第8章 第50节 双曲线(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了双曲线专题，涵盖定义、标准方程、几何性质及应用等核心考点，按“定义-方程-性质-结论”逻辑架构组织，通过知识梳理中的注意点和常用结论构建内在联系，以问题导向的知能自测和例题引导学生自主梳理，形成层次分明的知识网络。 亮点在于诊断性自测与分层考点探究设计，如知能自测分回源教材、澄清盲点等类型题目帮助学生自主诊断薄弱点，考点探究通过思维升华和对点训练培养数学思维，每个模块配有方法指导与真题演练，助力个性化复习，教师可依学情精准指导，提升学生自主复习能力。

第50节　双曲线 考试要求 考题分析 1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质. 3.通过双曲线的学习,进一步体会数形结合的思想. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T21 T21 2023年 T16 T21 2024年 T12 - 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.双曲线的定义 (1)一般地,把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (2)数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且c>a>0. [注意点](1)当|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支;当|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支. (2)若a=c,则轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;若a>c,则轨迹不存在;若a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准 方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 性 质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 对称性 对称轴:坐标轴　　对称中心:原点 顶点 顶点坐标: A1(-a,0),A2(a,0) 顶点坐标: A1(0,-a),A2(0,a) 渐近 线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞) a,b,c 的关系 c2=a2+b2 实虚 轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 等轴 双曲线 ①定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. ②性质:a=b;e=;渐近线互相垂直;等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项 【常用结论】 1.与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为-=λ(λ≠0). 2.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为,双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长,过焦点向渐近线作垂线,垂足在准线上. 3同支的焦点弦中最短的称为通径,异支的焦点弦中最短的称为实轴,其长为2a. 4.离心率e===. 5.若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则=,其中θ=∠F1PF2. 6.设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为. 7.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a. 8.双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点三角形PF1F2内切圆圆心为I,则xI=±a. 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平面内到点F1(0,3),F2(0,-3)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线.(　×　) (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　×　) (3)方程+=1(mn<0)表示焦点在坐标轴上的双曲线.(　√　) (4)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大.(　√　) 2.(选择性必修第一册P127习题3.2T1变式)双曲线4x2-y2+64=0上一点P与它的一个焦点的距离等于26,那么点P与另一个焦点的距离等于______________.  【解析】4x2-y2+64=0可化为-=1, 所以a=8,b=4,c==4. 不妨设|PF1|=26,则||PF2|-|PF1||=2a=16,得|PF2|=10或42. 答案:10或42 3.(选择性必修第一册P127习题3.2T6改编)经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_________________.  【解析】设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0), 把点A(3,-1)代入,得9-1=λ,λ=8, 故所求双曲线方程为-=1. 答案:-=1 4.(一题多法)已知双曲线-=1的右焦点为F,点P为双曲线右支上任意一点,则线段PF的最小值为________.  【解析】法一:F点坐标为(5,0),设P点坐标为(a,b)(a≥3),则|PF|=, 又点P在双曲线右支上,所以-=1,所以b2=, 所以|PF|==≥=2. 所以PF的最小值为2. 法二:因为在双曲线-=1中,a=3,b=4,c==5,所以由常用结论(7)可知|PF|≥c-a=2. 答案:2 【考点探究　核心突破】 考点一　双曲线的定义及其应用 【例1】(1)(2024·潍坊模拟)已知动圆M与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆M的圆心轨迹是(　　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.以上都不对 【解析】选B.题中两圆分别记为圆A:x2+y2=1以及圆B:x2+y2-6x+7=0,整理得(x-3)2+y2=2,设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则 于是|MB|-|MA|=-1<|AB|,即差为定值,因此动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支. (2)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P为其右支上一点,点A(0,-6),则△APF周长的最小值为(　　) A.4+6 B.4+6 C.6+6 D.6+6 【解析】选B.设双曲线的右焦点为M, 由双曲线的方程可得:a2=4,b2=5,则a=2,b=,c=3, 所以F(-3,0),M(3,0),且|PF|-|PM|=2a=4,所以|PF|=|PM|+4, △APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PM|+4+|AF|=|PA|+|PM|+4+3≥|AM|+4+3 =4+6, 当且仅当M,P,A三点共线时取等号, 则△APF周长的最小值为4+6. (3)(2024·南昌模拟)已知F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线的右支上,则|AP|+|AF2|的最小值为(　　) A.+4 B.-4 C.-2 D.+2 【解析】选C.因为|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2, 所以要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值. 如图,连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时, |AP|+|AF1|最小,最小值为|PF1|==. 故|AP|+|AF2|的最小值为-2. 思维升华 双曲线定义的主要应用 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线. (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a解决问题. (3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 对点训练 1.(2024·渭南模拟)如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的左焦点的距离是(　　) A.4 B.12 C.4或12 D.不确定 【解析】选C.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=2,c==4,则|PF2|=8>6,由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=4, 即||PF1|-8|=4,所以|PF1|=4或|PF1|=12, 由于c-a=2,故点P到它的左焦点的距离是4或12. 2.(2024·荆州模拟)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别是F1,F2,点P是C的右支上的一点(不是顶点),过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|=___________.  【解析】如图所示,延长F2M交PF1于Q, 由于PM是∠F1PF2的平分线,F2M⊥PM, 所以△QPF2是等腰三角形, 所以|PQ|=|PF2|,且M是QF2的中点. 根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=8,即|QF1|=8,由于O是F1F2的中点, 所以MO是△QF1F2的中位线, 所以|MO|=|QF1|=4. 答案:4 【加练备选】 1.(2020·全国Ⅰ卷)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　) A. B.3 C. D.2 【解析】选B.由题意知a=1,b=,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0). 因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16. 由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4, 所以|PF1|·|PF2|=6, 所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=3. 2.若点P是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为2的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点,则|PA|+|PB|=______________.  【解析】不妨设点P在双曲线的右支上,则|PA|>|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点,由双曲线的定义知|PA|-|PB|=2,① 又|PA|2+|PB|2=36,② 联立①②,化简得2|PA|·|PB|=16, 所以(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA|·|PB|=52,所以|PA|+|PB|=2. 答案:2 考点二　双曲线的标准方程 【例2】(1)(2024·济南模拟)已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y=0,且经过点(3,2),则C的标准方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【解析】选A.根据渐近线方程可设双曲线C的方程为-=λ(λ≠0), 因为双曲线C过点(3,2),所以λ=2-1=1, 所以双曲线C的标准方程为-=1. (2)经过点M(2,2)且与双曲线-=1有相同渐近线的双曲线方程是(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【解析】选D.由题意知,可设所求的双曲线方程为-=λ(λ≠0),点M(2,2)在双曲线方程上,所以-=λ,解得λ=-6, 故所求的双曲线方程是-=1. (3)经过点P(3,2),Q(-6,7)的双曲线的标准方程为______________.  【解析】设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0). 所以解得 所以双曲线的标准方程为-=1. 答案:-=1 思维升华 求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有: ①c2=a2+b2; ②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a. (2)待定系数法 一般步骤: 对点训练 1.已知双曲线的中心在原点,两个焦点F1,F2的坐标分别为(,0)和(-,0),点P在双曲线上,且PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为1,则双曲线的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1 【解析】选C.由题意得 则(|PF1|-|PF2|)2=16, 即2a=4,解得a=2,又c=, 则b=1,所以双曲线的方程为-y2=1. 2.(2024·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代,到明清两代达到了顶峰,它蓝白相映怡然成趣,晶莹明快,美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面,如图所示,若该花瓶的瓶身最小的直径是4,瓶口和底面的直径都是8,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是(　　) A.-=1 B.-y2=1 C.-=1 D.-=1 【解析】选D.由题意可知该双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,点(4,3)在该双曲线上. 设该双曲线的方程为-=1(a>0,b>0), 则解得 故该双曲线的标准方程是-=1. 【加练备选】 (2023·天津卷)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【解析】选D.双曲线的渐近线方程为y=±x,由双曲线的对称性,不妨过点F2作渐近线y=x的垂线,如图所示.设点P(m,),F1(-c,0),F2(c,0),则有=. 因为PF2⊥OP,所以·=-1,即·=-1,整理得m(a2+b2)=a2c.又a2+b2=c2,所以m=,即P(,). 由题意,知点F2到渐近线y=x的距离|PF2|=2,即=b=2. 又==,将b=2代入上式,整理得a2-2a+2=0,解得a=.故所求双曲线的方程为-=1. 考点三　双曲线的几何性质 角度1　双曲线的渐近线 【例3】(1)双曲线x2-=1两条渐近线的夹角为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.由双曲线x2-=1,得a=1,b=, 所以渐近线方程为y=±x, 所以两条渐近线倾斜角分别是,, 所以两条渐近线的夹角为. (2)(2024·南京模拟)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为(　　) A.3x±4y=0 B.4x±3y=0 C.3x±5y=0 D.5x±4y=0 【解析】选B.作F2Q⊥PF1于点Q,如图所示, 因为|F1F2|=|PF2|,所以Q为PF1的中点, 由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a, 所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c, 因为cos∠PF1F2=,所以=cos∠PF1F2, 即=,得3c=5a,所以3=5a,得=,故双曲线的渐近线方程为y=±x, 即4x±3y=0. (3)(一题多法)(2022·北京卷)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=________.  【解析】法一:依题意得m<0,双曲线的方程化为标准方程为y2-=1,此时双曲线的渐近线的斜率为±=±,解得m=-3. 法二:由y=±x得双曲线方程可设为y2-=λ(λ>0)与y2+=1相同,则得λ=1,m=-3. 答案:-3 思维升华 1.渐近线的求法 求双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线的方法是令-=0,即得两渐近线方程±=0(y=±x). 2.根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程 (1)渐近线为y=x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0); (2)如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0); (3)与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). 对点训练 1.(2025·八省联考)双曲线x2-=1的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±2x C.y=±3x D.y=±4x 【解析】选C.因为a=1,b=3,所以渐近线方程为y=±3x. 2.已知双曲线Γ:-y2=1(a>0),任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),都有x1x2-y1y2>0成立,则实数a的取值范围是______________.  【解析】设O是坐标原点,点P3与点P2关于x轴对称,如图,则P3(x2,-y2), ·=x1x2-y1y2>0, 所以∠P1OP3恒为锐角,所以∠MON≤90°, 所以双曲线Γ的其中一条渐近线y=x的斜率≤1,又a>0,所以a≥1, 即a的取值范围是[1,+∞). 答案:[1,+∞) 角度2　双曲线的离心率 【例4】(1)(一题多法)(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为________.  【解析】法一:依题意,设|AF2|=2m, 则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m, 在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去), 所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a, 故cos∠F1AF2===, 所以在△AF1F2中,cos∠F1AF2==, 整理得5c2=9a2,故e==. 法二:依题意,得F1(-c,0),F2(c,0), 令A(x0,y0),B(0,t),因为=-, 所以(x0-c,y0)=-(-c,t), 则x0=c,y0=-t, 又⊥,所以·=(c,-t)(c,t)=c2-t2=0,则t2=4c2, 又点A在C上,则-=1, 整理得-=1,则-=1, 所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),整理得25c4-50c2a2+9a4=0, 则(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2, 又e>1,所以e=或e=(舍去),故e=. 答案: (2)(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为________.  【解析】由题意知:|AF2|=5,|F1F2|=2c=12,c=6,|AF1|-|AF2|=2a=8,a=4,e==. 答案: 思维升华 求双曲线离心率的方法 (1)若已知a,c,可直接利用e=求解; (2)若已知a,b,可直接利用e=得解; (3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且pqr≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解. 对点训练 1.(2021·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A. 记r1=,r2=,由r1=3r2及r1-r2=2a,得r1=3a,r2=a,又由余弦定理知,+-2r1r2cos∠F1PF2=4c2,得7a2=4c2,从而e==. 2.若双曲线x2-=1的离心率e∈(1,3),则实数m的取值范围为(　　) A.(0,4) B.(0,8) C.(1,9) D.(8,+∞) 【解析】选B.由已知条件,得m>0. 因为双曲线x2-=1的离心率e∈(1,3),e=,所以1<<3,解得0<m<8, 所以实数m的取值范围为(0,8). 【加练备选】 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,且∠OPF2=90°,=,若点Q也在双曲线C上,则双曲线C的离心率为___________.  【解析】依题意,OP⊥PF2,而O为线段F1F2的中点,且=,则QF1⊥QF2, 令|PF2|=m,则|PF1|=m+2a,|QF2|=2m,|QF1|=2m-2a, 在Rt△QF1F2和Rt△QF1P中,由勾股定理可得, 解得c=a,则e==. 答案: 2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若过点F2的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,且AF1=BF1=2.又以双曲线的顶点为圆心,半径为2的圆恰好经过双曲线虚轴的端点,则双曲线的离心率为___________.  【解析】如图,因为AF1=BF1=2,AF2-AF1=2a=BF1-BF2, 所以AF2=2+2a,BF2=2-2a, 所以AB=AF2-BF2=4a. 因为以双曲线的顶点为圆心,半径为2的圆恰好经过双曲线虚轴的端点, 所以a2+b2=(2)2=c2, 所以c2=8,所以F1F2=4. 在△BF1F2中, cos∠F1BF2==, 在△AF1B中,cos∠ABF1==a. 因为∠F1BF2=π-∠ABF1, 所以cos∠F1BF2=-cos∠ABF1, 所以=-a,解得a2=2, 所以e==2. 答案:2 - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $