精品解析：广西南宁市第十四中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题

2025－2026学年度秋季学期九年级期中学科素养检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 二次函数的常数项是（ ） A. B. C. 2 D. 1 2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 成语“守株待兔”是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 以上都不是 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 11. 如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 点关于原点成中心对称的点的坐标为______． 14. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是___________． 15. 已知，是方程的两根，则的值为______． 16. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝______．（结果保留） 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 19. 绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． （1）请直接写出，两点的坐标； （2）求叶瓣①的面积．（结果保留）． 20. 如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起．一个物体挂在距离点的左侧处，重量．在点的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即 （1）求关于的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数的最小值． 21. 如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 22. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“自对应点函数”，点为该函数图象上的一个自对应点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“自对应点函数”，点为该函数图象上的一个自对应点．某数学兴趣小组围绕该定义，对反比例函数和二次函数进行了相关探究． （1）对反比例函数进行探究后，得出下列结论：①是“自对应点函数”；②是“自对应点函数”，且自对应点是；③是“自对应点函数”，且有两个自对应点．以上结论中，你认为正确的是______（填写正确结论的序号）； （2）若反比例函数是“自对应点函数”，请直接写出应满足的条件； （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个自对应点，求，满足的关系式； （4）某种商品每件的进价为20元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元，请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“自对应点函数”，并说明理由：若该函数是“自对应点函数”，请联系以上情境说明该函数自对应点表达的实际意义． 23. 如图1，将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，，． （1）请直接写出的形状； （2）在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转． ①如图2，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，求的面积； ②如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度秋季学期九年级期中学科素养检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 二次函数的常数项是（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项可得常数项是．本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【详解】∵ 对应一般形式， ∴常数项为 ． 故选 ：． 2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 3. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 4. 成语“守株待兔”是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 以上都不是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件；必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指永远不会发生的事件．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义进行判断即可． 【详解】解：“守株待兔”中兔子撞树是偶然发生的，可能发生也可能不发生， 它是随机事件， 故选：A． 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当有两个相等实数根时，判别式为零，将方程化为标准形式后，计算判别式即可确定a的值．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】∵ 方程 有两个相等的实数根， ∴ 判别式 ． ∵， ∴， 解得 ． 故选：． 7. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，对应边  与  的夹角即为旋转角，从而可以得到  的度数，由  结合角的和差关系可以得到  的度数． 【详解】解： 绕点  按逆时针方向旋转  后得到 ， ， ， ． 8. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 9. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干为1、枝干为x和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：主干为1，枝干为x，x枝干又长出个小分支， 根据题意有：， 故选：C． 10. 如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设A点坐标为（），则C点坐标为（），利用坐标求面积即可． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点， ∴A，C两点关于原点对称，设A点坐标为（），则C点坐标为（）， S△ABC=， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义和对称性，解题关键是通过设坐标求三角形面积． 11. 如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案． 【详解】解：如图，连接， 设半径为，则， ， ，， ， 在中，有 ，即， 解得， 则该桨轮船的轮子直径为， 故选D． 12. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，根据题意，可知二次函数开口向上，对称轴为，那么当时，函数取得最小值，结合时取得最大值，可判断的取值范围． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，开口向上，顶点为最小值点， 当时，， ∵当时取得最小值， ∴， ∴， ∵当时取得最大值， ， 令，则， 解得， 即， ∴， ， ． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 点关于原点成中心对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于原点成中心对称时，横坐标和纵坐标均互为相反数即可解答．此题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 【详解】解：根据点关于原点成中心对称的坐标变换规则，点的对称点为． 因此，点关于原点的对称点为． 故答案为：． 14. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率求法进而得出答案． 【详解】∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6， ∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键． 15. 已知，是方程的两根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，先求出方程的两根之和与两根之积，再代入所求表达式进行计算．本题主要考查根与系数的关系，对要求的式子利用通分进行适当变形是解题的关键． 【详解】解：由方程 ， 得 , , ， 根据根与系数的关系有 ，， 则 ． 故答案为： ． 16. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长．过点作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定半径的长，得出花窗的周长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：如图所示：过点作交于点， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， ∴花窗的周长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）先计算乘方，再计算加减即可得解； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：（1） ； （2）， ， 或， ，． 18. 在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】（1） （2） 解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 略 19. 绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． （1）请直接写出，两点的坐标； （2）求叶瓣①的面积．（结果保留）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，圆的基本性质： （1）证明四边形是正方形，即可求解； （2）根据叶瓣①的面积为等于，即可求解． 【小问1详解】 解：∵以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵以原点，为圆心、以2为半径作圆， ∴两个圆是等圆，， ∴， ∴叶瓣①的面积为． 20. 如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起．一个物体挂在距离点的左侧处，重量．在点的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即 （1）求关于的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】（1） （2）弹簧秤的示数的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，表示弹簧秤与中点的距离，最大值是， ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 21. 如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据切线的性质得到，然后根据角平分线的性质定理得到即可证明； （2）首先根据勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵的半径为4， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】此题考查了圆切线的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“自对应点函数”，点为该函数图象上的一个自对应点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“自对应点函数”，点为该函数图象上的一个自对应点．某数学兴趣小组围绕该定义，对反比例函数和二次函数进行了相关探究． （1）对反比例函数进行探究后，得出下列结论：①是“自对应点函数”；②是“自对应点函数”，且自对应点是；③是“自对应点函数”，且有两个自对应点．以上结论中，你认为正确的是______（填写正确结论的序号）； （2）若反比例函数是“自对应点函数”，请直接写出应满足的条件； （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个自对应点，求，满足的关系式； （4）某种商品每件的进价为20元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元，请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“自对应点函数”，并说明理由：若该函数是“自对应点函数”，请联系以上情境说明该函数自对应点表达的实际意义． 【答案】（1）③ （2） （3） （4） ，该函数是“自对应点函数”，自对应点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为元或元时，获得的总利润等于销售单价． 【解析】 【分析】（1）根据“自对应点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“自对应点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“自对应点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，令，解方程即可求解． 【小问1详解】 ①对于，由于不存在自对应点，所以不是“自对应点函数”，原说法错误； ②对于，代入点，得，解得，所以是“自对应点函数”，自对应点是，原说法错误；③是“自对应点函数”，且有两个不动点，说法正确． 故答案为：③． 【小问2详解】 ∵反比例函数是“自对应点函数”， ∴代入点，得， 整理得， ∵， ∴应满足的条件：． 【小问3详解】 ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，且由抛物线得顶点坐标为， ∴根据“自对应点函数”的定义，即可得到； ∴，满足的关系式：． 【小问4详解】 根据题意得， 即关于的函数表达式为， 令， 解得， ∴该函数是“自对应点函数”， 自对应点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为元或元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“自对应点函数”的定义是解题的关键． 23. 如图1，将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，，． （1）请直接写出的形状； （2）在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转． ①如图2，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，求的面积； ②如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】（1）为等腰直角三角形 （2）①；②最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）①证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理可得，即可求解；②连接，取的中点P，连接，取的中点M、N，连接，证明四边形是平行四边形，可得，再根据四边形是平行四边形，可得，从而得到点H在以为直径的圆上，设的中点为点T，再根据勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵两个完全相同的矩形纸片和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴； ②连接，取的中点P，连接，取的中点M、N，连接，则， ∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点H在以为直径的圆上， 设的中点为点T， ∴，且的半径为， ∴的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $