2025年九年级中考数学 复习专题14 三角形 讲义

专题14 三角形的核心知识点精讲 考点1、三角形及其有关的概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 边：组成三角形的线段叫作三角形的边。 顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。 内角：相邻两边组成角叫作三角形的内角。 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角。 2.三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，如图，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 3.三角形的分类： （1）按角分类：。 （2）按边分类： 。 4.三角形的角平分线、中线、高 （1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与 这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三 角形的角平分线。如图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD，∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC。 拓展：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫作三角形的内心。 （2）三角形的中线：连接三角形的一个顶点与它的对边中点的线段叫三角形的中线。 如图，AD是ΔABC的BC边上的中线，则BD＝CD＝BC。 拓展：①三角形三条中线全在三角形内部。 ②三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形， 三角形的三条中线将三角形分成6个面积相等的两个三角形。 ③三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点叫作三角形的重心，重心是中线的一个三等分点。 5.三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 （2）三角形的高的位置与交点 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 三条高的位置 三条高都在三角形内部 有两条高与直角边 重合，第三条高在 三角形内部 有两条高在三角形 外部，第三条高在 三角形内部 三条高的交点 三条高交于三角形的 内部一点 三条高交于三角形的 直角顶点 三条高没有交点，但 三条高所在的直线交于三角形外一点 拓展：三角形的三条高所在直线交于一点，交点叫作三角形的垂心。 6.三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边。推论：三角形任意两边的差小于第三边。 拓展：在具体应用三角形的三边关系时，只要两条边长短的长度之和大于第三边的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形。 7.三角形内角和定理 （1）三角形的内角和：三角形三个内角的和等于180°。 拓展：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角。 ②一个三角形中至少有一个角不小于60°。 ③直角三角形两个锐角互余。 ④等边三角形三个内角都是60°。 （2）三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 ③三角形的外角和是360°。 8.三角形的稳定性：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理。 考点2、等腰三角形 1.线段的垂直平分线 （1）定义：垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （4）①三角形三边垂直平分线相较于一点，这个点到三个顶点的距离相等。 ②三角形三边垂直平分线的交点叫作三角形的外心。 2.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形是等腰三角形， 相等的两条边叫作腰，剩余的一条边叫作底边，两腰 的夹角叫作顶角，底边与腰的夹角叫作底角。 （2）等腰三角形的性质定理 ①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。 ②等腰三角形的顶角角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）。 （3）等腰三角形的对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴。 （4）等腰三角形的判定：如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。（这两个相等的角所对的边也相等，简称“等角对等边”）。 （5）等边三角形及其性质 ①定义：三边都相等的三角形叫等边三角形，又称正三角形。 ②性质：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 拓展：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质。 等边三角形是轴对称图形，它又三条对称轴。 等边三角形的内心、外心、重心和垂心四心重合。 （6）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 考点3、全等三角形 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （1）全等三角形的形状相同，大小相同。 （2）两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。 （3）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 拓展：全等三角形对应边上的高、对应角的角平分线、对应边上的中线分别相等。全等三角形的周长相等，面积相等。 （4）表示方法：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. （5）全等三角形的判定 ①全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）。如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△。 ②全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. ③全等三角形判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△。 ④全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 ⑤“斜边、直角边”判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 考点4、直角三角形 1.直角三角形的性质定理 （1）直角三角形的两个锐角互余，如图1所示，在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 反之，有两个角互余的三角形是直角三角形。 图1 图2 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，则。 （3）①在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②在直角三角形中，如果它的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 ③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （4）勾股定理 ①定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 （a、b为直角边，c为斜边）。 ②勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长为a、b、c，满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 2.角平分线的性质 ①角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边距离相等。 ②角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 题型1：三角形的三边关系 例1.以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（　　） A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8 跟踪训练： 1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 2.若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 3.在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（　　） A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm 题型2：三角形内角和定理及推论 例1.一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　） A．80° B．95° C．100° D．110° 跟踪训练： 1.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 　 　三角形． 2.如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝　°． 第2题图 第3题图 3.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 题型3：三角形中的重要线段 例1.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是　 　度． 跟踪训练： 1.如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1． S△ADG＝16．则S△CEG的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC＝　 　． 3.如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 　 　． 题型4：等腰三角形的性质和判定 例1.如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于 点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC ＝6，则△ABD的周长为（　　） A．25 B．22 C．19 D．18 跟踪训练： 1.若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　） A．70° B．45° C．35° D．50° 2.△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 3.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E． （1）求证：∠EBD＝∠EDB． （2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由． 题型5：等边三角形的性质和判定 例1.如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的 延长线于点E，则∠DEC＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 跟踪训练： 1.如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（　） A．80° B．70° C．60° D．50° 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC 的面积之和为（　　） A． B． C． D． 3.如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM ⊥ON，则OC的最大值是 　 　． 题型6：线段的垂直平分线 例1.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线． 若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 　． 跟踪训练： 1.如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为　 　度． 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB ＝4，则DC的长是 　 　． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 　 　． 题型7：三角形全等 例1.如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E． 例2.如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD． 例3.如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 例4.如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE． （1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF． 你选取的条件为（填写序号） 　 　（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 　 　（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； （2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 跟踪训练： 1.已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E． 2.如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD． 3.如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD． 4.如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD． 5.如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB． 6.如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2． 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延长 线于点E．求证：CE＝AB． 题型8：直角三角形的性质与判定 例1.如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 跟踪训练： 1.如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 第1题图 第2题图 2.5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许 多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为1 2m，则底边上的高是（　　） A．4m B．6m C．10m D．12m 题型2：勾股定理及逆定理 例1.《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、 广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译 文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高 长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答： 门高、宽和对角线的长分别是 　 　尺． 跟踪训练： 1.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 第1题图 第2题图 2.一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为　 　km． 3.清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　 　． 第3题图 第4题图 4.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有 一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处， 则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 　 　cm．（杯壁厚度不计） 题型3：勾股定理与弦图、拼图 例1.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国 古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明 勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　 　个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示） ①a2+b2+c2+d2＝　 　； ②b与c的关系为　　 ，a与d的关系为　 　． 跟踪训练： 1.中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如 图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直 角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（　　） A．2 B． C． D． 第1题图 第2题图 2.我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝　 　． 专题练习-基础过关 1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9 2.请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（　　） A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm 3．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　） A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 4．一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝　 　． 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 ． 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（　　） A．6 B．3 C．1.5 D．1 7.如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上 的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一 刀，则剪下的△DEF的周长是　 　． 8.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝　 　． 第8题图 第9题图 9.一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则 BC的长为（　　） A． B． C．2 D．4 第10题图 第11题图 11.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方 形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案， 使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 12.如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（　　） A． B．2 C． D．3 第12题图 第13题图 13.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC＝　 　． 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝ ． 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点 A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 ． 16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC 的角平分线，则AD＝　 　． 17.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”， 它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b， 斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为　 　． 第17题图 第18题图 第19题图 18.如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（　　） A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD 19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件 　 　，使△AOB≌△COD． 20.如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F 依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5 则CF的长为　 　． 21.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， 点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于 点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若 BE＝4，CF＝1，则EF的长度为　 　． 22.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°． （1）求证：AB＝BD； （2）若AE＝3，求△ABC的面积． 23.已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝ BC． 24.如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC． 25.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小． 26.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角 边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 三角形的核心知识点精讲 考点1、三角形及其有关的概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 边：组成三角形的线段叫作三角形的边。 顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。 内角：相邻两边组成角叫作三角形的内角。 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角。 2.三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，如图，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 3.三角形的分类： （1）按角分类：。 （2）按边分类： 。 4.三角形的角平分线、中线、高 （1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与 这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三 角形的角平分线。如图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD，∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC。 拓展：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫作三角形的内心。 （2）三角形的中线：连接三角形的一个顶点与它的对边中点的线段叫三角形的中线。 如图，AD是ΔABC的BC边上的中线，则BD＝CD＝BC。 拓展：①三角形三条中线全在三角形内部。 ②三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形， 三角形的三条中线将三角形分成6个面积相等的两个三角形。 ③三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点叫作三角形的重心，重心是中线的一个三等分点。 5.三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 （2）三角形的高的位置与交点 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 三条高的位置 三条高都在三角形内部 有两条高与直角边 重合，第三条高在 三角形内部 有两条高在三角形 外部，第三条高在 三角形内部 三条高的交点 三条高交于三角形的 内部一点 三条高交于三角形的 直角顶点 三条高没有交点，但 三条高所在的直线交于三角形外一点 拓展：三角形的三条高所在直线交于一点，交点叫作三角形的垂心。 6.三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边。推论：三角形任意两边的差小于第三边。 拓展：在具体应用三角形的三边关系时，只要两条边长短的长度之和大于第三边的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形。 7.三角形内角和定理 （1）三角形的内角和：三角形三个内角的和等于180°。 拓展：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角。 ②一个三角形中至少有一个角不小于60°。 ③直角三角形两个锐角互余。 ④等边三角形三个内角都是60°。 （2）三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 ③三角形的外角和是360°。 8.三角形的稳定性：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理。 考点2、等腰三角形 1.线段的垂直平分线 （1）定义：垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （4）①三角形三边垂直平分线相较于一点，这个点到三个顶点的距离相等。 ②三角形三边垂直平分线的交点叫作三角形的外心。 2.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形是等腰三角形， 相等的两条边叫作腰，剩余的一条边叫作底边，两腰 的夹角叫作顶角，底边与腰的夹角叫作底角。 （2）等腰三角形的性质定理 ①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。 ②等腰三角形的顶角角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）。 （3）等腰三角形的对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴。 （4）等腰三角形的判定：如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。（这两个相等的角所对的边也相等，简称“等角对等边”）。 （5）等边三角形及其性质 ①定义：三边都相等的三角形叫等边三角形，又称正三角形。 ②性质：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 拓展：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质。 等边三角形是轴对称图形，它又三条对称轴。 等边三角形的内心、外心、重心和垂心四心重合。 （6）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 考点3、全等三角形 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （1）全等三角形的形状相同，大小相同。 （2）两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。 （3）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 拓展：全等三角形对应边上的高、对应角的角平分线、对应边上的中线分别相等。全等三角形的周长相等，面积相等。 （4）表示方法：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. （5）全等三角形的判定 ①全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）。如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△。 ②全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. ③全等三角形判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△。 ④全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 ⑤“斜边、直角边”判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 考点4、直角三角形 1.直角三角形的性质定理 （1）直角三角形的两个锐角互余，如图1所示，在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 反之，有两个角互余的三角形是直角三角形。 图1 图2 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，则。 （3）①在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②在直角三角形中，如果它的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 ③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （4）勾股定理 ①定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 （a、b为直角边，c为斜边）。 ②勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长为a、b、c，满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 2.角平分线的性质 ①角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边距离相等。 ②角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 题型1：三角形的三边关系 例1.以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（　　） A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8 解：∵2+2＝4，∴A不能构成三角形； ∵1+2＝3，∴B不能构成三角形； ∵3+4＞5，4﹣3＜5，∴C能构成三角形； ∵3+4＜8，∴D不能构成三角形．故答案为：C． 跟踪训练： 1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 解：∵1+3＝4，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意； ∵2+2＜7，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意； ∵4+5＞7，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意； ∵3+3＝6，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，故选：C． 2.若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 解：根据三角形的三边关系定理得：4﹣3＜m＜4+3，解得：1＜m＜7， 即符合的只有5，故选：B． 3.在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（　　） A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm 解：设第三条线段长为x cm，由题意得： 8﹣6＜x＜8+6， 解得：2＜x＜14， 只有13cm适合， 故选：C． 题型2：三角形内角和定理及推论 例1.一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　） A．80° B．95° C．100° D．110° 解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°， ∴∠4＝∠3＝35°， ∴∠2＝∠4+∠5＝95°， 故选：B． 跟踪训练： 1.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 　直角　三角形． 解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°， 根据题意得：x+2x+3x＝180，解得：x＝30，∴3x°＝3×30°＝90°，∴这个三角形是直角三角形．故答案为：直角． 2.如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝　 55°． 解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°， ∴∠B＝180°﹣120°＝60°， ∵FG∥AC，∠DFG＝115°，∴∠A＝180°﹣115°＝65°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，故答案为：55． 3.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 解：如图，∵∠2＝90°﹣30°＝60°， ∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∵a∥b，∴∠1＝∠3＝75°，故选：B． 题型3：三角形中的重要线段 例1.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 　80 或40　度． 解：当△ABC为锐角三角形时，如图， ∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°； 当△ABC为钝角三角形时，如图， ∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°． 综上所述，∠BAC＝80°或40°． 故答案为：80或40． 跟踪训练： 1.如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1． S△ADG＝16．则S△CEG的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 解：由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，∴△ADG∽△CEG， ∵BC：EC＝3：1，∴BE：EC＝2：1，∴AD：EC＝2：1， ∴，∵S△ADG＝16，∴S△CEG＝4，故选：B． 2.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC＝　10°　． 解：∵∠C＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°， ∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE， ∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°， 故答案为：10°． 3.如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 　9　． 解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD， ∵△ACD的周长为8，∴AC+CD+AD＝8， ∵AC＝3，∴BD+AD＝5， ∵AB＝4，∴AB+BD+AD＝9．故答案为：9． 题型4：等腰三角形的性质和判定 例1.如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于 点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC ＝6，则△ABD的周长为（　　） A．25 B．22 C．19 D．18 解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC， ∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC， ∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C． 跟踪训练： 1.若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　） A．70° B．45° C．35° D．50° 解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°，故选：C． 2.△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 解：由题意得，解得 ， ∵a2+b2＝c2，且a＝b，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：D． 3.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E． （1）求证：∠EBD＝∠EDB． （2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由． 解：（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB． （2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC， ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE， 由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED． 题型5：等边三角形的性质和判定 例1.如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的 延长线于点E，则∠DEC＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°， ∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABC＝30°， ∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C 跟踪训练： 1.如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（　） A．80° B．70° C．60° D．50° 解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°， ∵∠A+∠3+∠2＝180°， ∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°， ∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A． 2.如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC 的面积之和为（　　） A． B． C． D． 解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD， ∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形， ∴OD＝OB＝1， ∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4， ∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°， ∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝， 故选：C． 3.如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM ⊥ON，则OC的最大值是 　1+　． 解：取AB中点D，连OD，DC， ∴OC≤OD+DC， 当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD， ∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2， ∴CD＝， ∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD＝AB＝1， ∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．故答案为：1+． 题型6：线段的垂直平分线 例1.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 　13　． 解：∵DE是BC的垂直平分线． ∴BD＝CD， ∴AC＝AD+CD＝AD+BD， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案为：13． 跟踪训练： 1.如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为　55　度． 解：∵AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形， ∵分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．∴AE垂直平分BC，∴AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝55°． 故答案为：55． 2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 　4　． 解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4， ∵DE是AC的垂直平分线，∴DC＝AD＝4， 故答案为：4． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于 点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 　40°　． 解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC， ∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°， ∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°， ∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°． 题型7：三角形全等 例1.如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E． 证明：∵B是AD的中点，∴AB＝BD， ∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠D， 在△ABC和△BDE中，， ∴△ABC≌△BDE（SAS），∴∠C＝∠E． 例2.如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD． 证明：∵∠AOD＝∠COB， ∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD， 即∠AOB＝∠COD． 在△AOB 和△COD中，， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB＝CD． 例3.如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 解：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△ABE和△ACD中，， ∴△ABE≌△ACD（AAS）； （2）解：∵△ABE≌△ACD， ∴AD＝AE＝6， 在Rt△ACD中，AC＝， ∵AB＝AC＝10， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4． 例4.如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE． （1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF． 你选取的条件为（填写序号） 　①　（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 　SSS　（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； （2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 解：（1）在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF， 选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS． 故答案为：①，SSS；（答案不唯一）． （2）证明：∵△ABC≌△DEF． ∴∠A＝∠EDF， ∴AB∥DE 跟踪训练： 1.已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E． 证明：∵AD＝CF， ∴AD+CD＝CF+CD， ∴AC＝DF． 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠B＝∠E 2.如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD． 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． 3.如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD． 证明：∵∠ACF+∠AED＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝∠AED， 在△ABC和△ADE中，， ∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AB＝AD． 4.如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD． 证明：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D， 在△AOC和△BOD中，， ∴△AOC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD． 5.如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB． 证明：∵BD∥CE，∴∠ABD＝∠C， 在△ABD和△ECB中，， ∴△ABD≌△ECB（SAS），∴AD＝EB 6.如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2． 证明：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SSS）， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠1＝∠2． 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．求证：CE＝AB． 证明：∵DC⊥AC于点C， ∴∠ACB+∠DCB＝90° ∵∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠A＝90° ∴∠A＝∠DCE ∵DE⊥BC于点E，∴∠E＝90°∴∠B＝∠E． 在△ABC和△CED中，， ∴△ABC≌△CED（AAS）．∴AB＝CE． 题型8：直角三角形的性质与判定 例1.如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 解：∵AC∥EF，∠C＝30°， ∴∠C＝∠CBF＝30°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°， 故选：C． 跟踪训练： 1.如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°， 则∠CED＝90°﹣40°＝50°， ∵l∥AB， ∴∠1＝∠CED＝50°， 故选：C． 2.5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（　　） A．4m B．6m C．10m D．12m 解：如图，作AD⊥BC于点D， 在△ABC中，∠BAC＝120°， AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°， 又∵AD⊥BC， ∴AD＝AB＝×12＝6（m）， 故选：B 题型9：勾股定理及逆定理 例1.《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、 广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译 文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高 长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答： 门高、宽和对角线的长分别是　8，6，10　尺． 解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺， 根据勾股定理可得： x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2， 即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4， 解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10， 10﹣2＝8（尺）， 10﹣4＝6（尺）． 答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺． 跟踪训练： 1.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的 半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接A D．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 解：由题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C， ∵BD＝CD，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°， ∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10， ∴AB＝=6，故选：D． 2.一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40k m至C港，则A，C两港之间的距离为 　50　km． 解：如图： 由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF， ∴∠DAB＝∠ABE＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km， AC＝（km），∴A，C两港之间的距离为50km， 故答案为：50 3.清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　1　． 解：∵，AB＝7，BC＝6，AC＝5， ∴BD＝（6+ ）＝5，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1， 故答案为：1． 4.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有 一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处， 则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为　10　cm．（杯壁厚度不计） 解：如图：将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′， 连接B′A，则B′A即为最短距离， B′A＝＝10（cm）．故答案为：10． 题型3：勾股定理与弦图、拼图 例1.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国 古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明 勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　3　个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示） ①a2+b2+c2+d2＝　m2　； ②b与c的关系为　b＝c　，a与d的关系为　a+d＝m　． 【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2． （2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3； ②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝， ∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3． （3）①a2+b2+c2+d2＝m2； ②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．故答案为：m2；b＝c，a+d＝m． 跟踪训练： 1.中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如 图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直 角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（　　） A．2 B． C． D． 解：由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5， 设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， 则a2+b2＝5，a﹣b＝1， 解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴tanα＝＝＝2，故选：A． 2.我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝　3　． 【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1， 根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1， 在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52， 解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3． 专题练习-基础过关 1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9 解：A、∵3+3＝6，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B、∵3+5＜10，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； C、∵4+6＞9，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； D、∵4+5＝9，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； 故选：C． 2.请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（　　） A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm 解：过点A作AD⊥BC于D， 用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm， 故选：D． 3．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　） A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意； B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意； C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意； D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则 ∠DFC＝　100°　． 解：如图， 由题意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°， ∵∠EAB＝35°， ∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°， ∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°， ∴∠CGF＝∠AGD＝50°， ∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°． 故答案为：100°． 5.如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 2　． 解：∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线， ∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面积是1， ∴S△ACD＝2S△AEC＝2， ∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝2． 故答案为：2． 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（　　） A．6 B．3 C．1.5 D．1 解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线， 设AC与MN的交点为E，∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC， ∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，∴ED∥CB， ∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AD＝AB，∴点D为AB的中点， ∵AB＝3，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1.5，故选：C． 7.如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿 着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　6　． 解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点， ∴EF＝2， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°， 又∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°， ∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6． 8.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC＝　10°　． 解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°， ∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE， ∴∠EBA＝∠A＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°． 9.一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 解：由图可得， ∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm）， 点D为线段AB的中点，∴CD＝AB＝3cm， 故选：B． 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（　　） A． B． C．2 D．4 解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2， ∴AC＝2BD＝4， ∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2， 故选：C． 11.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方 形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案， 使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形； 当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是； ∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B． 12.如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（　　） A． B．2 C． D．3 解：需要爬行的最短路程即为线段AB的长，如图： ∵正方体棱长为1，∴BC＝1，AC＝2， ∴AB＝， ∴需要爬行的最短路程为；故选：C． 13.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC＝　10°　． 解：∵∠C＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°， ∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE， ∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°． 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝5． 解：连接CM， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝， ∵点M是AB的中点，∴CM＝AB＝5．故答案为：5． 15.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 +1． 解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2）， ∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°， ∴AB＝， ∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AC＝AB＝， ∴OC＝AC+OA＝+1，∵交x轴正半轴于点C， ∴点C的坐标为（+1，0）．故答案为：+1． 16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC 的角平分线，则AD＝　5　． 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°，∴CD⊥BC， ∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB， ∴CD＝DE， 在Rt△BCD和Rt△BED中，， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BC＝BE＝6， 在Rt△ABC中，AB＝， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4， 设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2， ∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案为：5． 17.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 　96　． 解：由图可得，a2+b2＝c2， ∴且a、b均大于0，解得， ∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×16＝96，故答案为：96． 18.如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是 （　　） A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD 解：A、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意； B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意； C、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意； D、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意； 故选：B． 19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件 　OB＝OD（答案不唯一）　，使△AOB≌△COD． 解：添加的条件是OB＝OD， 理由是：在△AOB和△COD中， ，∴△AOB≌△COD（SAS），故答案为：OB＝OD（答案不唯一）． 20.如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5 则CF的长为 　3　． 解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF， 又BC＝8，∴EF＝8， ∵EC＝5，∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3． 故答案为：3． 21.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 　3　． 解：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠FAC＝90°， ∴∠FAC＝∠ABE， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴AF＝BE，AE＝CF， ∵BE＝4，CF＝1， ∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1， ∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3， 22.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°． （1）求证：AB＝BD； （2）若AE＝3，求△ABC的面积． 解：（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°， ∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD； （2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝， 在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝＝3， ∴BC＝3+， ∴S△ABC＝BC×AE＝． 23.已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝ BC． 证明：∵DE∥AC， ∴∠EDB＝∠C， 在△BDE和△ACB中，， ∴△BDE≌△ACB（AAS），∴DE＝BC． 24.如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC． 解：证明：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AC＝DC． 25.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小． 解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD， 在△BAC与△EAD中，， ∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°． 26.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长． （1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1， ∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠BAD＝22.5°， ∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD， ∴AC＝CD＝1， ∴BD＝﹣1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $