2025年九年级中考数学复习专题 17 多边形与平行四边形 讲义

专题17 多边形、平行四边形与特殊的平行四边形的核心知识点精讲 考点1、多边形的概念 1.概念：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫作n边形。 2.多边形的相关概念 ①边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 ②顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。 ③内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 ④外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 ⑤对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 拓展：多边形对角线的条数：过n（n>3）边形的每一个顶点都可以引(n-3)条对角线，其中每一条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线。 3.画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 凸多边形 凹多边形 4.正多边形 （1）概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形。 （2）性质：正多边形的边数为偶数时，它既是轴对称图形，又是中心对称图形；正多边形的边数为奇数时，它是轴对称图形，不是中心对称图形。 5.（1）多边形的内角和： n边形的内角和为(n≥3)。 特别的，正n边形的每个内角都相等，都等于。 （2）多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和，n边形的外角和恒等于360°。正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于。 考点2、平行四边形 1.（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 （2）符号表示：行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 （3）平行四边形的性质 ①边的性质：平行四边形两组对边平行且相等。 ②角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等。 ③对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。 ④平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。 拓展：①平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形。 ②平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形。③平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点。 ④过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分。 （4）平行线间的距离：①两条平行线间的距离处处相等。②两条平行间的任何两条平 行线段都是相等的。 2.平行四边形的判定定理 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。 考点3、中位线 1.（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 （3）三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一。 2.中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作 中点四边形。如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的各边 的中点，则四边形EFGH为中点四边形。 重要结论：①连接对角线相等的四边形各边中点所得的中点四边形是菱形。 ②连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的中点四边形是矩形。 ③连接对角线既垂直又相等的四边形各边中点所得的中点四边形是正方形。 ④中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。 考点4、矩形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫作是长方形）。 2.性质 （1）矩形具有平行四边形的所有性质。 （2）矩形的对角线相等且互相平分，矩形的两条对角线把矩形分为四个面积相等的等腰三角形。 （3）矩形的两组对边分别平行且相等，矩形的四个角都是直角。 （4）矩形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线； 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 3.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形）。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 考点5、菱形 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质 （1）菱形具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，菱形的一条对角线把菱形分为两个全等的等腰三角形，菱形的两条对角线把菱形分为四个全等的直角三角形。 （4）菱形是轴对称图形，它的对称轴是对角线所在的直线。菱形也是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心。 （5）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高。 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）。 拓展：任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半。 3.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）。 （3）四条边相等的四边形是菱形。 考点6、正方形 1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 2.性质 （1）正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 （2）边：四边相等、邻边垂直、对边平行。 （3）角：四个角都是直角。 （4）对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，一条对角线把正方形分为两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，两条对角线把正方形分为四个全等的等腰直角三角形。 （5）是轴对称图形，它的对称轴是对角线所在的直线和过对边中点的直线；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。 （6）正方形的面积=边长的平方=对角线长的平方的一半。 3.正方形的判定 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 已知矩形时 有一组邻边相等的矩形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 已知菱形时 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 题型1多边形的内角和与外角和 例1.五边形的外角和等于（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 跟踪训练： 1.正十二边形的外角和为（　　） A．30° B．150° C．360° D．1800° 2.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　） A．45° B．60° C．110° D．135° 3.蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（　） A．4条 B．5条 C．6条 D．9条 4.若正n边形的一个外角为72°，则n＝　 　． 题型2：平行四边形的性质 例1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF． （1）求证：BE∥DF； （2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长． 跟踪训练： 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．12 3.如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B 的坐标是　 　． 4.在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，则DE的长为　 　cm． 5.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF． 求证：（1）∠1＝∠2； （2）△ABE≌△CDF． 6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积． 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E． （1）求证：AC⊥BD； （2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长． 题型3：平行四边形的判定 例1.已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 例2.如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证： （1）△CEF≌△AED； （2）四边形DBCF是平行四边形． 跟踪训练： 1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（　　） A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC 第1题图 第2题图 2.如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C 3.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC。 （1）求证：△ABC≌△DFE。 （2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形。 4.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上。 （1）给出以下条件：①OB=OD；②∠1=∠2；③OE=OF。请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO。 （2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形。 题型4：三角形的中位线 例1.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上， DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于 点M．若BC＝6，则线段CM的长为（　　） A． B．7 C． D．8 跟踪训练： 1.在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（　　） A．9 B．12 C．14 D．16 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO， BO的中点。若AC+BD=24cm，△AOB的周长是18cm，则的长为　 　. 第1题图 第2题图 3.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点。求证：∠PMN=∠PNM。 题型5：矩形的性质和判定 例1.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交 于点F，连接DF，∠ACF＝90°。 （1）求证：四边形ACFD是矩形。 （2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积。 跟踪训练： 1.如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM ＝1，BN＝2，则BD的长为（　　） A． B．3 C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（　　） A． B． C． D． 3.如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧 相交于点E，连接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，则∠ABE的正切值为（　　） A． B． C． D． 4.如图，AD和BC交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E、F分别是AO、DO 的中点． （1）求证：OE＝OF； （2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形． 5.如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 题型6：菱形的性质和判定 例1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结 CE． （1）求证：四边形AECD为菱形； （2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积． 跟踪训练： 1.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　） A． B．1 C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是（　） A． B． C． D． 3.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（　　） A．2 B． C．3 D．4 4.如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB 的延长线于点G。 （1）求证：DE=BF。 （2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形。 5.如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，分别交对角线AC于点M，N，连接MD， BN。 （1）求证：∠DMN＝∠BNM。 （2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形。 6.如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的 延长线于点F。 （1）求证：AD＝CF。 （2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论。 题型7：正方形的性质和判定 例2.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF，OE＝OA． 求证：四边形AECF是正方形． 跟踪训练： 1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一 点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　　） A．80° B．90° C．105° D．115° 第1题图 第3题图 2.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等 c．一组邻边相等 d．一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是（　　） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝5，则BG的长为　 　． 专题练习-基础过关 1.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　） A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度减小 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第2题图 第3题图 3.如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．60° C．70° D．80° 4.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（　　） A．2mm B．mm C．mm D．4mm 5.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、 H，则四边形EFGH的周长为（　　） A． B． C． D． 第5题图 第6题图 6.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（　　） A． B． C．2 D． 7.若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为　 　． 8.如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为　 　． 9.如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为　 　． 第9题图 第10题图 第11题图 10.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分线AE交线段CD于 点E，则EC＝　 　． 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件 　 　，使得矩形ABCD为正方形． 12.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E 在AD上，连接EB，EC．则图中阴影部分的 面积是 　 　． 13.如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形． （1）你添加的条件是 　 　（填序号）； （2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形． 14.已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF． 15.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF． 求证：（1）AE＝CF； （2）BE∥DF． 16.如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：AD＝AF； （2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积． 17.如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF． （1）求证：AE∥BF； （2）若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形． 18.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 19.将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图叠放． （1）判断四边形AGCH的形状，并说明理由； （2）求四边形AGCH的面积． 20.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 多边形、平行四边形与特殊的平行四边形的核心知识点精讲 考点1、多边形的概念 1.概念：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫作n边形。 2.多边形的相关概念 ①边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 ②顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。 ③内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 ④外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 ⑤对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 拓展：多边形对角线的条数：过n（n>3）边形的每一个顶点都可以引(n-3)条对角线，其中每一条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线。 3.画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 凸多边形 凹多边形 4.正多边形 （1）概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形。 （2）性质：正多边形的边数为偶数时，它既是轴对称图形，又是中心对称图形；正多边形的边数为奇数时，它是轴对称图形，不是中心对称图形。 5.（1）多边形的内角和： n边形的内角和为(n≥3)。 特别的，正n边形的每个内角都相等，都等于。 （2）多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和，n边形的外角和恒等于360°。正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于。 考点2、平行四边形 1.（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 （2）符号表示：行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 （3）平行四边形的性质 ①边的性质：平行四边形两组对边平行且相等。 ②角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等。 ③对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。 ④平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。 拓展：①平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形。 ②平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形。③平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点。 ④过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分。 （4）平行线间的距离：①两条平行线间的距离处处相等。②两条平行间的任何两条平 行线段都是相等的。 2.平行四边形的判定定理 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。 考点3、中位线 1.（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 （3）三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一。 2.中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作 中点四边形。如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的各边 的中点，则四边形EFGH为中点四边形。 重要结论：①连接对角线相等的四边形各边中点所得的中点四边形是菱形。 ②连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的中点四边形是矩形。 ③连接对角线既垂直又相等的四边形各边中点所得的中点四边形是正方形。 ④中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。 考点4、矩形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫作是长方形）。 2.性质 （1）矩形具有平行四边形的所有性质。 （2）矩形的对角线相等且互相平分，矩形的两条对角线把矩形分为四个面积相等的等腰三角形。 （3）矩形的两组对边分别平行且相等，矩形的四个角都是直角。 （4）矩形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线； 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 3.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形）。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 考点5、菱形 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质 （1）菱形具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，菱形的一条对角线把菱形分为两个全等的等腰三角形，菱形的两条对角线把菱形分为四个全等的直角三角形。 （4）菱形是轴对称图形，它的对称轴是对角线所在的直线。菱形也是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心。 （5）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高。 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）。 拓展：任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半。 3.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）。 （3）四条边相等的四边形是菱形。 考点6、正方形 1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 2.性质 （1）正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 （2）边：四边相等、邻边垂直、对边平行。 （3）角：四个角都是直角。 （4）对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，一条对角线把正方形分为两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，两条对角线把正方形分为四个全等的等腰直角三角形。 （5）是轴对称图形，它的对称轴是对角线所在的直线和过对边中点的直线；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。 （6）正方形的面积=边长的平方=对角线长的平方的一半。 3.正方形的判定 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 已知矩形时 有一组邻边相等的矩形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 已知菱形时 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 题型1多边形的内角和与外角和 例1.五边形的外角和等于（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 解：五边形的外角和是360°．故选：B． 跟踪训练： 1.正十二边形的外角和为（　　） A．30° B．150° C．360° D．1800° 解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C． 2.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　） A．45° B．60° C．110° D．135° 解：∵正八边形的外角和为360°，∴每一个外角为360°÷8＝45°．故选：A． 3.蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（　　） A．4条 B．5条 C．6条 D．9条 解：正六边形的对称轴有6条．故答案为：C． 4.若正n边形的一个外角为72°，则n＝　5　． 解：∵正n边形的一个外角为72°，∴n＝360÷72＝5，故答案为：5． 题型2：平行四边形的性质 例1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF． （1）求证：BE∥DF； （2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长． 解:（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE与△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠AEB＝∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF； （2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DO＝BO， ∵OM⊥BD， ∴DM＝BM， ∵△BFM的周长为12， ∴BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF＝12， ∴四边形BEDF的周长为24． 跟踪训练： 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD 解：A、错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意； B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意； C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意； D、错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；故选：B． 2.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4， h＝3，则△ABE的平移距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．12 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥EF，BC＝AD＝a， ∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF， ∴四边形AEFD是矩形，由平移的性质得BE＝CF，∴EF＝BC＝4， ∴平行四边形ABCD的面积＝矩形AEFD的面积＝ah＝12， ∴△ABE的平移距离为4．故选：B． 3.如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B 的坐标是　（4，2）　． 解：如图，延长BC交y轴于点D， ∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC＝OA，BC∥OA， ∵OA⊥y轴，∴BC⊥y轴， ∵A（3，0），C（1，2）， ∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2， ∴BD＝CD+BC＝1+3＝4， ∴B（4，2），故答案为：（4，2）． 4.在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，则DE的长为　5　cm． 解：∵D，E分别为AB，AC的中点，BC＝10cm，∴DE＝BC＝5cm，故答案为5． 5.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF． 求证：（1）∠1＝∠2； （2）△ABE≌△CDF． 解:证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥EC， 又∵AE∥CF．∴四边形AECF是平行四边形． ∴∠1＝∠2（平行四边形对角相等）． （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC， ∵四边形AECF是平行四边形，∴AE＝FC，AF＝CE，∴BE＝FD， 在△ABE和△CDF中， ，∴△ABE≌△CDF（SSS）． 6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且 BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积． 解:（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵BE＝EF， ∴S△ABE＝S△AEF＝2， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO， ∴△CFO的面积＝1． 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E． （1）求证：AC⊥BD； （2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长． 解:（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB， ∴AB＝CB， ∴▱ABCD是菱形， ∴AC⊥BD； （2）解：由（1）可知，▱ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝AC＝8，AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOE＝90°， ∴， ∵BE⊥AB， ∴∠EBA＝90°， ∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BEO＝∠ABO， ∴△BOE∽△AOB， ∴，即， 解得：OE＝，即OE的长为． 题型3：平行四边形的判定 例1.已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：∵AB∥CD， ∴∠ABO=∠CDO。 在△ABO和△CDO中，， ∴△ABO≌△CDO（ASA）。 ∴AO=CO。 ∵BO=DO且AO=CO。 ∴四边形ABCD是平行四边形。 例2.如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证： （1）△CEF≌△AED； （2）四边形DBCF是平行四边形． 证明：（1）∵点D、E分别为AB、AC的中点， ∴AE＝CE， 在△CEF与△AED中， ∴△CEF≌△AED（SAS）； （2）由（1）证得△CEF≌△AED， ∴∠A＝∠FCE， ∵点D、E是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，即DF∥BC， ∴四边形DBCF是平行四边形． 跟踪训练： 1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（　　） A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，故选：C． 2.如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C 解：A、因为AD∥BC，AD＝BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意； B、因为AD∥BC，AB∥DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意； C、AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意； D、因为AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB （AAS），得到AD＝CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；故选：C． 3.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC。 （1）求证：△ABC≌△DFE。 （2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形。 解：（1）证明：∵点B、E、C、F在一条直线上，且BE=FC， ∴BE+EC=FC+EC，即BC=FE。在△ABC和△DFE中， ∴△ABC≌△DFE（SSS）。 （2）证明：由（1）知△ABC≌△DFE，∴∠ABC=∠DFE， ∴AB∥DF。 又∵AB=DF，∴四边形ABDF是平行四边形。 4.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上。 （1）给出以下条件：①OB=OD；②∠1=∠2；③OE=OF。请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO。 （2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形。 解：（1）选择条件①OB=OD和③OE=OF， 证明如下：在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（SAS）。 （2）证明四边形ABCD是平行四边形,由（1）得△BEO≌△DFO， ∴OE=OF。 ∵AE=CF， ∴OA=OE+AE=OF+CF=OC， 即OA=OC。 又∵OB=OD， ∴对角线AC、BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形。 题型4：三角形的中位线 例1.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（　　） A． B．7 C． D．8 解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3， ∴△DEF∽△BMF， ∴， ∴BM＝，CM＝BC+BM＝． 故选：C． 跟踪训练： 1.在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（　　） A．9 B．12 C．14 D．16 解：如图，点D，E，F分别为各边的中点， ∴DE、EF、DF是△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝3，EF＝AB＝2，DF＝AC＝4， ∴△DEF的周长＝3+2+4＝9．故选：A． 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO， BO的中点。若AC+BD=24cm，△AOB的周长是18cm，则的长为　3cm 　。 第1题图 第2题图 3.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点。求证：∠PMN=∠PNM。 证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点， ∴PM是△DBC的中位线， ∴PM=BC ∴PN是△ABD的中位线， ∴PN=AD。 ∵AD=BC， ∴PN = PM。 ∴△PMN是等腰三角形， ∴∠PMN = ∠PNM。 题型5：矩形的性质和判定 例1.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交 于点F，连接DF，∠ACF＝90°。 （1）求证：四边形ACFD是矩形。 （2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积。 解:（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE， ∵E为线段CD的中点， ∴DE＝CE， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵∠ACF＝90°， ∴四边形ACFD是矩形； （2）解：∵四边形ACFD是矩形， ∴∠CFD＝90°，AC＝DF， ∵CD＝13，CF＝5， ∴DF＝＝＝12， ∵△ADE≌△FCE， ∵△CEF的面积＝△ACF的面积＝5×12＝15， 平行四边形ABCD的面积＝BC•AC＝5×12＝60， ∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45． 跟踪训练： 1.如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　　） A． B．3 C． D． 解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O． ∵线段MN垂直平分BD，∴BO＝DO，BM＝DM． ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠MDO＝∠NBO． 又∠DOM＝∠BON，∴△DMO≌△BNO（ASA）．∴DM＝BN＝BM＝2． 在Rt△BAM中，∴AB＝． ∴在Rt△BAD中可得，BD＝．故选：A． 2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（　　） A． B． C． D． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∵∠AOB＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠BAO＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴BC＝AB， ∴，故选：D． 3.如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，则∠ABE的正切值为（　　） A． B． C． D． 解：∵BE＝BC，DE＝CD，BD＝BD，∴△CBD≌△EBD（SSS），∴∠CBD＝∠EBD， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠EBD，∴OB＝OD， 设AO＝x，则OD＝8﹣x，∴OB＝8﹣x，由勾股定理得：AB2+AO2＝OB2， ∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴tan∠ABE＝＝．故选：C． 4.如图，AD和BC交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E、F分别是AO、DO 的中点． （1）求证：OE＝OF； （2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形． 证明：（1）∵∠ABO＝∠DCO＝90°， ∴AB∥CD，∴∠A＝∠D， 在△AOB与△DOC中，， ∴△AOB≌△DOC（AAS），∴AO＝DO， ∵点E、F分别是AO、DO的中点， ∴，∴OE＝OF； （2）∵OB＝OC，OE＝OF， ∴四边形BECF是平行四边形， ∵∠A＝30°，∴， ∵OE＝OF，∴， ∴∠EBF＝90°， ∴四边形BECF是矩形． 5.如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 解:（1）证明：∵点D是AB的中点， ∴AD＝AB， ∵点E是AC的中点，点F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，EF＝AB， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分； （2）解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形， 理由：∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵AF＝BC， ∴AF＝DE， 由（1）得：四边形ADFE是平行四边形， ∴四边形ADFE为矩形． 题型6：菱形的性质和判定 例1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结 CE． （1）求证：四边形AECD为菱形； （2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积． 解：（1）证明：∵E为AB中点， ∴AB＝2AE＝2BE， ∵AB＝2CD， ∴CD＝AE， 又∵AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠EAC， ∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠CAB， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴平行四边形AECD是菱形； （2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°， ∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC， ∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°， ∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形， ∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝BC＝， ∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×＝． 跟踪训练： 1.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　） A． B．1 C． D． 解：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°， ∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°，∴OB＝AB＝， ∴OA＝， ∴AC＝2OA＝，故选：D． 2.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是（　） A． B． C． D． 解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， ∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF． ∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF． 又∵AE＝AF．∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ，在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABC＝60°，AE＝3cm， ∴AB＝（cm），∴BC＝cm， ∴四边形ABCD的面积＝AE•BC＝cm2．故选：D． 3.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（　　） A．2 B． C．3 D．4 解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD， ∵AC＝6，BD＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴CB＝， ∵E为边BC的中点，∴OE＝BC＝．故选：B． 4.如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB 的延长线于点G。 （1）求证：DE=BF。 （2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠DAE=∠BCF。 ∵E、F分别为AB、CD的中点， ∴AE=AB，CF=CD，∴AE=CF。 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（SAS）,∴DE=BF。 （2）证明：∵E为AB中点，AD=BD,∴DE⊥AB。 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD， ∵E、F分别为AB、CD的中点， ∴EB=AB，DF=CD，∴EB=DF，且EB∥DF， ∴四边形DEBF是平行四边形。 又∵DE⊥AB， ∴平行四边形DEBF是菱形。 5.如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，分别交对角线AC于点M，N，连接MD， BN。 （1）求证：∠DMN＝∠BNM。 （2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形。 解：（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵BM∥DN， ∴∠MBO＝∠NDO， 又∠BOM＝∠DON， ∴△BOM≌△DON（ASA）， ∴BM＝DN， ∴四边形BMDN为平行四边形， ∴BN∥DM， ∴∠DMN＝∠BNM； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠BCA＝∠DAC， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴MN⊥BD， ∴平行四边形BMDN是菱形． 6.如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的 延长线于点F。 （1）求证：AD＝CF。 （2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论。 解：（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CF； （2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下： 由（1）知，AD＝CF， ∵AD∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC⊥BC， ∴△ABC是直角三角形， ∵点D是AB的中点， ∴CD＝AB＝AD， ∴四边形ADCF是菱形． 题型7：正方形的性质和判定 例2.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF，OE＝OA． 求证：四边形AECF是正方形． 解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形； ∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC， ∴平行四边形AECF是矩形，即∠AEC＝90°， ∴菱形AECF是正方形． 跟踪训练： 1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一 点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　　） A．80° B．90° C．105° D．115° 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°， ∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°， ∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF， ∵OA＝OD，∴AE＝DF，在△AEF和△DFE中， AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，∴△AEF≌△DFE（SAS）， ∴∠CAF＝∠FDE＝15°， ∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°， ∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°． 故选：C． 2.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等 c．一组邻边相等 d．一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是（　　） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确； ②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确； ③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故选：C． 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝5，则BG的长为 　　． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC， ∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠CBF+∠ABG＝90°，∴∠BAE+∠ABG＝90°， ∴∠BGE＝90°，∴∠BGE＝∠C， 又∵∠EBG＝∠FBC，∴△EBG∽△FBC，∴， ∵BC＝AB＝12，CF＝BE＝5，∴BF＝， ∴，∴BG=．故答案为：． 专题练习-基础过关 1.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　） A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度减小 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变 解：向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意； 此时对角线BD减小，对角线AC增大，B不合题意． BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意， 四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意．故选：C． 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，∴∠CDP＝∠APD， ∵DP平分∠ADC，∴∠CDP＝∠ADP，∴∠ADP＝∠APD，∴AP＝AD＝4， ∵CD＝6，∴AB＝6，∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2， ∵E是PD的中点，O是BD的中点，∴EO是△DPB的中位线， ∴EO＝PB＝1，故选：A． 3.如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．60° C．70° D．80° 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴∠DCA＝∠1＝20°， ∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°，故选：C． 4.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（　　） A．2mm B．mm C．mm D．4mm 解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如图所示， ∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm， ∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm， ∴AF约为4mm， 故选：D． 5.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、 H，则四边形EFGH的周长为（　　） A． B． C． D． 解：连接AC、BD交于O， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4， ∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，BO＝OD＝， ∴BD＝， ∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点， ∴EF＝GH＝AC＝2，FG＝EH＝BD＝， ∴四边形EFGH的周长为：2+2++＝4+． 故选：C． 6.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（　　） A． B． C．2 D． 解：连接DG，EF， ∵点E，F分别是AB，CD的中点， ∴四边形AEFD是矩形，∴M是ED的中点， 在正方形ABCD中，BG＝3，CG＝1， ∴BC＝DC＝4， 在Rt△DGC中，由勾股定理得， DG＝， 在三角形EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点， ∴MN是三角形EDG的中位线，∴MN＝DG＝．故选：B． 7.若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为　800°　． 解：由题意可得七边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝900°，∵该七边形的一个内角为100°，∴其余六个内角之和为900°﹣100°＝800°，故答案为：800°． 8.如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为　6　． 解：多边形的边数是：360°÷60°＝6，∴这个多边形的边数是6．故答案为：6． 9.如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为　10　． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB， ∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO， ∵O为BD的中点，∴OD＝OB， ∴△DOF≌△BOE（AAS），∴DF＝BE， ∴CD﹣DF＝AB﹣BE，∴CF＝AE＝10．故答案为：10． 10.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝　2　． 解：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC，DC＝AB． ∴∠DEA＝∠EAB， ∵∠DAB的平分线AE交DC于点E，∴∠EAB＝∠DAE， ∴∠DEA＝∠DAE，∴AD＝DE， ∵AD＝3，AB＝5，∴EC＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，故答案为：2． 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件　AB＝AD（答案不唯一）　，使得矩形ABCD为正方形． 解：AB＝AD． 理由：∵四边形ABCD是矩形， 又∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 或∵四边形ABCD是矩形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 12.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC．则图中阴影部分的面积是　2　． 解：过点E作EF⊥BC于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝2，AD∥BC， ∴EF＝AB＝2， ∴. ∵. ∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△BCE＝4﹣2＝2， 故答案为：2． 13.如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形． （1）你添加的条件是　①（或②）　（填序号）； （2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形． 解：（1）①当∠1＝∠2时，▱ABCD为矩形； ②当AM＝DM时，▱ABCD为矩形， 故答案为：①（或②）； （2）选择①∠1＝∠2， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠A+∠D＝180°， 在△ABM和DCM中， ∴△ABM≌DCM（SAS）， ∴∠A＝∠D， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴▱ABCD为矩形． 14.已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC， ∵点O为对角线AC的中点， ∴AO＝CO， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF， ∴DE＝BF． 15.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF． 求证：（1）AE＝CF； （2）BE∥DF． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△ADF与△CBE中， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF，∴AE＝CF； （2）∵△ADF≌△CBE， ∴∠AFD＝∠CEB，∴BE∥DF． 16.如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：AD＝AF； （2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AB∥CD， ∴∠CDE＝∠F， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠F＝∠ADF， ∴AD＝AF， （2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3， ∴BF＝AF﹣AB＝3； 过D作DH⊥AF交FA的延长线于H， ∵∠BAD＝120°， ∴∠DAH＝60°， ∴∠ADH＝30°， ∴AH＝AD=3， ∴， ∴． 17.如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF． （1）求证：AE∥BF； （2）若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形． 证明：（1）∵AD＝BC， ∴AD+CD＝BC+CD， ∴AC＝BD， ∵AE＝BF，CE＝DF， ∴△AEC≌△BFD（SSS）， ∴∠A＝∠B， ∴AE∥BF； （2）∵△AEC≌△BFD（SSS）， ∴∠ECA＝∠FDB， ∴EC∥DF， ∵EC＝DF， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵DF＝FC， ∴四边形DECF是菱形． 18.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADF＝∠CBE， 在△ADF和△CBE中， ∴△ADF≌△CBE（SAS）； （2）由（1）知：△ADF≌△CBE， ∴AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，∴∠AFE＝∠FEC， ∴AF∥EC，又∵AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形． 19.将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图叠放． （1）判断四边形AGCH的形状，并说明理由； （2）求四边形AGCH的面积． 【解答】解：（1）四边形AGCH是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形， ∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE， ∴四边形AGCH是平行四边形， ∵S平行四边形AGCH＝GC•AB＝AG•CF，AB＝CF， ∴GC＝AG， ∴平行四边形AGCH是菱形； （2）由①可知，GC＝AG， 设GC＝AG＝x，则BG＝8﹣x， 在Rt△ABG中，AB＝4， 由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5，∴GC＝5，∴S菱形AGCH＝GC•AB＝5×4＝20． 20.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 解：（1）四边形BPCO为平行四边形． 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD， ∵以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P， ∴OB＝CP，BP＝OC，∴四边形BPCO为平行四边形； （2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形． ∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°， ∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，∴OB＝OC， ∵四边形BPCO为平行四边形，∴四边形BPCO为正方形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $