2025年中考数学一轮专题 专题13 图形初步认识、相交线与平行线 专题复习讲义

专题13 图形初步认识、相交线与平行线的核心知识点精讲 考点1、直线、射线、线段 1.直线 （1）特征：①无端点；②向两边无限延伸；③无长短；④无粗细。 （2）表示方法： ①可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)。 ②也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线l。 （3）基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 简单说成：两点确定一条直线。 直线的特征：①直线没有长短，向两方无限延伸。②直线没有粗细。③两点确定一条直线。④两条直线相交有唯一一个交点。 （4）点与直线的位置关系：①点在直线上；②点在直线外。 2.射线 （1）定义：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点，如图所示。 （2）特征：①一个端点；②有方向；③无长短；④无粗细。 （3）表示方法：①用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图所示的射线可表示为射线AB，注意表示端点的字母必须在前面。②用一个小写字母表示，如图，可记为射线l。 3.线段 （1）定义：直线上两个点和它们之间的部分叫作线段。这两个点叫作线段的端点。 （2）特征：①有两个端点；②无方向；③有长短；④无粗细。 （3）表示方法：①用表示端点的两个大写字母表示，如图所示，可表示为线段AB或线段BA（字母是无序的）。②用一个小写字母表示，如图所示，可表示为线段a。 （4）两点间的线段：①两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 它是线段的长度，是数量。 ②线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短，简述为两点之间，线段最短。 （5）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。如图所示，点C是线段AB的中点，则， 或AB＝2AC＝2BC。 （6）线段的等分点：如图所示，B,C是线段AD上的两点，它们把线段AD分成相等的三条线段AB,BC,CD，我们称B,C是线段AD的三等分点。类似的，含有线段的四等分点、五等分点等。 （7）尺规作图，“作一条线段等于已知线段”： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a。 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 考点2、角 1.角的定义： （1）角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB。 图1 图2 （2）角的动态定义：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部。如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边。 （3）角的类型 角的名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 角度的大小 （4）角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下三种： ①用三个大写字母表示任意一个角（顶点字母写在中间），如图3的角可表示为∠AOB。 ②用一个大写字母表示独立的角（必须用顶点字母），如图3的角可表示为∠O。 ③用数字或希腊字母表示角（在靠近角的顶点处画上弧线，并标上数字或希腊字母），如图4的角可表示为∠1，图5的角可表示为∠。 图3 图4 图5 （5）角的度量 ①角度制及其换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”。这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制，1°＝60′，1′＝60″。 ②角的和、差关系：如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和， 记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差， 记作：∠1＝∠AOB-∠2。 ③角平分线：从一个角的顶点出发，把这个 角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分 线。如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝ 2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB。 ④角的等分线：从角的顶点出发，把这个角分成三个相等的角的两条射线，叫作这个角的三等分线。类似的，还有角的四等分线、五等分线等。 考点3、余角和补角 1.余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。 性质：同角（等角）的余角相等。（若两角互余，则这两个角都是锐角） 2.补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 性质：同角（等角）的补角相等。（若两角互补，则这两个角要么都是直角，要么一个是钝角，一个是锐角） 当互补的两个角有一条公共边，且他们另一边互为反向延长线时，这两个角又称为邻补角。 考点4、相交线 1.对顶角：如图6所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角，对顶角相等。 图6 图7 2.三线八角：两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图7所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线EF的同一侧，直线AB、CD的同一方，这 样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线EF的两旁，直线AB、CD的两方，这样位 置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线EF的同一侧，直线AB、CD的两方，这 样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 3．垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 4.垂直平分线的性质 （1）定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （2）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 考点5、平行线 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，平行用符号“∥”表示。 2.基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（平行线的传递性） 3.平行线的判定 判定方法1：两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行。 判定方法2：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行。 判定方法3：两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行。 4.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补。 题型1 线与角概念和基本性质 例1.如图，点A在点B的北偏东40°方向，点C在点B的北偏东85°方向，A点在C处的 北偏西55°方向，则∠ACB的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 解：∵∠DBC＝85°，∠ECA＝55°，BD∥CE， ∴∠ECB＝180°﹣∠DBC＝180°﹣85°＝95°， ∴∠ACB＝∠ECB﹣∠ECA＝95°﹣55°＝40°； 故选：A． 例2.如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 解：设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝AC+BC＝2x+x＝3x，MB＝MC+BC＝2+x， ∵点M为AB的中点，∴AM＝MBAB，∴2+x3x，解得：x＝4， ∴AB＝3x＝12．故选：C． 跟踪训练： 1.已知∠β＝47°，则∠β的余角是（　　） A．53° B．133° C．43° D．103° 解：∵∠β＝47°，∴∠β的余角是：90°﹣∠β＝90°﹣47°＝43°．故选：C． 2.已知，如图，∠AOB＝120°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∠DOE＝（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 解：由条件可知，， ∵∠AOB＝120°，∴∠DOE＝∠DOC+COE ＝60°，故选：B． 3.如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 解：根据题意可得，从学校A到书店B有①、 ②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．故选：B． 4.已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 解：根据题意分两种情况，①如图1，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB﹣BC＝2， ∵D是线段AC的中点，∴AD＝＝； ②如图2，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB+BC＝6，∵D是线段AC的中点， ∴AD＝＝＝3．∴线段AD的长为1或3．故选：C． 5.如图，点C是线段AE的中点，点D在线段CE上，点B是线段AD的中点． （1）若AC＝3，DE＝2，求CD的长； （2）若BC＝3，CD：AD＝1：4，求AC的长． 解：（1）∵点C是线段AE的中点，AC＝3， ∴AC＝CEAE＝3，∴AE＝6， ∵DE＝2， ∴CD＝CE﹣DE＝1； （2）由于CD：AD＝1：4，设CD＝x，则AD＝4x， ∵点B是线段AD的中点， ∴AB＝BD＝2x， ∵BD﹣CD＝BC，即2x﹣x＝3，解得x＝3，即CD＝3＝BC， ∴AB＝BD＝6，∴AC＝AB+BC＝9． 6.如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°， ∴∠AOC∠AOB120°＝40°； （2）∵∠AOD∠AOB，∴∠AOD＝60°， 当OD在∠AOB内时， ∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°， 当OD在∠AOB外时， ∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°． 故∠COD的度数为20°或100°． 题型2：平行线的性质和判定 例1.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝48°，则∠2是（　　） A．48° B．96° C．132° D．142° 解：如图，∵a∥b，∠1＝48°， ∴∠1＝∠3＝48°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣48°＝132°．故选：C． 例2.如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝20°，则∠E的度数为（　　） A．20° B．25° C．35° D．45° 解：如图，∵AB∥CD，∴∠A＝∠DFE， ∵∠A＝45°，∴∠DFE＝45°， ∵∠DFE是△CEF的一个外角， ∴∠DFE＝∠C+∠E， ∵∠C＝20°，∴45°＝20°+∠E，∴∠E＝25°，故选：B． 例3.如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）判定AD与EF的位置关系，并说明理由； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 解：（1）AD∥EF，理由如下： ∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180° ∴AD∥EF； （2）∵∠2＝142°，∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣42°＝38°， ∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝38°， ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠CDG＝38°． 跟踪训练： 1.如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则 ∠ACB＝（　　） A．70° B．65° C．60° D．50° 解：∵DE∥AB，∠ABD＝50°， ∴∠D＝∠ABD＝50°， ∵∠DEF＝120°，且∠DEF是△DCE的外角， ∴∠DCE＝∠DEF﹣∠D＝70°， ∴∠ACB＝∠DCE＝70°．故选：A． 2.如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（　　） A．52° B．50° C．45° D．25° 解：∵AE∥CD，∠2＝35°， ∴∠1＝∠2＝35°， ∵AC平分∠BCD， ∴∠BCD＝2∠1＝70°， ∵∠D＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣70°＝50°，故选：B． 3.如图，直线l1∥l2，点A在l2上，AB⊥l3，垂足为B．若∠1＝138°，则∠2的度数为（　） A．32° B．38° C．42° D．48° 解：∵直线l1∥l2， ∴∠3＝∠1＝138°， ∵AB⊥l3， ∴∠ABC＝90°， ∵∠3＝∠2+∠ABC，∴∠2＝48°． 故选：D． 4.如图，∠BCD的平分线交∠ABC的平分线于点M，交AB于点N，若∠CMB＝90°． （1）求证：AB∥CD． （2）若∠1＝35°，求∠DCB的度数． 解：（1）证明：∵∠CMB＝90°，∴△BCM是直角三角形， ∴∠2+∠1＝90°， ∵∠BCD的平分线交∠ABC的平分线于点M，∴∠BCD＝2∠2，∠ABC＝2∠1， ∴∠BCD+∠ABC＝2（∠2+∠1）＝180°，∴AB∥CD； （2）解：∵∠1＝35°，∠2+∠1＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝55°， ∴∠DCB＝2∠2＝110°． 5.如图，AD⊥BE，BC⊥BE，AB∥CD，点C，D，E在同一条直线上． （1）判断AD，BC的位置关系，并说明理由． （2）若∠E＝28°，求∠ABC的度数． 解：（1）AD∥BC，理由如下： ∵AD⊥BE，BC⊥BE， ∴∠EFD＝90°，∠EBC＝90°， ∴∠EFD＝∠EBC， ∴AD∥BC； （2）∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠E＝28°， ∵BC⊥BE， ∴∠EBC＝90°，∴∠ABC＝∠EBC+∠ABE＝118°． 题型3：度、分、秒的计算 例1.74°19′30″＝　74.325　°． 解：30×（）′＝0.5′，19′+0.5′＝19.5′，19.5×（）°＝0.325°， 74°+0.325°＝74.325°． 例2.计算：90°﹣36°12'15″． 解：90°﹣36°12'15″＝89°59'60″﹣36°12′15″＝53°47′45″． 跟踪训练： 1.16°32′×3﹣33°5′28″． 2.23°53′×2﹣17°43′． 解：（1）16°32′×3﹣33°5′28″＝（16°+32′）×3﹣33°5′28″ ＝16°×3+32′×3﹣33°5′28''＝48°+96′﹣33°5′28'' ＝48°+1°+36′）﹣33°5′28''＝49°35′60''﹣33°5′28''＝16°30′32''． （2）23°53′×2﹣17°43′＝46°106′﹣17°43′＝29°63′＝30°3′． 专题练习-基础过关 1.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是（　　） A．B． C．D． 解：根据余角的定义，两角之和为90°，这两个角互余．D中∠1和∠2之和为90°，互为余角．故选：D． 2.下列叙述正确的是（　　） A．线段AB可表示为线段BA B．射线CD可表示为射线DC C．直线可以比较长短 D．射线可以比较长短 解：A．线段AB可表示为线段BA，故说法正确，符合题意； B．射线CD不可表示为射线DC，故说法错误，不合题意； C．直线不可以比较长短，故说法错误，不合题意； D．射线不可以比较长短，故说法错误，不合题意；故选：A． 3.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由 于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的 度数为（　　） A．32° B．58° C．68° D．78° 解：∵水面和杯底互相平行， ∴∠1+∠3＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°． ∵水中的两条光线平行， ∴∠2＝∠3＝58°． 故选：B． 4.如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠ABC＝∠1＝55°， ∵∠BAC＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝35°．故选：C． 5.如图，线段AB＝15cm，且C点在AB上，BCAC，D为BC的中点，则线段AD的长为 （　　） A．10cm B．13cm C．12cm D．9cm 解：∵BCAC，∴设BC＝2x，则AC＝3x，∵D为BC的中点，∴CD＝BD＝x， ∵线段AB＝15cm，∴AC+BC＝5x＝15，解得：x＝3（cm）， ∴AD＝3x+x＝4x＝12（cm）．故选：C． 6.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠AOB＝90°，则OB的方向角是（　　） A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60° 解：如图所示：∵OA是北偏东30°方向的一条射线，∠AOB＝90°， ∴∠1＝90°﹣30°＝60°，∴OB的方向角是北偏西60°．故选：B． 7.如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小为（　　） A．14° B．44° C．46° D．74° 解：如图，过点A作AB∥CD， 由条件可知AB∥EF，∴∠BAG＝∠2＝44°， ∴∠3＝14°，∴∠1＝∠3＝14°， 故选：A． 8.如图，直线AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点M，N，∠BMN的平分线MF交CD于点F，∠MNF＝40°，则∠DFM＝（　　） A．70° B．110° C．120° D．140° 解：∵AB∥CD，∴∠BMN+∠MNF＝180°，∠BMF+∠DFM＝180°， ∵∠MNF＝40°，∴∠BMN＝140°， ∵MF平分∠BMN，∴∠BMF＝70°， ∴∠DFM＝110°． 故选：B． 9.如图，直线a，b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　） A．50° B．120° C．130° D．140° 解：∵c⊥a，∴∠AOB＝90°， ∵∠1＝40°，∴∠AOC＝90°+40°＝130°， ∵∠2＝∠AOC，∴∠2＝130°． 故选：C． 10．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝60°，则∠2的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 解：在△DEF中，∠1＝60°，∠DEF＝90°，∴∠D＝180°﹣∠DEF﹣∠1＝30°． ∵AB∥CD，∴∠2＝∠D＝30°．故选：D． 11.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意． C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意． 故选：D． 12.将一把直尺和一块含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，若∠1＝33°，则∠2 为（　　） A．63° B．107° C．117° D．120° 解：∵EF∥GH，∴∠1＝∠DAB， ∵∠1＝33°， ∴∠DAB＝33°， ∵∠C＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣（∠C+∠DAB）＝117°， ∴∠2＝∠ADC＝117°，故选C． 13.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠AOC＝115°，则∠BOD＝　65°　． 解：∵∠AOC＝115°， ∴∠BOD＝∠COD+∠AOB﹣∠AOC＝90°+90°﹣115°＝65°． 故答案为：65°． 14.如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝　4　cm． 解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案为：4． 15.将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则∠CDF＝　105　度． 解：∵AB∥DE， ∴∠BDE＝∠B＝30°． ∴∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE ＝180°﹣45°﹣30°＝105°．故答案为：105． 16.如图，m∥n，AB⊥m，∠1＝43˚，则∠2＝　133　度． 解：过B作直线BD∥n，则BD∥m∥n， ∵AB⊥m，∠1＝43˚， ∴∠ABD＝90°，∠DBC＝∠1＝43° ∴∠2＝∠ADB+∠1＝90°+43°＝133°． 故填133． 17.如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点． （1）若AB＝16cm，CD＝6cm，求AC+BD的长和M，N的距离； （2）如果AB＝m，CD＝n，用含m，n的式子表示MN的长． 解：（1）∵AB＝16cm，CD＝6cm， ∴AC+BD＝AB﹣CD＝10cm， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝AB﹣（AC+BD）＝16﹣5＝11（cm）； （2）∵AB＝m，CD＝n， ∴AC+BD＝AB﹣CD＝m﹣n， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝AB﹣（AC+BD）＝m﹣（m﹣n）＝． 18.如图，直线AB、CD相交于点O，且OE⊥CD． （1）若OA平分∠COE，求∠BOD的度数． （2）若∠AOC：∠EOA＝3：2，求∠BOC的度数． 解：（1）∵OE⊥CD，OA平分∠COE， ∴∠COE＝90°， ∴， ∴∠BOD＝∠COA＝45°； （2）∵OE⊥CD， ∴∠COE＝90° ∵∠AOC：∠EOA＝3：2， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣54°＝126°． 19.已知点B在线段AC上，点D在线段AB上， （1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度； （2）如图2，若BDABCD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度． 解：（1）∵AC＝AB+BC，AB＝6cm，BC＝4cm ∴AC＝6+4＝10cm 又∵D为线段AC的中点 ∴DCAC10＝5cm ∴DB＝DC﹣BC＝5﹣4＝1cm （2）设BD＝xcm ∵BDABCD ∴AB＝4BD＝4xcm，CD＝3BD＝3xcm， 又∵DC＝DB+BC， ∴BC＝3x﹣x＝2x， 又∵AC＝AB+BC， ∴AC＝4x+2x＝6xcm， ∵E为线段AB的中点 ∴BEAB4x＝2xcm 又∵EC＝BE+BC， ∴EC＝2x+2x＝4xcm 又∵EC＝12cm ∴4x＝12， 解得：x＝3， ∴AC＝6x＝6×3＝18cm． 20.已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°． （1）求证：AB∥CD； （2）求∠C的度数． 解：（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC， ∴AE∥GF， ∴∠2＝∠A， ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴AB∥CD； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠D+∠CBD+∠3＝180°， ∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°， ∴∠3＝25°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠3＝25°． 21.如图，AD∥BE，C点在BE上，∠B＝∠D，AE交CD于点F． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠1＝∠2＝64°，∠BAC＝3∠EAC，求∠BAC和∠DCE的大小． 解：（1）证明：∵AD∥BE，∴∠D＝∠DCE， ∵∠B＝∠D，∴∠DCE＝∠B， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠2是△ACF的一个外角， ∴∠EAC＝∠2﹣∠ACD， ∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠2﹣∠BAC， ∵∠BAC＝3∠EAC， ∴∠BAC＝3（∠2﹣∠BAC），即∠BAC∠2， ∵∠2＝64°， ∴∠BAC＝48°， ∵∠ACD＝∠BAC＝48°，∠1＝64°， ∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠1＝180°﹣48°﹣64°＝68°． 22．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2． （1）求证：EF∥AD； （2）求证：∠BAC+∠AGD＝180°． 证明：（1）∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°， ∴∠EFB＝∠ADB， ∴EF∥AD； （2）∵EF∥AD， ∴∠1＝∠BAD， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠BAD， ∴DG∥BA， ∴∠BAC+∠AGD＝180°． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 图形初步认识、相交线与平行线的核心知识点精讲 考点1、直线、射线、线段 1.直线 （1）特征：①无端点；②向两边无限延伸；③无长短；④无粗细。 （2）表示方法： ①可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)。 ②也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线l。 （3）基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 简单说成：两点确定一条直线。 直线的特征：①直线没有长短，向两方无限延伸。②直线没有粗细。③两点确定一条直线。④两条直线相交有唯一一个交点。 （4）点与直线的位置关系：①点在直线上；②点在直线外。 2.射线 （1）定义：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点，如图所示。 （2）特征：①一个端点；②有方向；③无长短；④无粗细。 （3）表示方法：①用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图所示的射线可表示为射线AB，注意表示端点的字母必须在前面。②用一个小写字母表示，如图，可记为射线l。 3.线段 （1）定义：直线上两个点和它们之间的部分叫作线段。这两个点叫作线段的端点。 （2）特征：①有两个端点；②无方向；③有长短；④无粗细。 （3）表示方法：①用表示端点的两个大写字母表示，如图所示，可表示为线段AB或线段BA（字母是无序的）。②用一个小写字母表示，如图所示，可表示为线段a。 （4）两点间的线段：①两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 它是线段的长度，是数量。 ②线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短，简述为两点之间，线段最短。 （5）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。如图所示，点C是线段AB的中点，则， 或AB＝2AC＝2BC。 （6）线段的等分点：如图所示，B,C是线段AD上的两点，它们把线段AD分成相等的三条线段AB,BC,CD，我们称B,C是线段AD的三等分点。类似的，含有线段的四等分点、五等分点等。 （7）尺规作图，“作一条线段等于已知线段”： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a。 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 考点2、角 1.角的定义： （1）角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB。 图1 图2 （2）角的动态定义：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部。如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边。 （3）角的类型 角的名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 角度的大小 （4）角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下三种： ①用三个大写字母表示任意一个角（顶点字母写在中间），如图3的角可表示为∠AOB。 ②用一个大写字母表示独立的角（必须用顶点字母），如图3的角可表示为∠O。 ③用数字或希腊字母表示角（在靠近角的顶点处画上弧线，并标上数字或希腊字母），如图4的角可表示为∠1，图5的角可表示为∠。 图3 图4 图5 （5）角的度量 ①角度制及其换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”。这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制，1°＝60′，1′＝60″。 ②角的和、差关系：如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和， 记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差， 记作：∠1＝∠AOB-∠2。 ③角平分线：从一个角的顶点出发，把这个 角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分 线。如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝ 2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB。 ④角的等分线：从角的顶点出发，把这个角分成三个相等的角的两条射线，叫作这个角的三等分线。类似的，还有角的四等分线、五等分线等。 考点3、余角和补角 1.余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。 性质：同角（等角）的余角相等。（若两角互余，则这两个角都是锐角） 2.补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 性质：同角（等角）的补角相等。（若两角互补，则这两个角要么都是直角，要么一个是钝角，一个是锐角） 当互补的两个角有一条公共边，且他们另一边互为反向延长线时，这两个角又称为邻补角。 考点4、相交线 1.对顶角：如图6所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角，对顶角相等。 图6 图7 2.三线八角：两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图7所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线EF的同一侧，直线AB、CD的同一方，这 样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线EF的两旁，直线AB、CD的两方，这样位 置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线EF的同一侧，直线AB、CD的两方，这 样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 3．垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 4.垂直平分线的性质 （1）定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （2）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 考点5、平行线 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，平行用符号“∥”表示。 2.基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（平行线的传递性） 3.平行线的判定 判定方法1：两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行。 判定方法2：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行。 判定方法3：两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行。 4.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补。 题型1 线与角概念和基本性质 例1.如图，点A在点B的北偏东40°方向，点C在点B的北偏东85°方向，A点在C处的 北偏西55°方向，则∠ACB的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 例1图 例2图 例2.如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 跟踪训练： 1.已知∠β＝47°，则∠β的余角是（　　） A．53° B．133° C．43° D．103° 2.已知，如图，∠AOB＝120°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∠DOE＝（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 第2题图 第3题图 3.如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 4.已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段 AD的长为（　　） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 5.如图，点C是线段AE的中点，点D在线段CE上，点B是线段AD的中点． （1）若AC＝3，DE＝2，求CD的长； （2）若BC＝3，CD：AD＝1：4，求AC的长． 6.如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 题型2：平行线的性质和判定 例1.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝48°，则∠2是（　　） A．48° B．96° C．132° D．142° 例1图 例2图 例2.如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝20°，则∠E的度数为（　　） A．20° B．25° C．35° D．45° 例3.如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）判定AD与EF的位置关系，并说明理由； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 跟踪训练： 1.如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则 ∠ACB＝（　　） A．70° B．65° C．60° D．50° 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（　　） A．52° B．50° C．45° D．25° 3.如图，直线l1∥l2，点A在l2上，AB⊥l3，垂足为B．若∠1＝138°，则∠2的度数为（　） A．32° B．38° C．42° D．48° 4.如图，∠BCD的平分线交∠ABC的平分线于点M，交AB于点N，若∠CMB＝90°． （1）求证：AB∥CD． （2）若∠1＝35°，求∠DCB的度数． 5.如图，AD⊥BE，BC⊥BE，AB∥CD，点C，D，E在同一条直线上． （1）判断AD，BC的位置关系，并说明理由． （2）若∠E＝28°，求∠ABC的度数． 题型3：度、分、秒的计算 例1.74°19′30″＝　 　°． 例2.计算：90°﹣36°12'15″． 跟踪训练： 1.16°32′×3﹣33°5′28″． 2.23°53′×2﹣17°43′． 专题练习-基础过关 1.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是（　　） A．B． C．D． 2.下列叙述正确的是（　　） A．线段AB可表示为线段BA B．射线CD可表示为射线DC C．直线可以比较长短 D．射线可以比较长短 3.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由 于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的 度数为（　　） A．32° B．58° C．68° D．78° 4.如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，线段AB＝15cm，且C点在AB上，BCAC，D为BC的中点，则线段AD的长为 （　　） A．10cm B．13cm C．12cm D．9cm 6.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠AOB＝90°，则OB的方向角是（　　） A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60° 7.如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若∠2＝ 44°，则∠1的大小为（　　） A．14° B．44° C．46° D．74° 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，直线AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点M，N，∠BMN的平分线MF交CD于点F，∠MNF＝40°，则∠DFM＝（　　） A．70° B．110° C．120° D．140° 9.如图，直线a，b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　） A．50° B．120° C．130° D．140° 10.如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝60°，则∠2的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 12.将一把直尺和一块含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，若∠1＝33°，则∠2 为（　　） A．63° B．107° C．117° D．120° 13.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠AOC＝115°，则∠BOD＝　 　． 第13题图 第14题图 14.如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝　 　cm． 15.将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则∠CDF＝　 　度． 16.如图，m∥n，AB⊥m，∠1＝43˚，则∠2＝　 　度． 第15题图 第16题图 17.如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点． （1）若AB＝16cm，CD＝6cm，求AC+BD的长和M，N的距离； （2）如果AB＝m，CD＝n，用含m，n的式子表示MN的长． 18.如图，直线AB、CD相交于点O，且OE⊥CD． （1）若OA平分∠COE，求∠BOD的度数． （2）若∠AOC：∠EOA＝3：2，求∠BOC的度数． 19.已知点B在线段AC上，点D在线段AB上， （1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度； （2）如图2，若BDABCD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度． 20.已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°． （1）求证：AB∥CD； （2）求∠C的度数． 21.如图，AD∥BE，C点在BE上，∠B＝∠D，AE交CD于点F． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠1＝∠2＝64°，∠BAC＝3∠EAC，求∠BAC和∠DCE的大小． 22．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2． （1）求证：EF∥AD； （2）求证：∠BAC+∠AGD＝180°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $