第8章 第53节 第2课时 圆锥曲线中的最值、范围问题(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

第2课时　圆锥曲线中的最值、范围问题 【考点探究　核心突破】 考点一　范围问题 【例1】(2025·张家口模拟)已知P(0,)和Q(,1)为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点. (1)求椭圆C的离心率; (2)设直线l:y=kx+1与椭圆C交于A,B两点,求S△AOB的取值范围. 【解析】(1)将P(0,)和Q(,1)代入椭圆方程可得+=1且+=1, 解得,故该椭圆方程为+=1,故离心率为=. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),将l:y=kx+1,代入椭圆方程, 整理得(2k2+1)x2+4kx-2=0,所以 所以|AB|=|x1-x2|= =·=·, 因为点O到直线l的距离为d=, 所以S△OAB=|AB|d=××=, 设1+2k2=t,则t≥1,所以S△OAB=×=×≤, 当t=1时上式取等号,S△AOB的最大值为,故S△AOB∈(0,]. 对点训练 (2024·济宁模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若直线l:y=kx+与双曲线C的左支交于A,B两点,求k的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l1与y轴交于M(0,m),求m的取值范围. 【解析】(1)设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由已知条件可知a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1,故该双曲线的标准方程为-y2=1. (2)设A(xA,yA),B(xB,yB),由消去y,整理得(1-3k2)x2-6kx-9=0, 由1-3k2≠0,得k≠±.Δ=36(1-k2)>0,即-1<k<1.因为点A,B在双曲线的左支上, 所以xA+xB=<0,xAxB=->0,即k>,又-1<k<1,所以<k<1,所以k的取值范围为(,1). (3)由(2)得xA+xB=,xAxB=.所以yA+yB=kxA++kxB+=k(xA+xB)+2=, 所以AB的中点P的坐标为(,).设直线l1的方程为y=-x+m,因为点P在直线l1上,所以=-+m,即m=.因为<k<1,所以-2<1-3k2<0, 所以<-2.所以m<-2,所以m的取值范围为(-∞,-2). 【加练备选】 已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线C于A,B两点, 且+=2. (1)求抛物线C的方程; (2)若O为坐标原点,过点B作y轴的垂线交直线AO于点D,过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E,AE的中点为G,求的取值范围. 【解析】(1)抛物线C的焦点为F(,0), 若直线AB与x轴重合,则直线AB与抛物线C只有一个公共点,不合题意; 设直线AB的方程为x=my+,设点A(x1,y1),B(x2,y2), 联立可得y2-2pmy-p2=0, Δ=4p2m2+4p2>0,由根与系数的关系可得y1+y2=2pm,y1y2=-p2, +=+=+= =====2, 解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x. (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,由(1)可得y1+y2=2m,y1y2=-1, 又因为直线AO的方程为y=x=x=x, 将y=y2代入直线AO的方程可得y2=x,可得x==-,即点D(-,y2), 所以kDF==-y2,因为AE⊥DF,所以kAE=-=, 所以直线AE的方程为y-y1=(x-x1), 联立可得y2-2y2y-2x1-2=0,则y1+yE=2y2, 故yE=2y2-y1,则xE=y2yE+x1+1=y2(2y2-y1)+x1+1=x1+2-y1y2+1=x1+4x2+2, 由AE的中点为G,可得G(x1+2x2+1,y2), 故G,B,D三点共线,则==. 又由y1y2=-1,知x1x2==, 故===1-=1-=1-∈(,1), 故的取值范围为(,1). 考点二　最值问题 角度1　运用基本不等式法求最值 【例2】已知平面内一动点M与两定点B1(0,-1),B2(0,1)的连线的斜率之积为-. (1)求动点M的轨迹E的方程; (2)设直线l:y=x+m与轨迹E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,当m变化时,求△PAB面积的最大值. 【解析】(1)设M的坐标为(x,y), 依题意得·=-,化简得+y2=1(x≠0). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0,所以x1+x2=-,x1x2=,且Δ=(4m)2-12(2m2-2)>0, 即-<m<,且m≠-1,0,1. 设AB中点为C,点C横坐标为xC==-,yC=xC+m=,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=-(x+),所以点P的坐标为(-,0),所以点P到AB的距离d=. 由弦长公式得|AB|=·=·, 所以S△PAB=×××=≤·=. 当且仅当m2=,即m=±时,等号成立,经检验m=±符合题意, 所以△PAB面积的最大值为. 角度2　构造目标函数求最值 【例3】(2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F, 且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p; (2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值. 【解析】(1)焦点F(0,)到x2+(y+4)2=1的最短距离为+4-1=4,所以p=2. (2)抛物线y=x2,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 则由y=x2得y'=,所以直线PA:y=x1(x-x1)+y1=x1x-=x1x-y1, 同理可得直线PB:y=x2x-y2,且=--8y0-15. lPA,lPB都过点P(x0,y0),则故直线AB:y0=x0x-y,即y=x0x-y0, 联立得x2-2x0x+4y0=0,Δ=4-16y0. 所以|AB|=·=·,点P到AB的距离d=, 所以S△PAB=|AB|·d=|-4y0|·=(-4y0=(--12y0-15,而y0∈[-5,-3], 故当y0=-5时,S△PAB最大,最大值为20. 思维升华 圆锥曲线中取值问题的解法 (1)利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系; (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用基本不等式求出参数的取值范围; (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 对点训练 (一题多法)(2022·全国甲卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3. (1)求C的方程; (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程. 【解析】(1)抛物线的准线为x=-,当MD与x轴垂直时,点M的横坐标为p, 此时|MF|=p+=3,所以p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)设M(,y1),N(,y2),A(,y3),B(,y4),直线MN:x=my+1, 由可得y2-4my-4=0,则Δ>0,y1y2=-4, 由斜率公式可得kMN==,kAB==, 直线MD:x=·y+2,代入抛物线方程可得y2-·y-8=0, Δ>0,y1y3=-8,所以y3=2y2,同理可得y4=2y1,所以kAB===. 又因为直线MN,AB的倾斜角分别为α,β,所以kAB=tan β==, 若要使α-β最大,则β∈(0,),设kMN=2kAB=2k>0, 法一:(基本不等式法)tan(α-β)===≤=, 当且仅当=2k即k=时,等号成立, 所以当α-β最大时,kAB=,设直线AB:x=y+n, 代入抛物线方程可得y2-4y-4n=0,Δ>0,y3y4=-4n=4y1y2=-16,所以n=4, 所以直线AB:x=y+4. 法二:(判别式法) 令y=tan(α-β)==,整理可得2yk2-k+y=0(y≠0), 由Δ≥0可得y≤,所以ymax=,此时k=, 所以当α-β最大时,kAB=,设直线AB:x=y+n, 代入抛物线方程可得y2-4y-4n=0,Δ>0,y3y4=-4n=4y1y2=-16,所以n=4, 所以直线AB:x=y+4. 法三:(导数法)设y=,则y'=,令y'==0,解得k=. 所以当α-β最大时,kAB=,设直线AB:x=y+n, 代入抛物线方程可得y2-4y-4n=0, Δ>0,y3y4=-4n=4y1y2=-16,所以n=4, 所以直线AB:x=y+4. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $