第3章 一元一次方程（复习讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

第3章 一元一次方程（复习讲义） 1.掌握一元一次方程的定义、标准形式及等式的基本性质，能准确判断方程是否为一元一次方程。 2.熟练运用移项、去括号、去分母等步骤解一元一次方程，确保求解过程规范、结果准确。 3.能将实际问题转化为一元一次方程模型，通过列方程、解方程解决和差倍分、行程、工程等常见实际问题。 知识点01：方程的解和解方程 知识点02：一元一次方程 知识点03：等式的性质 知识点04：一元一次方程的应用 1.列方程解应用题的步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2.列一元一次方程解应用题的常见题型 （1)和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 （2）数字问题 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 （3）行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 (4)工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 题型一 一元一次方程的相关概念 【例1-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【例1-2】（25-26六年级上·上海·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 【例1-3】（24-25六年级上·上海·期末）若是方程的解，则k的值为 ． 【例1-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）是不是方程和的解？ 【例1-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）一元一次方程的一次项是 ． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【变式1-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）由，得．在此变形中方程的两边同时加上了 ． 【变式1-5】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）关于的方程是一元一次方程，那么此方程的解为 ． 【变式1-6】（24-25六年级上·上海青浦·期末）如果是方程的解，那么的值是 ． 题型二 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【例2-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 【例2-2】（25-26六年级上·上海·阶段练习）解方程： 【变式2-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么办呢？小明想了想，便翻看书后答案，此方程的解是，于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数是 ． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程无解，则的值为 ． 【变式2-3】（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1) (2) 题型三 解一元一次方程（二）——去括号 【例3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）方程去括号得 ． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）如果一个数与3的和的相反数是，那么这个数的相反数是 ． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 【变式3-3】（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 题型四 解一元一次方程（三）——去分母 【例4-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）方程的解为 ． 【例4-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【例4-4】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：． 【例4-5】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【例4-6】（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【变式4-2】（25-26六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【变式4-3】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【变式4-4】（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 题型五 解一元一次方程解法综合运用 【例5】（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1) (2)． 【变式5-1】（24-25六年级下·上海·开学考试）解方程 (1) (2) 【变式5-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 列一元一次方程解决实际问题 【例6-1】（25-26六年级上·上海·期中）等候公共汽车的人整齐地排成一列，小明也在其中，他数了数人数，排在他前面的人数是总人数的，排在他后面的人数是总人数的，从前面数小明排在第 个． 【例6-2】（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是 ． 【例6-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程 ． 【例6-4】（24-25六年级下·上海松江·期末）现有一个齿数为24的小齿轮要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合可使小齿轮的转速从3500圈/分降到1000圈/分，那么这个大齿轮有 齿． 【例6-5】（24-25六年级上·上海闵行·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 【例6-6】（25-26六年级上·上海·阶段练习）如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为 ． 【例6-7】（25-26六年级上·上海·期中）两桶同样重量的油，第一桶用去了它的，第二桶用去了吨，比较两桶中剩余的油量，发现一样重．问：原来两桶油各重多少吨？ 【例6-8】（24-25六年级上·上海·阶段练习）列方程解决问题：已知、两地相距120千米，甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米．两车分别从、两地出发，相向而行，若甲车先行驶30分钟，那么乙车行驶几小时后与甲车相遇？ 【例6-9】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 【例6-10】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）小明家使用的是分时电表，按平时段和谷时段次日分别计费，现已知谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元． 下列表格列出了某月电费单上的部分数据，请依据题目提供的信息计算平时段和谷时段的电价(要求写出解答过程)． 上月抄见表数 本月抄见表数 用电量(千瓦时) 单价(元) 金额(元) 平时段 1341 1624 谷时段 671 798 本月电费金额 210.73 本月应付电费大写 贰佰壹十元柒角叁分 【例6-11】（23-24六年级上·上海杨浦·期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①如果一次购物少于200元，则不予优惠； ②如果一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③如果一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；小明两次去该超市购物；分别付款252元和554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他可比小明少付多少元？（请通过计算说明） 【变式6-1】（25-26六年级上·上海·阶段练习）将正整数按如下方式排列：    在这个数阵里用长方形框出两行六个数（图中长方形框仅为示意）．如果框出来的六个数的和是432，则框出的六个数中，最小的数是最大的数的 （填几分之几）． 【变式6-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程： ． 【变式6-3】（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【变式6-4】（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 【变式6-5】（24-25六年级上·上海·期末）为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 【变式6-6】（24-25六年级上·上海·阶段练习）、两地相距150千米，甲车的速度为每小时55千米，乙车的速度为每小时45千米，若两车分别从、两地同时同向而行，出发时甲车在乙车后面，经过多长时间甲车与乙车相距10千米？ 【变式6-7】（25-26六年级上·上海闵行·期中）开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 【变式6-8】（24-25六年级上·上海·阶段练习）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【变式6-9】（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【变式6-10】（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【变式6-11】（25-26六年级上·上海普陀·期中）两个非零有理数a、b组成一个有理数对，如果与的和、差、积、商的结果同号，那么我们称有理数对为“保号数对”；如果与的和、差、积、商的结果同号且均为整数，那么我们称有理数对为“严格保号数对”． (1)分别判断和是否为“保号数对”； (2)如果和均为“严格保号数对”，求的值； (3)当和均为“保号数对”时，试说明也为“保号数对”的理由． 题型七 与数轴有关的一元一次方程应用 【例7-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）对数轴上的点、，我们把点与点两点之间的距离记作，例如，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点两点之间的距离为．已知点为数轴原点，点表示的数是，点表示的数为． (1)__________，__________； (2)点在数轴上表示的数为，当满足时，求的值． 【例7-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是和16，动点M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，点M的速度是2个单位长度/秒，N的速度是4个单位长度/秒，点M、点N分别与点B、点A重合时，停止运动． (1)若运动t秒钟时，点M、N重合，求t的值以及重合点在数轴上所表示的数； (2)若运动t秒钟时，点M、N之间距离为30，求t的值； (3)设点P是线段中点，点Q是线段中点，若运动t秒钟时点P、Q重合，求t的值． 【例7-3】（24-25六年级上·上海·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？ (3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【例7-4】（25-26六年级上·上海闵行·期中）定义：数轴上两点间的距离是指这两点所对应数的差的绝对值，即如果数m、n在数轴上对应的点分别是M、N，那么点M、N之间的距离． 已知，求的值．为了求出，可以用如下方法： 在数轴上，数对应的点分别是点A、B，数对应点． (1)点A、B之间的距离，当点在线段上时，，即当时，__________（填含的式子）； (2)根据可知，此时点到点A、B的距离之和比线段上的点到A、B的距离之和大，因此点不在线段上，根据上述信息，求点对应的数； (3)已知，求的值． 【变式7-1】（25-26六年级上·上海·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)如图，折叠纸条使数轴上表示的点与表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是___________；如果数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合，那么这两点中折痕左侧的点表示的数是___________． (2)如图，点表示的数分别是，数轴上有一点，使点到点的距离是点到点距离的倍，那么点表示的数是___________． (3)如图，若将此纸条沿、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，则最左端的折痕与数轴的交点表示的数是___________． (4)现有一点在数轴上从原点开始，第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位，第次向左平移个单位，第次向右平移个单位，，依此规律平移，当它平移第次后，点表示的数是___________． 【变式7-2】（24-25六年级上·上海·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知A、B、C 为数轴上任意三点，如果点 C 到点 A 的距离是它到点B距离的2倍，那么称点C是的2倍点． (1)如图，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1． ∵点C到点A的距离是它到点 B 距离的2倍， ∴点C是的2倍点． ①如果点D表示的数为0，点D到点A 的距离是 ，点D到点B的距离是 ∵     ∴点D是的2倍点 ②如果点D表示的数为5，那么点A是［ ， ］的2倍点： (2)M、N为数轴上两点，点M表示的数是，点N表示的数是4．若点P在M、N之间，问：当点P表示的数为何值时，点P、M、N中恰有一个点为其余两点的2倍点？请仿照例句格式，完成说明：例句：当点P表示的数为2时，点P是的2倍点． 【变式7-3】（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： “k类关联点”问题 素材一 在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别是a、b，那么A、B两点的距离． 素材二 对于数轴上的三点A、B和C，如果（k为正整数），那么称点C是点A、B的“k类关联点”． 例如：如图，数轴上的点A、B、C所表示的数分别是1、3、5，因为，所以点C是点A、B的“2类关联点”．    问题 解决 任务一 已知点A表示的数是，点B表示的数是2，下列各数1、4、6所对应的点分别是、和，其中点_________是点A、B的“3类关联点”． 任务二 已知点A表示的数是，点B表示的数是，点C为数轴上一个点，如果点C是点A、B的“4类关联点”，求点C表示的数． 任务三 已知点A表示的数是1，点B表示的数是0，点C表示的数是m，如果点C是点A、B的“k类关联点”，且，求所有满足条件的m的倒数之和． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于m的方程解为3，那么x的值为（   ） A． B． C．3 D．5 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）某运输队运煤，第一天运了总量的，第二天运煤恰好是第一天的，还剩下吨，设一共运煤吨，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25六年级上·上海·期末）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 6．（24-25六年级上·上海·期末）为迎接学校举办的传统文化节，初一年级某班计划做一批“中国结”，若每人做6个，则比计划多做9个，若每人做4个，则比计划少7个．设班级共有x个学生，可列方程 ． 7．（25-26六年级上·上海·期中）数轴上的点、点所对应的数分别是和4，数轴上另有一点，且点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是 ． 三、解答题 8．（24-25六年级上·上海松江·期末）解方程：． 9．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 10．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）解方程： 11．（25-26六年级上·上海·阶段练习）列方程求解：一个数的减去，再加上，结果等于2，求这个数？ 12．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某人用320元买苹果树和枣树两种树苗共25棵．其中，苹果树苗每棵12元，枣树苗每棵14元．这个人分别买了上述两种树苗各多少棵？ 13．（25-26六年级上·上海虹口·期中）【背景材料】 有规律的跑步训练有利于身体健康．以最大心率的几分之几作为运动时的“目标心率”，可以更有效地达到不同的训练目的，常见的运动强度与目标心率存在的对应关系如下表所示．已知计算最大心率的通用公式为：最大心率年龄． 运动强度 脂肪燃烧 有氧耐力 无氧耐力 目标心率（次/分钟） 最大心率的 最大心率的 最大心率的 【问题解决】 (1)某女士40岁，若她想以脂肪燃烧的运动强度跑步，则她的目标心率为多少次/分钟？ (2)小明在健身时，教练要求他以有氧耐力的运动强度进行跑步．如果小明当前的目标心率是150次/分钟，那么他的年龄是多少岁？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期中）如图所示，一个的方格中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和都相等，则的值是（    ） 7 9 6 A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）某寄宿制学校为六年级学生提供住宿，如果每间宿舍安排住6人，将会空出9间宿舍；如果每间宿舍安排住4人，就会有42人没有床位．为确保每个学生都能入住，以下方案中最合理的是（   ） A．每间宿舍安排住5人 B．其中34间宿舍每间安排5人，剩余的宿舍每间安排4人 C．其中20间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 D．其中21间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 二、填空题 3．（24-25六年级上·上海·期中）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就118岁啦！”，请问奶奶现在的年龄是 岁． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行百步，不善行者行六十步，今不善行者先行百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是说：“走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走步才能追上走路慢的人，那么可列方程为 ． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）某班有名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为、、，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人． 6．（24-25六年级上·上海松江·期末）在数轴上，点、在原点两侧且到原点的距离均为3厘米（点在点左侧）．现有动点、分别从、两点向右沿正半轴方向运动，速度分别为每秒4厘米和每秒2厘米，当、两点相距1厘米时，经过的时间是 秒． 7．（24-25六年级上·上海·期末）一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点落在数轴上且到点B距离2个单位长度，则C点表示的数是 ． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 三、解答题 9．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 10．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图所示，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间露出了三块正方形空白（图中阴影部分）．已知每张卡片的短边长度是12厘米，求图中阴影部分的面积． 11．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）A、B两地相距340千米，甲车从地出发开往地，每小时行驶72千米，甲车出发25分钟后，乙车从地出发开往地，每小时行驶48千米，两车相遇后，各自按原来的速度继续行驶，那么相遇后两车又相距120千米时，甲车从出发一共用了多长时间？ 12．（24-25六年级上·上海宝山·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数． 13．（24-25六年级上·上海普陀·期中）如图． (1)在数轴上标出数，，，所对应的点，，，． (2)阅读材料：我们把数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作的绝对值，记作．同样地，我们也把数在数轴上所对应的点到数在数轴上所对应的点的距离叫作的绝对值，记作．例如：第（1）题中，点到点的距离记作，化简得；点到点的距离记作，化简得，在（1）的条件下，回答下列问题： ①点到点的距离是_____； ②到点的距离是的点在数轴上所对应的数是_____； ③如果点在数轴上所对应的数是，那么当_____时，点到点的距离等于点到点的距离． (3)在纸上画一条数轴，点，，在数轴上的位置如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上点左右两侧的部分重合，此时数轴上的点与点恰好重合，原点与数轴上的另一点重合；将白纸重新展平，此时点到原点的距离等于点到点的距离，如果点在数轴上所对应的数是，那么点在数轴上所对应的数是_____． 14．（24-25六年级上·上海·期中）【探究与发现】在一次数学探究活动中，数学兴趣小组通过探究发现可以通过用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”如图1，三条线段的长度可表示为：，，，… 结论：数轴上任意两点表示的数为分别，，则这两个点间的距离为（即：用较大的数减去较小的数） 【理解与运用】 （1）如图2，数轴上、两点表示的数分别为，，点表示的点为2，试计算：________，________．      【拓展与延伸】 （2）如图3，点表示数，点表示，点表示，且，求点和点分别表示的数是多少？ （3）在（2）条件下，图3的数轴上存在不与、、重合的点，使，则点表示的数为________（直接写出答案） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次方程（复习讲义） 1.掌握一元一次方程的定义、标准形式及等式的基本性质，能准确判断方程是否为一元一次方程。 2.熟练运用移项、去括号、去分母等步骤解一元一次方程，确保求解过程规范、结果准确。 3.能将实际问题转化为一元一次方程模型，通过列方程、解方程解决和差倍分、行程、工程等常见实际问题。 知识点01：方程的解和解方程 知识点02：一元一次方程 知识点03：等式的性质 知识点04：一元一次方程的应用 1.列方程解应用题的步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2.列一元一次方程解应用题的常见题型 （1)和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 （2）数字问题 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 （3）行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 (4)工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 题型一 一元一次方程的相关概念 【例1-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【答案】②③ 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知： ①，不是一元一次方程，不符合题意； ②，是一元一次方程，符合题意； ③，是一元一次方程，符合题意； ④，不是一元一次方程，不符合题意； 故答案为：②③． 【例1-2】（25-26六年级上·上海·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 【答案】C 【分析】解：A：，移项得，，原变形错误； B：，两边同乘2得，原变形错误； C：，移项得 ，，原变形正确； D：，两边同除以2得，原变形错误； 故选：C． 【例1-3】（24-25六年级上·上海·期末）若是方程的解，则k的值为 ． 【答案】2 【详解】解：∵是方程的解， ∴，解得：． 故答案为：2． 【例1-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）是不是方程和的解？ 【详解】解：把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 综上所述：是方程和的解； 【例1-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、未知数最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）一元一次方程的一次项是 ． 【答案】 【详解】解：一元一次方程的一次项是． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 【变式1-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）由，得．在此变形中方程的两边同时加上了 ． 【答案】 根据等式到的变形，即可得出结论． 【详解】解：由，得， 在此变形中方程的两边同时加上了． 故答案为：． 【变式1-5】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）关于的方程是一元一次方程，那么此方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得 所以原方程为 解得 故答案为： 【变式1-6】（24-25六年级上·上海青浦·期末）如果是方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型二 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【例2-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 【答案】4或0 【详解】解： 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化为1，得： ∵解是正整数， ∴或 解得或． 故答案为：4或0． 【例2-2】（25-26六年级上·上海·阶段练习）解方程： 【详解】解： 【变式2-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么办呢？小明想了想，便翻看书后答案，此方程的解是，于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数是 ． 【答案】 【详解】解：设这个常数为，将代入方程中得：， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 解一元一次方程（二）——去括号 【例3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）方程去括号得 ． 【答案】 【详解】解：方程， 去括号得， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）如果一个数与3的和的相反数是，那么这个数的相反数是 ． 【答案】 【详解】解：这个数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个数是．那么这个数的相反数是， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 【答案】 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且 解得：， 故答案为：，． 【变式3-3】（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 【详解】解：（1） ； 当时，原式． （2）解方程得， 根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，得： ， 解得． 题型四 解一元一次方程（三）——去分母 【例4-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选：B． 【例4-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类，得 移项，得 化系数为1，得． 【例4-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【详解】解： 【例4-4】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【例4-5】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【详解】解： ， 由题意，把代入中， ， 答：的值为． 【例4-6】（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【详解】（1）解：小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是等式的性质1； 他的解答过程从第①步开始出现错误，因为右边的1没有乘以12． 故答案为：等式的性质1，① （2）解： 方程两边同乘以12，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 解得：． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 【变式4-3】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 将代入， 得：， 解得． 【变式4-4】（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 题型五 解一元一次方程解法综合运用 【例5】（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1) (2)． 【详解】（1）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：. （2）解：，即， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 【变式5-1】（24-25六年级下·上海·开学考试）解方程 (1) (2) 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： 方程整理得：， ， ， ， ， ， 即方程的解为； （4）解： ∴， 当时，，即， ∴或； 当时，，即， ∴或； 即方程的解为或或或． 题型六 列一元一次方程解决实际问题 【例6-1】（25-26六年级上·上海·期中）等候公共汽车的人整齐地排成一列，小明也在其中，他数了数人数，排在他前面的人数是总人数的，排在他后面的人数是总人数的，从前面数小明排在第 个． 【答案】9 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：设总人数为x人，排在小明前面的人数为，后面的人数为，小明自己占1人， 因此有方程：， 计算 ， ∴， 移项得：， 合并同类项得， 解得：， 前面人数为， ∴小明排在第9个， 故答案为：9． 【例6-2】（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：根据图示，判断出它是一个三阶幻方， 由，可得：， 由，可得：， ∴． 故答案为：． 【例6-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程 ． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【例6-4】（24-25六年级下·上海松江·期末）现有一个齿数为24的小齿轮要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合可使小齿轮的转速从3500圈/分降到1000圈/分，那么这个大齿轮有 齿． 【答案】84 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：设大齿轮有x齿， 由题意得，， 解得， ∴大齿轮有84齿， 故答案为：84． 【例6-5】（24-25六年级上·上海闵行·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗， 根据题意得：， 解得， 所以羊的主人赔斗，牛的主人赔（斗）， 所以牛主人比羊主人多赔偿（斗）． 故答案为：． 【例6-6】（25-26六年级上·上海·阶段练习）如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为 ． 【答案】9 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：设下面长方形每份为，则下面长方形面积为，则上面长方形面积也为， 由于把上面一个长方形平均分成2份，则上面长方形每份为， 由题意得， 解得， 则整个图形的面积为． 故答案为：9． 【例6-7】（25-26六年级上·上海·期中）两桶同样重量的油，第一桶用去了它的，第二桶用去了吨，比较两桶中剩余的油量，发现一样重．问：原来两桶油各重多少吨？ 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设原来每桶油重吨，根据剩余油量相等列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来每桶油重吨， 第一桶用去吨，剩余 吨，第二桶用去吨，剩余吨， 由题意，剩余油量相等， ∴ ， 两边同乘3，得 ， 移项，得 ， 即 ， 解得 ， 故原来两桶油各重1吨． 【例6-8】（24-25六年级上·上海·阶段练习）列方程解决问题：已知、两地相距120千米，甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米．两车分别从、两地出发，相向而行，若甲车先行驶30分钟，那么乙车行驶几小时后与甲车相遇？ 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：设乙车行驶小时后与甲车相遇， 根据题意可得，， 解得：， 答：乙车行驶1小时后与甲车相遇． 【例6-9】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【详解】解：设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球，罚中2个球． 【例6-10】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）小明家使用的是分时电表，按平时段和谷时段次日分别计费，现已知谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元． 下列表格列出了某月电费单上的部分数据，请依据题目提供的信息计算平时段和谷时段的电价(要求写出解答过程)． 上月抄见表数 本月抄见表数 用电量(千瓦时) 单价(元) 金额(元) 平时段 1341 1624 谷时段 671 798 本月电费金额 210.73 本月应付电费大写 贰佰壹十元柒角叁分 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：依题意得：小明家平时段用电量为：(千瓦时)， 谷时段用电量为：(千瓦时)， 设平时段的电费单价为元，则谷时段的电费单价为元， 则有， 解得：， ∴， 答：平时段的电费单价为元，谷时段的电费单价为元． 【例6-11】（23-24六年级上·上海杨浦·期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①如果一次购物少于200元，则不予优惠； ②如果一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③如果一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；小明两次去该超市购物；分别付款252元和554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他可比小明少付多少元？（请通过计算说明） 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【详解】解：∵，， ∴小明付款252元所购的实际价值为元， ∵， ∴可设小明付款554元所购的实际价值设为x元，根据题意得： ， 解得：， ∴小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，实际价值为（元）， 即所付款数为（元）， 元， 答：他可比小明少付28元． 【变式6-1】（25-26六年级上·上海·阶段练习）将正整数按如下方式排列：    在这个数阵里用长方形框出两行六个数（图中长方形框仅为示意）．如果框出来的六个数的和是432，则框出的六个数中，最小的数是最大的数的 （填几分之几）． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【详解】设最小的数为，则这六个数为， ， ， 解得， 所以最小的数为，最大的数为， 则最小的数是最大的数的． 【变式6-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程： ． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： 【变式6-3】（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：设寺里有x个和尚， 根据题意得：，解得：． 答：寺里有624个和尚． 【变式6-4】（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【详解】解：设这一天举行了场单打比赛，则举行了场双打比赛， 根据题意，可得 ， 解得 （场）， 所以 （场）． 答：这一天举行了32场单打比赛、36场双打比赛． 【变式6-5】（24-25六年级上·上海·期末）为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 【答案】应先安排3个工程队单独修6天 【详解】解：设应先安排x个工程队单独修6天’ ， 解得：． 答：应先安排3个工程队单独修6天． 【变式6-6】（24-25六年级上·上海·阶段练习）、两地相距150千米，甲车的速度为每小时55千米，乙车的速度为每小时45千米，若两车分别从、两地同时同向而行，出发时甲车在乙车后面，经过多长时间甲车与乙车相距10千米？ 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：设经过x小时，甲车与乙车相距10千米， 当两车相遇前相距10千米时，则， 解得； 当两车相遇后相距10千米时，则， 解得； 综上所述，当经过14小时或16小时，甲车与乙车相距10千米， 答：当经过14小时或16小时，甲车与乙车相距10千米． 【变式6-7】（25-26六年级上·上海闵行·期中）开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【详解】设乐乐积攒的零用钱为元， 则一支钢笔花了元，全自动削笔机花了元， 又这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元， 所以，解得， 一支钢笔花了元． 答：乐乐购买这支钢笔花了42元钱． 【变式6-8】（24-25六年级上·上海·阶段练习）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和米老鼠玩具的等量关系是解决本题的关键． 设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具， 根据题意得，， 解得， ∴（名）， ∴应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 【变式6-9】（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【详解】（1）解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； （3）解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算． 【变式6-10】（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字问题(一元一次方程的应用) 【详解】（1） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 所以运算结果“”所代表的数为． （2） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 则运算结果“”所代表的数为， ∵运算结果“”所代表的数为2， ∴， 解得． 【变式6-11】（25-26六年级上·上海普陀·期中）两个非零有理数a、b组成一个有理数对，如果与的和、差、积、商的结果同号，那么我们称有理数对为“保号数对”；如果与的和、差、积、商的结果同号且均为整数，那么我们称有理数对为“严格保号数对”． (1)分别判断和是否为“保号数对”； (2)如果和均为“严格保号数对”，求的值； (3)当和均为“保号数对”时，试说明也为“保号数对”的理由． 【知识点】有理数的除法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、其他问题(一元一次方程的应用) 【详解】（1）解：；；；， ∴是“保号数对”； ；；；， ∴不是“保号数对”； （2）解：由题意，可知a一定为整数， 为正整数时，a一定是3的倍数，且a不等于3， 一定是60的因数，且不等于 60， 可得； 为负整数时，a的相反数一定是3的倍数，且a不等于， 一定是60的因数， ∴或， 可得或； （3）解：设为“保号数对”， 当m与n的和、差、积、商的结果都是正数时， m和n都是正数，且， 当m与n的和、差、积、商的结果都是负数时， m是负数，n是正数，且， 回到题目，因为和为“保号数对”， 所以b和c都是正数，且， ①a为正数时，， 此时a和c都是正数，且， 所以a与c的和、差、积、商的结果都是正数，为“保号数对” ②a为负数时，， 此时a是负数，c是正数，且 所以a与c的和、差、积、商的结果都是负数，为“保号数对” 综上所述，当和为“保号数对”时，也为“保号数对”． 题型七 与数轴有关的一元一次方程应用 【例7-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）对数轴上的点、，我们把点与点两点之间的距离记作，例如，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点两点之间的距离为．已知点为数轴原点，点表示的数是，点表示的数为． (1)__________，__________； (2)点在数轴上表示的数为，当满足时，求的值． 【详解】（1）解：∵点为数轴原点，点表示的数为，点表示的数为， ∴；； 故答案为：，； （2）∵点表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴， ∵， ∴ ∴或， 解得：或， 即：的值为或． 【例7-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是和16，动点M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，点M的速度是2个单位长度/秒，N的速度是4个单位长度/秒，点M、点N分别与点B、点A重合时，停止运动． (1)若运动t秒钟时，点M、N重合，求t的值以及重合点在数轴上所表示的数； (2)若运动t秒钟时，点M、N之间距离为30，求t的值； (3)设点P是线段中点，点Q是线段中点，若运动t秒钟时点P、Q重合，求t的值． 【详解】（1）解：（秒），（秒）． 当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：t的值为，重合点在数轴上所表示的数为； （2）当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：t的值为或； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：t的值为． 【例7-3】（24-25六年级上·上海·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？ (3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【详解】（1）解：当时，， ∴点表示的数为：， ∵从到所用时间为：（秒）秒， 时，在上， ∴所表示数为：， 故答案为：； （2）解：从到所用时间为： （秒）； （3）解：从到所用时间为：（秒）， 从到所用时间为：（秒）， ∴两点在段相遇， 当到达点时，， ∴离开到相遇所用时间为：（秒）， ∴相遇总时间为：（秒）， 此时，， ∴相遇点所对应的数为：； （4）解：当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， ∴无解； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 综上所述，或 13 或 22 或 34 或 42 时，两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等． 【例7-4】（25-26六年级上·上海闵行·期中）定义：数轴上两点间的距离是指这两点所对应数的差的绝对值，即如果数m、n在数轴上对应的点分别是M、N，那么点M、N之间的距离． 已知，求的值．为了求出，可以用如下方法： 在数轴上，数对应的点分别是点A、B，数对应点． (1)点A、B之间的距离，当点在线段上时，，即当时，__________（填含的式子）； (2)根据可知，此时点到点A、B的距离之和比线段上的点到A、B的距离之和大，因此点不在线段上，根据上述信息，求点对应的数； (3)已知，求的值． 【详解】（1）当点在线段上时，，即， 所以当时，． 故答案为：． （2）根据题意，点不在线段上， 当时，， 则， 解得； 当时，， 则， 解得； 综上，点对应的数为或； （3）设数对应的点分别是点，， ， 点在线段外， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，或． 【变式7-1】（25-26六年级上·上海·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)如图，折叠纸条使数轴上表示的点与表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是___________；如果数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合，那么这两点中折痕左侧的点表示的数是___________． (2)如图，点表示的数分别是，数轴上有一点，使点到点的距离是点到点距离的倍，那么点表示的数是___________． (3)如图，若将此纸条沿、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，则最左端的折痕与数轴的交点表示的数是___________． (4)现有一点在数轴上从原点开始，第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位，第次向左平移个单位，第次向右平移个单位，，依此规律平移，当它平移第次后，点表示的数是___________． 【详解】（1）解：由条件可知折痕与数轴的交点表示的数是， ∵数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合， ∴这两点到表示数的点的距离都为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：设点表示的数为，则， ， ∵点到点的距离是点到点距离的倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：由题意得，对折次后，每相邻的两条折痕间的距离为， ∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数是， 故答案为：； （4）解：∵第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位， ∴第次和次平移完后，点M相当于向右平移了个单位， ∵第次向左平移个单位，第次向右平移个单位， ∴第次和第次平移完后，点M在第次平移完的基础上向右平移了个单位， 以此类推可知，从第次平移开始，每相邻的次平移，点M相当于向右平移了个单位， ∵第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位，第次向左平移个单位，第次向右平移个单位， ， ∴第次向左平移个单位， ∵， ∴当它平移次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25六年级上·上海·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知A、B、C 为数轴上任意三点，如果点 C 到点 A 的距离是它到点B距离的2倍，那么称点C是的2倍点． (1)如图，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1． ∵点C到点A的距离是它到点 B 距离的2倍， ∴点C是的2倍点． ①如果点D表示的数为0，点D到点A 的距离是 ，点D到点B的距离是 ∵     ∴点D是的2倍点 ②如果点D表示的数为5，那么点A是［ ， ］的2倍点： (2)M、N为数轴上两点，点M表示的数是，点N表示的数是4．若点P在M、N之间，问：当点P表示的数为何值时，点P、M、N中恰有一个点为其余两点的2倍点？请仿照例句格式，完成说明：例句：当点P表示的数为2时，点P是的2倍点． 【详解】（1）解：点表示的数为，点A表示的数为，则点到点的距离是；点表示的数为，点到点的距离是． ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴点是的倍点． 故答案为：1，2，点D到点B的距离是它到点A距离的2倍； ②点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． 点到点的距离是，点到点的距离是， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴点是的倍点． 故答案为：D，B； （2）设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分以下几种情况讨论： 情况一：点是的倍点 根据定义，，即． 当时， 展开得， 移项可得，即， 解得． - 当时，展开得，移项可得，即．但因为点在、之间，所以舍去． 所以当时，点是的倍点． 情况二：点是的倍点 根据定义，，即． 当时， 展开得， 移项可得，即， 解得． 当时， 展开得， 移项可得，即． 因为点在、之间， 所以舍去． 所以当时，点是的倍点． 情况三：点是的倍点， 根据定义，，即，化简得． 当时， 解得． 当时， 解得． 因为点在、之间， 所以舍去． 此时，点到的距离是，点到的距离是，， 所以点是的倍点． 情况四：点是的倍点， 根据定义，，即， 化简得． 当时， 解得． 当时， 解得． 因为点在、之间， 所以舍去． 此时，点到的距离是，点到的距离是，， 所以点是的倍点． 综上，点P表示的数为2时，点是的倍点．点P表示的数为0时，点是的倍点，点P表示的数为1时，点是的倍点或点是的倍点． 【变式7-3】（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： “k类关联点”问题 素材一 在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别是a、b，那么A、B两点的距离． 素材二 对于数轴上的三点A、B和C，如果（k为正整数），那么称点C是点A、B的“k类关联点”． 例如：如图，数轴上的点A、B、C所表示的数分别是1、3、5，因为，所以点C是点A、B的“2类关联点”．    问题 解决 任务一 已知点A表示的数是，点B表示的数是2，下列各数1、4、6所对应的点分别是、和，其中点_________是点A、B的“3类关联点”． 任务二 已知点A表示的数是，点B表示的数是，点C为数轴上一个点，如果点C是点A、B的“4类关联点”，求点C表示的数． 任务三 已知点A表示的数是1，点B表示的数是0，点C表示的数是m，如果点C是点A、B的“k类关联点”，且，求所有满足条件的m的倒数之和． 【详解】解：任务一：∵点表示的数是，点表示的数是2，数1、4、6所对应的点分别是、和， ∴，，， ，，， ∴，，， ∴点和是点、的“3类关联点”， 故答案为：和． 任务二：设点表示的数为， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点、的“4类关联点”， ∴， ∴，即或， 解得或， 所以点表示的数为6或． 任务三：∵点表示的数是1，点表示的数是0，点表示的数是， ∴，， ∵点是点、的“类关联点”， ∴，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵为正整数， ∴也是整数， ∴的所有可能的取值为连续整数（不含0和1）， ∴所有满足条件的的倒数之和为 ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故选项不符合题意； B、分母中含有未知数，方程左边不是整式，故选项不符合题意； C、是一元一次方程，故选项符合题意； D、中含有两个未知数，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边同乘和（或除以）同一个数（除数不为），结果仍相等．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、可变形为， 故该选项不符合题意； B、可变形为， 故该选项不符合题意； C、可变形为， 故该选项不符合题意； D、可变形为， 故该选项符合题意； 故选： D． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于m的方程解为3，那么x的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入方程中求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于m的方程解为3， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）某运输队运煤，第一天运了总量的，第二天运煤恰好是第一天的，还剩下吨，设一共运煤吨，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题干信息找出等量关系并据此列式是解题的关键． 根据“第一天运了总量的，第二天运煤恰好是第一天的，还剩下吨”可得出相应的一元一次方程． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 二、填空题 5．（24-25六年级上·上海·期末）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，理解一元一次方程的概念，由一元一次方程的定义求参数的方法是解题的关键． 根据一元一次方程的定义“含义一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程”可得，由此即可求解． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得，，， ∴， 故答案为： ． 6．（24-25六年级上·上海·期末）为迎接学校举办的传统文化节，初一年级某班计划做一批“中国结”，若每人做6个，则比计划多做9个，若每人做4个，则比计划少7个．设班级共有x个学生，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（其他问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 根据计划量相等列方程即可． 【详解】解：设班级共有x个学生，根据题意得： ， 故答案为：． 7．（25-26六年级上·上海·期中）数轴上的点、点所对应的数分别是和4，数轴上另有一点，且点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值方程，熟练掌握数轴上两点间距离，是解题的关键．先计算点A到点B的距离，再得到点C到点A的距离，根据点C在点A的左右两侧分别求解即可． 【详解】解：点A对应的数为，点B对应的数为4，点A到点B的距离为， 点C到点A的距离等于点A到点B距离的一半，即， 设点C对应的数为x，则，即， 所以或， 解得：或． 综上分析可知：点C对应的数为或． 故答案为：或． 三、解答题 8．（24-25六年级上·上海松江·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，计算即可. 【详解】解：， 去括号，得， 移项，合并同类项得， 系数化为1，得. 9．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查了解一元一次方程．方程去分母，去括号，移项合并，将未知数的系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程两边同时除以，得． 10．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程．根据解一元一次方程的步骤进行解答即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得， 11．（25-26六年级上·上海·阶段练习）列方程求解：一个数的减去，再加上，结果等于2，求这个数？ 【详解】解：设这个数为，由题意得： ， ， ， ， 答：这个数是． 12．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某人用320元买苹果树和枣树两种树苗共25棵．其中，苹果树苗每棵12元，枣树苗每棵14元．这个人分别买了上述两种树苗各多少棵？ 【详解】解：设这个人购买苹果树苗棵，则购买枣树苗棵， 由题意得：， 解得， 则， 答：这个人购买苹果树苗15棵，枣树苗10棵． 13．（25-26六年级上·上海虹口·期中）【背景材料】 有规律的跑步训练有利于身体健康．以最大心率的几分之几作为运动时的“目标心率”，可以更有效地达到不同的训练目的，常见的运动强度与目标心率存在的对应关系如下表所示．已知计算最大心率的通用公式为：最大心率年龄． 运动强度 脂肪燃烧 有氧耐力 无氧耐力 目标心率（次/分钟） 最大心率的 最大心率的 最大心率的 【问题解决】 (1)某女士40岁，若她想以脂肪燃烧的运动强度跑步，则她的目标心率为多少次/分钟？ (2)小明在健身时，教练要求他以有氧耐力的运动强度进行跑步．如果小明当前的目标心率是150次/分钟，那么他的年龄是多少岁？ 【详解】（1）解：（次/分钟）， 所以，她的目标心率为117次/分钟； （2）解：设他的年龄为x岁，根据题意，得 ， ， ， 所以，他的年龄是20岁． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期中）如图所示，一个的方格中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和都相等，则的值是（    ） 7 9 6 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设右下角的数字为，根据题意可列式求出，再由可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设右下角的数字为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）某寄宿制学校为六年级学生提供住宿，如果每间宿舍安排住6人，将会空出9间宿舍；如果每间宿舍安排住4人，就会有42人没有床位．为确保每个学生都能入住，以下方案中最合理的是（   ） A．每间宿舍安排住5人 B．其中34间宿舍每间安排5人，剩余的宿舍每间安排4人 C．其中20间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 D．其中21间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程解实际问题，有理数四则运算的实际应用，理解数量关系，正确列式是解题的关键．设学校有宿舍x间，根据每间宿舍安排住6人，将会空出9间宿舍，每间宿舍安排住4人，就有42人没床位，由此可得宿舍的数量是不变的，列出方程求解出宿舍的间数和学生人数，再逐一判断即可． 【详解】解：设学校有宿舍x间， 根据题意：， 解得：，则（人） A、每间宿舍安排住5人，则（人），则空出间宿舍； B、34间宿舍每间安排5人，剩余的宿舍每间安排4人，则（人），234-226=8人没有床位； C、20间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人，则（人）则有人没有床位； D、21间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人，则（人），刚好住满，且每个学生都能入住， 故选项D最合理， 故选：D． 二、填空题 3．（24-25六年级上·上海·期中）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就118岁啦！”，请问奶奶现在的年龄是 岁． 【答案】67 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，妙妙和奶奶的年龄差是不变的，结合数轴可得答案． 【详解】如图所示，A表示妙妙现在的年龄，B表示奶奶现在的年龄，妙妙和奶奶的年龄差是不变的，则： ，解得：， ，， 所以点A表示数16，点B表示数67， ∴奶奶现在67岁了， 故答案为：67． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行百步，不善行者行六十步，今不善行者先行百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是说：“走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走步才能追上走路慢的人，那么可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，列方程是关键． 设走路快的人要走步才能追上走路慢的人，根据走路快的人走100步的时候，走路慢的才走60步，可得走路快的人与走路慢的人的速度比为，利用走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等列出方程，然后根据等式的性质变形即可求解． 【详解】解：设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人， 根据题意得： 整理得：． 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）某班有名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为、、，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，通过找到等量关系，列出一元一次方程，并求出解来解决实际应用问题． 本题可设同时参加数学和化学小组的人数为人，则可知等量关系为：参加数学、物理、化学的人数减去同时参加两个小组的人数等于全班总人数，得到对应的参加数学和化学小组的人数． 【详解】解：设同时参加数学和化学小组的人数为人， ， 解得：， 故答案为：8； 6．（24-25六年级上·上海松江·期末）在数轴上，点、在原点两侧且到原点的距离均为3厘米（点在点左侧）．现有动点、分别从、两点向右沿正半轴方向运动，速度分别为每秒4厘米和每秒2厘米，当、两点相距1厘米时，经过的时间是 秒． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及一元一次方程的应用，正确理解题意，注意分类讨论是解题的关键． 由题意可得，表示，表示3，设运动时间为秒，则由题意得秒或表示的数为，表示的数为，则，解方程即可． 【详解】解：由题意可得，表示，表示3，设运动时间为秒， 则秒时，表示的数为，表示的数为， 由题意得： ∴或， 分别解得：或， 故答案为：秒或秒． 7．（24-25六年级上·上海·期末）一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点落在数轴上且到点B距离2个单位长度，则C点表示的数是 ． 【答案】2或0 【分析】本题主要考查数轴、数轴上两点间的距离公式、折叠的性质，学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．由折叠可知，由题意可知点表示的数为10或6，设点C表示的数为x，再分点表示的数为10或6两种情况进行讨论，并依据列出方程，求解即可． 【详解】解：由折叠可知，， 点落在数轴上且到点B距离2个单位长度， ∴点表示的数为或， 设点C表示的数为x， 若点表示的数为10时， 此时，，， 则， 解得：， 即点C表示的数为2； 若点表示的数为6时， 此时，，， 则， 解得：， 即点C表示的数为0． 综上，点C表示的数为2或0． 故答案为：2或0． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （3）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （4）解： 整理，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 10．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图所示，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间露出了三块正方形空白（图中阴影部分）．已知每张卡片的短边长度是12厘米，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程思想求解几何应用题，关键找到等量关系；根据图中可知：3个短边3个长边5个长边，小正方形的边长长边短边．两个等量关系可求解． 【详解】设长方形卡片的长为， 依题意得：， 解得：； 设图中小正形的边长为， 依题意得：， ∴图中阴影部分的面积为：． 11．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）A、B两地相距340千米，甲车从地出发开往地，每小时行驶72千米，甲车出发25分钟后，乙车从地出发开往地，每小时行驶48千米，两车相遇后，各自按原来的速度继续行驶，那么相遇后两车又相距120千米时，甲车从出发一共用了多长时间？ 【答案】甲车从出发一共用了． 【分析】本题是考查了一元一次方程运用，设甲车从出发一共用的时间为，依题意列出方程，求解即可，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲车从出发一共用的时间为，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：甲车从出发一共用了． 12．（24-25六年级上·上海宝山·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数． 【详解】（1）解：∵点A表示数，点B表示数1，表示数， ∴， ∴， ∴是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数2， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数6， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； 故答案为：； （2）解：设点P表示的数为x， ①∵，点P在点A，B之间， ∴， ∵点P是点A、B的“关联点”， ∴或， ∴或， 解得或； 即点P所表示的数为或； ②∵，点P在点B的右侧， ∴，，， ∴． 当A是B，P“关联点”时， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 当B是A，P“关联点”时， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 即此时P表示的数为16或22； 当P为A，B的“关联点”时， ∴， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 综上所述，P表示的数为19或16或22． 13．（24-25六年级上·上海普陀·期中）如图． (1)在数轴上标出数，，，所对应的点，，，． (2)阅读材料：我们把数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作的绝对值，记作．同样地，我们也把数在数轴上所对应的点到数在数轴上所对应的点的距离叫作的绝对值，记作．例如：第（1）题中，点到点的距离记作，化简得；点到点的距离记作，化简得，在（1）的条件下，回答下列问题： ①点到点的距离是_____； ②到点的距离是的点在数轴上所对应的数是_____； ③如果点在数轴上所对应的数是，那么当_____时，点到点的距离等于点到点的距离． (3)在纸上画一条数轴，点，，在数轴上的位置如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上点左右两侧的部分重合，此时数轴上的点与点恰好重合，原点与数轴上的另一点重合；将白纸重新展平，此时点到原点的距离等于点到点的距离，如果点在数轴上所对应的数是，那么点在数轴上所对应的数是_____． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①∵， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴到点B的距离是的点在数轴上所对应的数是或； 故答案为：或； ③∵点E到点B的距离等于点E到点D的距离， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：如图： 设点A在数轴上所对应的数是a， ∵沿过点B的一条直线对折，数轴上的点A与点C恰好重合，点C在数轴上所对应的数是， ∴点B对应的数为， ∵原点O与数轴上的另一点P重合， ∴P表示的数为， ∵点P到原点O的距离等于点P到点C的距离， ∴， 解得， ∴点A在数轴上所对应的数是； 故答案为：． 14．（24-25六年级上·上海·期中）【探究与发现】在一次数学探究活动中，数学兴趣小组通过探究发现可以通过用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”如图1，三条线段的长度可表示为：，，，… 结论：数轴上任意两点表示的数为分别，，则这两个点间的距离为（即：用较大的数减去较小的数） 【理解与运用】 （1）如图2，数轴上、两点表示的数分别为，，点表示的点为2，试计算：________，________．      【拓展与延伸】 （2）如图3，点表示数，点表示，点表示，且，求点和点分别表示的数是多少？ （3）在（2）条件下，图3的数轴上存在不与、、重合的点，使，则点表示的数为________（直接写出答案） 【详解】解：（1）∵数轴上、两点表示的数分别为，，点表示的点为2， ∴， ， 故答案为：3；7； （2）∵点表示数，点表示，点表示，且， ∴， 解得：． （3）根据解析（2）可知：A点表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 设点D表示的数为m， 当点D在点A左侧时，， 解得：， 此时点D表示的数为； 当点D在之间时，， 则， 解得：，不符合题意舍去； 当点D在之间时，， 则， 解得：， 此时点D表示的数为； 当点D在点C右侧时，， 解得：，不符合题意； 综上分析可知：点D表示的数为或； 故答案为：或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $