切点。②过切点且垂直于切线的直线必过圆心。 （2）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 拓展：判断切线还有以下方法：①定义：与圆只有一个公共点的的直线是圆的切线。 ②若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。 3.切线长定理 （1）切线长：经过圆外一点的圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 数学语言：如图，因为PA，PB是⊙O的两条切线，A,B为切点，所以PA=PB，∠APO=∠BPO=。 还可以得出以下结论：①PO⊥AB；②AC=BC；③；④PA⊥OA,PB⊥OB；⑤∠OAB=∠OBA=∠APO=∠BPO。 4.三角形的内切圆与内心 （1）定义：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。三角形的内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。 拓展：①若三角形的三边长分别为a,b,c，内切圆的半径为r,则此三角形的面积。 ②若直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，则此直角三角形的内切圆的半径。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三边的距离相等，是三条角平分线的交点。 考点5、圆与圆的位置关系 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心的距离为d，则： 位置关系 图示 公共点 数量关系 外离 无 d＞r1+r2 外切 一个切点 d=r1+r2 相交 两个交点 ＜d＜r1+r2 内切 一个切点 d= 内含 无 d< 考点6、正多边形与圆 1.圆的内接正n边形和外切正n边形的作法 （1）把圆分成n（n≥3）等份。 （2）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。 （3）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 拓展：①任意三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆。②任意多边形（边数大于3）不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一 定有外接圆和内切圆，并且是同心圆。 2.正多边形的相关概念 （1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心。如图，O是正六边形ABCDEF的中心。 （2）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作 正多边形的中心角。正n边形的每一个中心角都等于。 （3）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫作正多边形的半径。 （4）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。正多边形的边心距等于正多边形的内切圆的半径。 拓展：①正多边形的半径R、边长a和边心距r的关系：。 ②正六边形的边长等于正六边形的外接圆的半径。 ③正方形的边长等于正方形的外接圆的半径。 ④正三角形的边长等于正三角形的外接圆的半径的倍。 （5）正多边形的对称性 ①正n边形是旋转对称图形，最小旋转角为，即任一正n边形绕其中心旋转的正整数倍后，所得图形与原图形重合。 ②所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。 ③如果正多边形有偶数条边，那么它既是轴对称图形，也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 3.正多边形的常用计算公式 （1）内角：正n边形的每个内角为。 （2）外角：正n边形的每个外角为。 （3）周长：正n边形的周长(a为边长)。 （4）面积：正n边形的面积(r为边心距，l为多边形周长)。 考点7、与圆有关的计算 1.弧长公式：(n°是圆心角的度数，R是圆的半径)。 2.扇形的面积公式：① (n°是圆心角的度数，R是半径)。② (l是n°圆心角所对的弧长，R是半径)。 3.设圆柱的的母线长为l，底面圆的半径为R，则： 圆柱侧面积：；圆柱表面积：。 4.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h，则： 圆锥侧面积：；圆锥表面积：。 【题型1：垂径定理及推论】 例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则BE＝（　）cm． A．5 B．4 C．3 D．2 例1题 例2题 例2.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱 呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　） A．20m B．28m C．35m D．40m 跟踪训练： 1.如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于 点D，连接OA，则OE的长度为　 　． 第1题图 第2题图 2.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则 BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3.如图，AD为直径，E为弦BC的中点，连接AB，AC． （1）求证：△ABC为等腰三角形； （2）连接BD，CD，若AD＝8，四边形ABDC的面积为24，求DE的长． 4.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数； （2）若，求⊙O的半径． 题型2：弧、弦、圆周角和圆心角 例1.如图，四边形ABDC内接于直径是AB的⊙O．若∠BED＝25°，则∠ACD的度数为（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 例1图 例2图 例3图 例2.如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 例3.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 跟踪训练： 1.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝110°，则 ∠BAC的度数为（　　） A．22° B．21° C．20° D．19° 4.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数 为（　　） A．32° B．42° C．48° D．52° 6.如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（　　） A．140° B．120° C．110° D．70° 7.如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（　　） A．20° B．18° C．15° D．12° 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的 度数是（　　） A．65° B．115° C．130° D．140° 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140°,那么∠CDE＝　 °． 题型3：点、直线与圆位置关系的判定 例1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC的中点，现在以D为圆心，以DC为半径作⊙D，求： （1）BC＝8时，点A与⊙D的位置关系； （2）BC＝6时，点A与⊙D的位置关系； （3）BC＝5时，点A与⊙D的位置关系． 例2.在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个 动点，则点P到直线l的最大距离是（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 跟踪训练： 1.已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB 与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2.平面内，已知⊙O的半径是8cm，线段OP＝7cm，则点P（　　） A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定 3.已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 题型4：切线的判定与性质 例1.如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于 点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 例2.如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD ⊥CB于点D，且AB平分∠CAD． （1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长． 跟踪训练： 1.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线 上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）若CF＝4，BF＝2，求⊙O的半径． 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝ ∠CAB． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC∥DE，当AB＝4，DC＝2时，求AC的长． 3.如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直 线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的长． 题型5：三角形的外接圆和内切圆 例1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°， ∠EOF＝150°． （1）求△ABC的三个内角的大小； （2）设⊙O的直径为d，证明：d＝AB+AC﹣BC． 例2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交 ⊙O于点D，连接BD，BE． （1）求证：DB＝DE； （2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长． 跟踪训练： 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16． （1）尺规作图：作△ABC的外接圆（保留作图痕迹）； （2）第（1）问中所作外接圆的半径为　 　（直接写出答案）． 2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长． 3.已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（　　） A．rl B．πrl C．rl D．πrl 4.如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面 积是（　　） A．4 B．2 C．2 D．4 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，内切圆⊙I与BC相切于点D，∠BIC＝105°，AB＝8cm，求： （1）∠IBA和∠A的度数； （2）BC和AC的长； （3）内切圆⊙I的半径和BI的长． 题型6：正多边形和圆的有关计算 例1.将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（　　） A．60° B．90° C．180° D．360° 例2.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OB＝3，求这个正六边形的周长． 跟踪训练： 1.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（　　） A．60° B．54° C．48° D．36° 2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，PA与⊙O相切于点A，求∠PAB的度数． 3.如图，正方形ABCD是半径为6的⊙O的内接四边形，求正方形ABCD的边长和边心距． 4.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数 为（　　） A．30° B．45° C．36° D．60° 题型7：弧长和扇形面积的有关计算 例1.如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，DE ＝1，连接OA、OB，求的长度． 例2.如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，OC＝3． （1）∠AOB＝　 　． （2）求阴影部分的面积． 跟踪训练： 1.如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD． （1）求证：∠A＝∠D． （2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求的长． 2.如图，⊙O的直径AB⊥CD于点M，且M是半径OB的中点，CD＝8cm． （1）求直径AB的长； （2）求弓形（阴影部分）的面积． 3.如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连结AC． （1）求证：AB＝AC． （2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积． 4.如图，以等边三角形ABC的边AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，AB＝6． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 题型8：圆锥的有关计算 例4.如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 跟踪训练： 1.圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° 2.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（　　） A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2 C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2 3.如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（　　） A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm 专题练习-基础过关 1.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（　　） A．38° B．76° C．80° D．60° 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，△ABC的三点都在⊙O上，AB是直径，∠BAD＝50°，则∠ACD的度数是（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠AD C的度数是（　　） A．40° B．50° C．110° D．130° 4.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 第4题图 第6题图 第7题图 5.已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠ C的度数为（　　） A．18° B．27° C．36° D．54° 7.如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A 的度数为（　　） A．45° B．30° C．22.5° D．37.5° 8.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠BAC＝30°．则∠ADC的大小是（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．100° C．130° D．150° 10.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是 （　　） A．72° B．60° C．48° D．36° 11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（　　） A．2， B．，π C．2， D．2， 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 13.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 14.如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形 内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（　　） A． B．6π C． D． 第14题图 第15题图 15.如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（　　） A．180° B．216° C．240° D．270° 16．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（　　） A．10π B．15π C．20π D．25π 17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是　 　． 第17题图 第18题图 第19题图 18.如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是　 　． 19.如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝　 　． 20.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的 垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）若AD＝4，AC＝5，求⊙O的半径． 21.△ABC的三边长分别是a，b，c． （1）若△ABC为直角三角形，且a＝5，b＝12，则c＝　 　； （2）设a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，试判断△ABC的形状并说明理由； （3）如图，若a＝8，b＝6，c＝10，分别以a，b为直径向外作半圆，以c为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积． 22.如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM． 23.如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝75°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数． 24.如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE，且ED＝ EC． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝10，AD＝6，求BC的长． 25.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD 的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA． （1）求证：EA与⊙O相切； （2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $