第8章 第51节 抛物线(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

第51节　抛物线 考试要求 考题分析 1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质. 3.通过抛物线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想. 4.了解抛物线的简单应用. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - T10 2023年 T22 T10 2024年 - T10 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R 顶点坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点坐标 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-) 准线方程 x=- x= y=- y= 离心率 e=1 【常用结论】 已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为直线AB与x轴正半轴的夹角,若A(x1,y1),B(x2,y2),则有下列结论: 结论1:y1y2=-p2,x1x2=. 结论2:|AB|=x1+x2+p=. 结论3:+=. 结论4:|AF|=x1+=, |BF|=x2+=. 结论5:S△AOB=|OF|·|y1-y2|=. 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 题号 2,3,4 1 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(　×　) (2)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(　√　) (3)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　×　) (4)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是(,0),准线方程是x=-.(　×　) 2.(选择性必修第一册P133·T3变式)抛物线y2=2px(p>0)上一点M(2,y)到焦点F的距离|MF|=4,则抛物线的方程为(　　) A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y2=x 【解析】选A.由题意可得|MF|=xM+, 则2+=4,即p=4,故抛物线方程为y2=8x. 3.(选择性必修第一册P138·习题3.3T1变式)抛物线x=y2的焦点坐标为(　　) A. (,0)　 B.(a,0)　 C. (0,)　 D.(0,a) 【解析】选B.抛物线x=y2可化为y2=4ax,它的焦点坐标是(a,0). 4.(选择性必修第一册P134·例3变式)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为___________.  【解析】设抛物线方程为y2=2px(p≠0)或x2=2py(p≠0).将P(-2,-4)代入,分别得方程为y2=-8x或x2=-y. 答案:y2=-8x或x2=-y 【考点探究　核心突破】 考点一　抛物线的定义及应用 【例1】(1)已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为,则m等于________.  【解析】由题意知,抛物线y=mx2(m>0)的准线方程为y=-,根据抛物线的定义,可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y=-的距离, 可得2+=,解得m=. 答案: (2)(2023·全国乙卷)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为________.  【解析】由题意可得:=2p×1,则2p=5,抛物线的方程为y2=5x, 准线方程为x=-,点A到C的准线的距离为1-(-)=. 答案: 思维升华 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. (2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化. 对点训练 1.(2023·北京卷)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上,若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 【解析】选D.如图所示,因为点M到直线x=-3的距离|MR|=5, 所以点M到直线x=-2的距离|MN|=4. 又抛物线上点M到准线x=-2的距离和到焦点F的距离相等,故|MF|=|MN|=4. 2.(2024·广州模拟)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=3,FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点,则p=________.  【解析】过点M作MA⊥y轴,垂足为A,MA的延长线交抛物线的准线于点B,由题意得F(,0), 设M(,n),由抛物线的定义可知, |MF|=|MB|=+=3. 因为M为线段FN的中点, 所以|AM|=|OF|(O为坐标原点),即=,将其代入+=3,可得+=3,解得p=4. 答案:4 考点二　抛物线的标准方程 【例2】(1)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的标准方程为(　　) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 【解析】选C.由题意知,F(,0),抛物线的准线方程为x=-,则由抛物线的定义知,xM=5-,设以MF为直径的圆的圆心为(,), 所以圆的方程为(x-)2+(y-)2=. 又因为圆过点(0,2),所以yM=4. 又因为点M在C上,所以16=2p(5-), 解得p=2或p=8,所以抛物线C的标准方程为y2=4x或y2=16x. (2)(一题多法)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为________.  【解析】法一(解直角三角形法):由题意得|OF|=,|PF|=p,∠OPF=∠PQF, 所以tan∠OPF=tan∠PQF, 所以=,即=, 解得p=3, 所以C的准线方程为x=-. 法二(应用射影定理法):由题意得|OF|=, |PF|=p,|PF|2=|OF|·|FQ|, 即p2=×6,解得p=3或p=0(舍去), 所以C的准线方程为x=-. 答案:x=- 思维升华 求抛物线的标准方程的方法 (1)直接法:直接利用题中已知条件确定参数p. (2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定参数p.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为y2=mx(m≠0)或x2=my(m≠0). 注意:参数p的几何意义是焦点到准线的距离,可以利用它的几何意义来解决问题. 对点训练 1.(2024·青岛模拟)设抛物线C:x2=2py的焦点为F,M(x,4)在C上,|MF|=5,则C的方程为(　　) A.x2=4y B.x2=-4y C.x2=-2y D.x2=2y 【解析】选A.抛物线x2=2py的开口向上, 由于M(x,4)在C上,且|MF|=5, 根据抛物线的定义可知4+=5,p=2, 所以抛物线C的方程为x2=4y. 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A是抛物线C上一点,AD⊥l,交l于D.若|AF|=4,∠DAF=60°,则抛物线C的方程为___________.  【解析】根据抛物线的定义可得|AD|=|AF|=4,又∠DAF=60°, 所以|AD|-p=|AF|cos 60°=|AF|, 即4-p=2,解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. 答案:y2=4x 考点三　抛物线的几何性质 【例3】(1)(多选题)(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则(　　) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 【解析】选ABD.A选项,抛物线y2=4x的准线为x=-1, ☉A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于圆的半径,故准线l和☉A相切,A选项正确; B选项,P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标yP=4, 由=4xP,得到xP=4,故P(4,4), 此时切线长|PQ|===,B选项正确; C选项,当|PB|=2时,xP=1,此时=4xP=4,故P(1,2)或P(1,-2), 当P(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),kPA==-2,kAB==2,不满足kPAkAB=-1; 当P(1,-2)时,A(0,4),B(-1,2),kPA==-6,kAB==6,不满足kPAkAB=-1; 于是PA⊥AB不成立,C选项错误; D选项,法一(利用抛物线定义转化): 根据抛物线的定义,|PB|=|PF|,这里F(1,0), 于是|PA|=|PB|时P点的存在性问题转化成|PA|=|PF|时P点的存在性问题, A(0,4),F(1,0),AF中点(,2),AF中垂线的斜率为-=, 于是AF的中垂线方程为y=,与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0, Δ=162-4×30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点,即存在两个P点,使得|PA|=|PF|,D选项正确. 法二(设点直接求解): 设P(,t),由PB⊥l可得B(-1,t),又A(0,4),又|PA|=|PB|, 根据两点间的距离公式,=+1,整理得t2-16t+30=0, Δ=162-4×30=136>0,则关于t的方程有两个解,即存在两个这样的P点,D选项正确. (2)(多选题)(2024·朔州模拟)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C:y=x2上异于坐标原点O的两个动点,且以AB为直径的圆过点O,过点O作OM⊥AB于点M,则(　　) A.直线AB的斜率为 B.直线AB过定点(0,4) C.点M的轨迹方程为x2+(y-2)2=4 D.△ABO的重心G的轨迹为抛物线 【解析】选ABD.因为y1=,y2=,两式相减,得y1-y2=(x1-x2)(x1+x2),所以=,所以A正确; 因为以AB为直径的圆过原点O,所以OA⊥OB,即·=0,所以x1x2+y1y2=0, 又y1y2=,所以x1x2+=0, 故x1x2=-16,y1y2=16, 因为直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,由 消去y,得x2-4kx-4m=0(*), 所以x1x2=-4m,故-4m=-16,即m=4,所以直线AB的方程为y=kx+4,所以直线AB过定点(0,4),所以B正确; 因为OM⊥AB于M,直线AB过定点D(0,4),所以点M的轨迹是以OD为直径的圆(除去原点O),其方程为x2+(y-2)2=4(y≠0),所以C不正确; 设△ABO的重心为G(x,y),则x=,y=, 由方程(*)可知,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+8=4k2+8,所以 消去k得y=x2+, 因为k∈R,所以△ABO的重心G的轨迹为抛物线,所以D正确. 思维升华 抛物线性质的应用技巧 (1)使用抛物线的性质解决有关问题时,关键是将抛物线方程化成标准方程. (2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算. 对点训练 1.(多选题)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则(　　) A.p=4 B.|MF|≥|OF| C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 【解析】选ABC.由题意得,=2,则p=4,A正确. 设M(x0,y0),则|MF|=x0+, |OF|=, 又因为x0≥0,所以|MF|≥|OF|,B正确. 由抛物线的定义知M到F的距离与M到准线的距离相等,故以M为圆心，以M为半径的圆与准线相切,C正确. 不妨设M在第一象限, 当∠OFM=120°时,MF所在直线方程为y=(x-2), 所以x=y+2,代入y2=8x得(y-)2=, 所以y=4或-, 又M在第一象限,所以M点的纵坐标为4, 所以S△OFM=×2×4=4,D错误. 2.已知点M(20,40)不在抛物线C:y2=2px(p>0)上,抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P,|PM|+|PF|的最小值为41,则p的值等于________.  【解析】当点M(20,40)位于抛物线内时, 如图1,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为D,则|PF|=|PD|, |PM|+|PF|=|PM|+|PD|. 当M,P,D三点共线时,|PM|+|PF|的值最小. 由最小值为41,得20+=41,解得p=42. 当点M(20,40)位于抛物线外时,如图2,当P,M,F三点共线时,|PM|+|PF|的值最小. 由最小值为41,得=41, 解得p=22或p=58. 当p=58时,y2=116x,点M(20,40)在抛物线内,故舍去. 综上,p=42或p=22. 答案:42或22 3.(2024·南京调研)P是抛物线y2=8x上的动点,P到y轴的距离为d1,到圆C:(x+3)2+(y-3)2=4上动点Q的距离为d2,则d1+d2的最小值为________.  【解析】圆C:(x+3)2+(y-3)2=4的圆心为C(-3,3),抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),点P到y轴的距离为d1,到圆C上动点Q的距离为d2,如图,连接PC,PF,FC, 则d1=|PF|-2,d2≥|PC|-2, 设FC与抛物线的交点为P', 由图可知当点P在P'的位置时,d1+d2取得最小值,最小值是|FC|减去圆的半径再减去抛物线焦点到原点的距离,即|FC|-2-2=-4=-4. 答案:-4 【加练备选】 (一题多法)(2024·武汉调研)过抛物线y2=8x焦点的直线与抛物线交于M,N两点,设抛物线的准线与x轴的交点为A,当MA⊥NA时,|MN|=________.  【解析】法一:由题意可知A(-2,0),焦点坐标为(2,0). 设过抛物线焦点的直线方程为x=ky+2, 代入y2=8x,消去x,得y2-8ky-16=0. 设M(xM,yM),N(xN,yN),则yMyN=-16, 所以xMxN==4. 因为MA⊥NA,所以kMA·kNA=·==-1, 所以8+2(xM+xN)=16,即xM+xN=4, 所以由抛物线的定义知|MN|=xM+xN+4=8. 法2:由题意可知A(-2,0), 设M(xM,yM),N(xN,yN), 则xMxN==4,yMyN=-p2=-16. ·=(xM+2,yM)(xN+2,yN)=0, 即(xM+2)(xN+2)+yMyN=0, 得4+2(xM+xN)+4-16=0, 所以xM+xN=4,|MN|=xM+xN+4=8. 答案:8 - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $